MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdepisspth Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pthdepisspth 29523
Description: A path with different start and end points is a simple path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 12-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
pthdepisspth ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
Proof of Theorem pthdepisspth
StepHypRef Expression
1 ispth 29511 . . . 4 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…))
2 simplll 774 . . . . . 6 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
3 trliswlk 29485 . . . . . . . . 9 (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
4 wlkcl 29403 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
65ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
7 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
87wlkp 29404 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
93, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
109ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
11 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))))
12 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
1310, 11, 123jca 1126 . . . . . . 7 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
14 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…)
15 injresinj 13771 . . . . . . 7 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ ((𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ… β†’ Fun ◑𝑃)))
166, 13, 14, 15syl3c 66 . . . . . 6 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ Fun ◑𝑃)
172, 16jca 511 . . . . 5 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃))
1817ex3 1344 . . . 4 ((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃)))
191, 18sylbi 216 . . 3 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃)))
2019imp 406 . 2 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃))
21 isspth 29512 . 2 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃))
2220, 21sylibr 233 1 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   ∩ cin 3943  βˆ…c0 4318  {cpr 4626   class class class wbr 5142  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  1c1 11125  β„•0cn0 12488  ...cfz 13502  ..^cfzo 13645  β™―chash 14307  Vtxcvtx 28783  Walkscwlks 29384  Trailsctrls 29478  Pathscpths 29500  SPathscspths 29501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-hash 14308  df-word 14483  df-wlks 29387  df-trls 29480  df-pths 29504  df-spths 29505
This theorem is referenced by:  pthisspthorcycl  34661
  Copyright terms: Public domain W3C validator