Theorem 0pth 30181

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a path iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 19-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0pth.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0pth	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0pth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ispth 29775	. . 3 ⊢ (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
3		3anass 1095	. . . 4 ⊢ ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅))))
5		funcnv0 6557	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡∅
6		hash0 14292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘∅) = 0
7		0le1 11662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 1
8	6, 7	eqbrtri 5118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘∅) ≤ 1
9		1z 12523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		0z 12501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℤ
11	6, 10	eqeltri 2831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘∅) ∈ ℤ
12		fzon 13598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘∅) ∈ ℤ) → ((♯‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘∅)) = ∅))
13	9, 11, 12	mp2an 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘∅)) = ∅)
14	8, 13	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^(♯‘∅)) = ∅
15	14	reseq2i 5934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = (𝑃 ↾ ∅)
16		res0 5941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ↾ ∅) = ∅
17	15, 16	eqtri 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = ∅
18	17	cnveqi 5822	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = ◡∅
19	18	funeqi 6512	. . . . . 6 ⊢ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ↔ Fun ◡∅)
20	5, 19	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅)))
21	14	imaeq2i 6016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅))) = (𝑃 “ ∅)
22		ima0 6035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 “ ∅) = ∅
23	21, 22	eqtri 2758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅))) = ∅
24	23	ineq2i 4168	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ ∅)
25		in0 4346	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ ∅) = ∅
26	24, 25	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅
27	20, 26	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)
28	27	biantru 529	. . 3 ⊢ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
29	4, 28	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ ∅(Trails‘𝐺)𝑃))
30		0pth.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31	30	0trl 30178	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
32	2, 29, 31	3bitrd 305	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3899  ∅c0 4284  {cpr 4581   class class class wbr 5097  ^◡ccnv 5622   ↾ cres 5625   “ cima 5626  Fun wfun 6485  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  0cc0 11028  1c1 11029   ≤ cle 11169  ℤcz 12490  ...cfz 13425  ..^cfzo 13572  ♯chash 14255  Vtxcvtx 29050  Trailsctrls 29743  Pathscpths 29764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-hash 14256  df-word 14439  df-wlks 29654  df-trls 29745  df-pths 29768

This theorem is referenced by:  0pthon  30183  0cycl  30190