Theorem pthdepisspth 30025

Description: A path with different start and end points is a simple path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 12-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pthdepisspth	⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem pthdepisspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ispth 30011	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
2		simplll 786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
3		trliswlk 29986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		wlkcl 29906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
6	5	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
7		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
8	7	wlkp 29907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
9	3, 8	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
10	9	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
11		simpllr 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
12		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
13	10, 11, 12	3jca 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
14		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
15		injresinj 13820	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → Fun ◡𝑃)))
16	6, 13, 14, 15	syl3c 67	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → Fun ◡𝑃)
17	2, 16	jca 520	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
18	17	ex3 1363	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
19	1, 18	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
20	19	imp 411	. 2 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
21		isspth 30012	. 2 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
22	20, 21	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∩ cin 3910  ∅c0 4292  {cpr 4594   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5661   ↾ cres 5664   “ cima 5665  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101  ℕ₀cn0 12504  ...cfz 13535  ..^cfzo 13682  ♯chash 14366  Vtxcvtx 29287  Walkscwlks 29887  Trailsctrls 29979  Pathscpths 30000  SPathscspths 30001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-wlks 29890  df-trls 29981  df-pths 30004  df-spths 30005

This theorem is referenced by:  pthisspthorcycl  30092