Theorem 0pth 30205

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a path iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 19-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0pth.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0pth	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0pth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ispth 29799	. . 3 ⊢ (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
3		3anass 1095	. . . 4 ⊢ ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅))))
5		funcnv0 6559	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡∅
6		hash0 14295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘∅) = 0
7		0le1 11665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 1
8	6, 7	eqbrtri 5120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘∅) ≤ 1
9		1z 12526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		0z 12504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℤ
11	6, 10	eqeltri 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘∅) ∈ ℤ
12		fzon 13601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘∅) ∈ ℤ) → ((♯‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘∅)) = ∅))
13	9, 11, 12	mp2an 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘∅)) = ∅)
14	8, 13	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^(♯‘∅)) = ∅
15	14	reseq2i 5936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = (𝑃 ↾ ∅)
16		res0 5943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ↾ ∅) = ∅
17	15, 16	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = ∅
18	17	cnveqi 5824	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = ◡∅
19	18	funeqi 6514	. . . . . 6 ⊢ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ↔ Fun ◡∅)
20	5, 19	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅)))
21	14	imaeq2i 6018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅))) = (𝑃 “ ∅)
22		ima0 6037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 “ ∅) = ∅
23	21, 22	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅))) = ∅
24	23	ineq2i 4170	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ ∅)
25		in0 4348	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ ∅) = ∅
26	24, 25	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅
27	20, 26	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)
28	27	biantru 529	. . 3 ⊢ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
29	4, 28	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ ∅(Trails‘𝐺)𝑃))
30		0pth.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31	30	0trl 30202	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
32	2, 29, 31	3bitrd 305	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3901  ∅c0 4286  {cpr 4583   class class class wbr 5099  ^◡ccnv 5624   ↾ cres 5627   “ cima 5628  Fun wfun 6487  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11031  1c1 11032   ≤ cle 11172  ℤcz 12493  ...cfz 13428  ..^cfzo 13575  ♯chash 14258  Vtxcvtx 29074  Trailsctrls 29767  Pathscpths 29788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14259  df-word 14442  df-wlks 29678  df-trls 29769  df-pths 29792

This theorem is referenced by:  0pthon  30207  0cycl  30214