Theorem pthdepisspth 29937

Description: A path with different start and end points is a simple path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 12-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pthdepisspth	⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem pthdepisspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ispth 29923	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
2		simplll 784	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
3		trliswlk 29898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		wlkcl 29818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
6	5	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
7		eqid 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
8	7	wlkp 29819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
9	3, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
10	9	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
11		simpllr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
12		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
13	10, 11, 12	3jca 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
14		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
15		injresinj 13799	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → Fun ◡𝑃)))
16	6, 13, 14, 15	syl3c 66	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → Fun ◡𝑃)
17	2, 16	jca 519	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
18	17	ex3 1361	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
19	1, 18	sylbi 219	. . 3 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
20	19	imp 410	. 2 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
21		isspth 29924	. 2 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
22	20, 21	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   ∩ cin 3905  ∅c0 4287  {cpr 4586   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5648   ↾ cres 5651   “ cima 5652  Fun wfun 6517  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  0cc0 11075  1c1 11076  ℕ₀cn0 12483  ...cfz 13514  ..^cfzo 13661  ♯chash 14345  Vtxcvtx 29199  Walkscwlks 29799  Trailsctrls 29891  Pathscpths 29912  SPathscspths 29913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1075  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-hash 14346  df-word 14529  df-wlks 29802  df-trls 29893  df-pths 29916  df-spths 29917

This theorem is referenced by:  pthisspthorcycl  30004