Theorem 0pth 27502

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a path iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 19-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0pth.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0pth	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0pth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ispth 27026	. . 3 ⊢ (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
3		3anass 1122	. . . 4 ⊢ ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅))))
5		funcnv0 6189	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡∅
6		hash0 13449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘∅) = 0
7		0le1 10876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 1
8	6, 7	eqbrtri 4895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘∅) ≤ 1
9		1z 11736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		0z 11716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℤ
11	6, 10	eqeltri 2903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘∅) ∈ ℤ
12		fzon 12785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘∅) ∈ ℤ) → ((♯‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘∅)) = ∅))
13	9, 11, 12	mp2an 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘∅)) = ∅)
14	8, 13	mpbi 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^(♯‘∅)) = ∅
15	14	reseq2i 5627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = (𝑃 ↾ ∅)
16		res0 5634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ↾ ∅) = ∅
17	15, 16	eqtri 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = ∅
18	17	cnveqi 5530	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = ◡∅
19	18	funeqi 6145	. . . . . 6 ⊢ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ↔ Fun ◡∅)
20	5, 19	mpbir 223	. . . . 5 ⊢ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅)))
21	14	imaeq2i 5706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅))) = (𝑃 “ ∅)
22		ima0 5723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 “ ∅) = ∅
23	21, 22	eqtri 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅))) = ∅
24	23	ineq2i 4039	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ ∅)
25		in0 4194	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ ∅) = ∅
26	24, 25	eqtri 2850	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅
27	20, 26	pm3.2i 464	. . . 4 ⊢ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)
28	27	biantru 527	. . 3 ⊢ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
29	4, 28	syl6bbr 281	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ ∅(Trails‘𝐺)𝑃))
30		0pth.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31	30	0trl 27499	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
32	2, 29, 31	3bitrd 297	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ∩ cin 3798  ∅c0 4145  {cpr 4400   class class class wbr 4874  ^◡ccnv 5342   ↾ cres 5345   “ cima 5346  Fun wfun 6118  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  0cc0 10253  1c1 10254   ≤ cle 10393  ℤcz 11705  ...cfz 12620  ..^cfzo 12761  ♯chash 13411  Vtxcvtx 26295  Trailsctrls 26992  Pathscpths 27015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-ifp 1092  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-hash 13412  df-word 13576  df-wlks 26898  df-trls 26994  df-pths 27019

This theorem is referenced by:  0pthon  27504  0cycl  27511