MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0pth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0pth 29307
Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a path iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 19-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
0pth.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0pth (𝐺𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0pth
StepHypRef Expression
1 ispth 28909 . . 3 (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅))
21a1i 11 . 2 (𝐺𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
3 3anass 1095 . . . 4 ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
43a1i 11 . . 3 (𝐺𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅))))
5 funcnv0 6604 . . . . . 6 Fun
6 hash0 14311 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘∅) = 0
7 0le1 11721 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 1
86, 7eqbrtri 5163 . . . . . . . . . . 11 (♯‘∅) ≤ 1
9 1z 12576 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
10 0z 12553 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
116, 10eqeltri 2829 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘∅) ∈ ℤ
12 fzon 13637 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘∅) ∈ ℤ) → ((♯‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘∅)) = ∅))
139, 11, 12mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘∅)) = ∅)
148, 13mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (1..^(♯‘∅)) = ∅
1514reseq2i 5971 . . . . . . . . 9 (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = (𝑃 ↾ ∅)
16 res0 5978 . . . . . . . . 9 (𝑃 ↾ ∅) = ∅
1715, 16eqtri 2760 . . . . . . . 8 (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = ∅
1817cnveqi 5867 . . . . . . 7 (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) =
1918funeqi 6559 . . . . . 6 (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ↔ Fun ∅)
205, 19mpbir 230 . . . . 5 Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅)))
2114imaeq2i 6048 . . . . . . . 8 (𝑃 “ (1..^(♯‘∅))) = (𝑃 “ ∅)
22 ima0 6066 . . . . . . . 8 (𝑃 “ ∅) = ∅
2321, 22eqtri 2760 . . . . . . 7 (𝑃 “ (1..^(♯‘∅))) = ∅
2423ineq2i 4206 . . . . . 6 ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ ∅)
25 in0 4388 . . . . . 6 ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ ∅) = ∅
2624, 25eqtri 2760 . . . . 5 ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅
2720, 26pm3.2i 471 . . . 4 (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)
2827biantru 530 . . 3 (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
294, 28bitr4di 288 . 2 (𝐺𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ ∅(Trails‘𝐺)𝑃))
30 0pth.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31300trl 29304 . 2 (𝐺𝑊 → (∅(Trails‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
322, 29, 313bitrd 304 1 (𝐺𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cin 3944  c0 4319  {cpr 4625   class class class wbr 5142  ccnv 5669  cres 5672  cima 5673  Fun wfun 6527  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7394  0cc0 11094  1c1 11095  cle 11233  cz 12542  ...cfz 13468  ..^cfzo 13611  chash 14274  Vtxcvtx 28185  Trailsctrls 28876  Pathscpths 28898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-map 8807  df-pm 8808  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-n0 12457  df-z 12543  df-uz 12807  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-hash 14275  df-word 14449  df-wlks 28785  df-trls 28878  df-pths 28902
This theorem is referenced by:  0pthon  29309  0cycl  29316
  Copyright terms: Public domain W3C validator