Theorem 0pth 30154

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a path iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 19-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0pth.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0pth	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0pth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ispth 29756	. . 3 ⊢ (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
3		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅))))
5		funcnv0 6634	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡∅
6		hash0 14403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘∅) = 0
7		0le1 11784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 1
8	6, 7	eqbrtri 5169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘∅) ≤ 1
9		1z 12645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		0z 12622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℤ
11	6, 10	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘∅) ∈ ℤ
12		fzon 13717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘∅) ∈ ℤ) → ((♯‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘∅)) = ∅))
13	9, 11, 12	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘∅)) = ∅)
14	8, 13	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^(♯‘∅)) = ∅
15	14	reseq2i 5997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = (𝑃 ↾ ∅)
16		res0 6004	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ↾ ∅) = ∅
17	15, 16	eqtri 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = ∅
18	17	cnveqi 5888	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = ◡∅
19	18	funeqi 6589	. . . . . 6 ⊢ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ↔ Fun ◡∅)
20	5, 19	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅)))
21	14	imaeq2i 6078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅))) = (𝑃 “ ∅)
22		ima0 6097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 “ ∅) = ∅
23	21, 22	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅))) = ∅
24	23	ineq2i 4225	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ ∅)
25		in0 4401	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ ∅) = ∅
26	24, 25	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅
27	20, 26	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)
28	27	biantru 529	. . 3 ⊢ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
29	4, 28	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ ∅(Trails‘𝐺)𝑃))
30		0pth.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31	30	0trl 30151	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
32	2, 29, 31	3bitrd 305	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  {cpr 4633   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5688   ↾ cres 5691   “ cima 5692  Fun wfun 6557  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   ≤ cle 11294  ℤcz 12611  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Vtxcvtx 29028  Trailsctrls 29723  Pathscpths 29745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-wlks 29632  df-trls 29725  df-pths 29749

This theorem is referenced by:  0pthon  30156  0cycl  30163