MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdepisspth Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pthdepisspth 29588
Description: A path with different start and end points is a simple path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 12-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
pthdepisspth ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
Proof of Theorem pthdepisspth
StepHypRef Expression
1 ispth 29576 . . . 4 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…))
2 simplll 773 . . . . . 6 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
3 trliswlk 29550 . . . . . . . . 9 (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
4 wlkcl 29468 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
65ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
7 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
87wlkp 29469 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
93, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
109ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
11 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))))
12 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
1310, 11, 123jca 1125 . . . . . . 7 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
14 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…)
15 injresinj 13780 . . . . . . 7 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ ((𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ… β†’ Fun ◑𝑃)))
166, 13, 14, 15syl3c 66 . . . . . 6 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ Fun ◑𝑃)
172, 16jca 510 . . . . 5 ((((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃))
1817ex3 1343 . . . 4 ((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃)))
191, 18sylbi 216 . . 3 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃)))
2019imp 405 . 2 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃))
21 isspth 29577 . 2 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃))
2220, 21sylibr 233 1 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   ∩ cin 3940  βˆ…c0 4319  {cpr 4627   class class class wbr 5144  β—‘ccnv 5672   β†Ύ cres 5675   β€œ cima 5676  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  1c1 11134  β„•0cn0 12497  ...cfz 13511  ..^cfzo 13654  β™―chash 14316  Vtxcvtx 28848  Walkscwlks 29449  Trailsctrls 29543  Pathscpths 29565  SPathscspths 29566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-hash 14317  df-word 14492  df-wlks 29452  df-trls 29545  df-pths 29569  df-spths 29570
This theorem is referenced by:  pthisspthorcycl  34791
  Copyright terms: Public domain W3C validator