Theorem pthdepisspth 30254

Description: A path with different start and end points is a simple path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 12-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pthdepisspth	⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem pthdepisspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ispth 30239	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
2		simplll 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
3		trliswlk 30213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		wlkcl 30129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
6	5	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
7		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
8	7	wlkp 30130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
9	3, 8	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
10	9	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
11		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
12		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
13	10, 11, 12	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
14		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
15		injresinj 13894	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → Fun ◡𝑃)))
16	6, 13, 14, 15	syl3c 67	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → Fun ◡𝑃)
17	2, 16	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
18	17	ex3 1365	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
19	1, 18	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
20	19	imp 412	. 2 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
21		isspth 30240	. 2 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
22	20, 21	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∩ cin 3897  ∅c0 4278  {cpr 4585   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5646   ↾ cres 5649   “ cima 5650  Fun wfun 6521  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11171  1c1 11172  ℕ₀cn0 12575  ...cfz 13608  ..^cfzo 13756  ♯chash 14441  Vtxcvtx 29507  Walkscwlks 30110  Trailsctrls 30206  Pathscpths 30228  SPathscspths 30229

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-hash 14442  df-word 14626  df-wlks 30113  df-trls 30208  df-pths 30232  df-spths 30233

This theorem is used by:  pthisspthorcycl  30323