MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0pth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0pth 28075
Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a path iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 19-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
0pth.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0pth (𝐺𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0pth
StepHypRef Expression
1 ispth 27677 . . 3 (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅))
21a1i 11 . 2 (𝐺𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
3 3anass 1096 . . . 4 ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
43a1i 11 . . 3 (𝐺𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅))))
5 funcnv0 6416 . . . . . 6 Fun
6 hash0 13833 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘∅) = 0
7 0le1 11254 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 1
86, 7eqbrtri 5061 . . . . . . . . . . 11 (♯‘∅) ≤ 1
9 1z 12106 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
10 0z 12086 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
116, 10eqeltri 2830 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘∅) ∈ ℤ
12 fzon 13162 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘∅) ∈ ℤ) → ((♯‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘∅)) = ∅))
139, 11, 12mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘∅)) = ∅)
148, 13mpbi 233 . . . . . . . . . 10 (1..^(♯‘∅)) = ∅
1514reseq2i 5832 . . . . . . . . 9 (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = (𝑃 ↾ ∅)
16 res0 5839 . . . . . . . . 9 (𝑃 ↾ ∅) = ∅
1715, 16eqtri 2762 . . . . . . . 8 (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = ∅
1817cnveqi 5727 . . . . . . 7 (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) =
1918funeqi 6371 . . . . . 6 (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ↔ Fun ∅)
205, 19mpbir 234 . . . . 5 Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅)))
2114imaeq2i 5911 . . . . . . . 8 (𝑃 “ (1..^(♯‘∅))) = (𝑃 “ ∅)
22 ima0 5929 . . . . . . . 8 (𝑃 “ ∅) = ∅
2321, 22eqtri 2762 . . . . . . 7 (𝑃 “ (1..^(♯‘∅))) = ∅
2423ineq2i 4110 . . . . . 6 ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ ∅)
25 in0 4290 . . . . . 6 ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ ∅) = ∅
2624, 25eqtri 2762 . . . . 5 ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅
2720, 26pm3.2i 474 . . . 4 (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)
2827biantru 533 . . 3 (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
294, 28bitr4di 292 . 2 (𝐺𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ ∅(Trails‘𝐺)𝑃))
30 0pth.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31300trl 28072 . 2 (𝐺𝑊 → (∅(Trails‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
322, 29, 313bitrd 308 1 (𝐺𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  cin 3852  c0 4221  {cpr 4528   class class class wbr 5040  ccnv 5534  cres 5537  cima 5538  Fun wfun 6344  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7183  0cc0 10628  1c1 10629  cle 10767  cz 12075  ...cfz 12994  ..^cfzo 13137  chash 13795  Vtxcvtx 26954  Trailsctrls 27645  Pathscpths 27666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-hash 13796  df-word 13969  df-wlks 27554  df-trls 27647  df-pths 27670
This theorem is referenced by:  0pthon  28077  0cycl  28084
  Copyright terms: Public domain W3C validator