Theorem pthdepisspth 29757

Description: A path with different start and end points is a simple path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 12-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pthdepisspth	⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem pthdepisspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ispth 29743	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
2		simplll 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
3		trliswlk 29718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		wlkcl 29638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
6	5	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
7		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
8	7	wlkp 29639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
9	3, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
10	9	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
11		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
12		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
13	10, 11, 12	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
14		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
15		injresinj 13705	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → Fun ◡𝑃)))
16	6, 13, 14, 15	syl3c 66	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → Fun ◡𝑃)
17	2, 16	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
18	17	ex3 1347	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
19	1, 18	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
20	19	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
21		isspth 29744	. 2 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
22	20, 21	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∩ cin 3898  ∅c0 4283  {cpr 4580   class class class wbr 5096  ^◡ccnv 5621   ↾ cres 5624   “ cima 5625  Fun wfun 6484  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025  ℕ₀cn0 12399  ...cfz 13421  ..^cfzo 13568  ♯chash 14251  Vtxcvtx 29018  Walkscwlks 29619  Trailsctrls 29711  Pathscpths 29732  SPathscspths 29733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-hash 14252  df-word 14435  df-wlks 29622  df-trls 29713  df-pths 29736  df-spths 29737

This theorem is referenced by:  pthisspthorcycl  29824