Theorem 0pth 30144

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a path iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 19-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0pth.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0pth	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0pth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ispth 29741	. . 3 ⊢ (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
3		3anass 1095	. . . 4 ⊢ ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅))))
5		funcnv0 6632	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡∅
6		hash0 14406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘∅) = 0
7		0le1 11786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 1
8	6, 7	eqbrtri 5164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘∅) ≤ 1
9		1z 12647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		0z 12624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℤ
11	6, 10	eqeltri 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘∅) ∈ ℤ
12		fzon 13720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘∅) ∈ ℤ) → ((♯‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘∅)) = ∅))
13	9, 11, 12	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘∅)) = ∅)
14	8, 13	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^(♯‘∅)) = ∅
15	14	reseq2i 5994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = (𝑃 ↾ ∅)
16		res0 6001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ↾ ∅) = ∅
17	15, 16	eqtri 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = ∅
18	17	cnveqi 5885	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = ◡∅
19	18	funeqi 6587	. . . . . 6 ⊢ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ↔ Fun ◡∅)
20	5, 19	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅)))
21	14	imaeq2i 6076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅))) = (𝑃 “ ∅)
22		ima0 6095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 “ ∅) = ∅
23	21, 22	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅))) = ∅
24	23	ineq2i 4217	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ ∅)
25		in0 4395	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ ∅) = ∅
26	24, 25	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅
27	20, 26	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)
28	27	biantru 529	. . 3 ⊢ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
29	4, 28	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ ∅(Trails‘𝐺)𝑃))
30		0pth.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31	30	0trl 30141	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
32	2, 29, 31	3bitrd 305	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950  ∅c0 4333  {cpr 4628   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5684   ↾ cres 5687   “ cima 5688  Fun wfun 6555  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Vtxcvtx 29013  Trailsctrls 29708  Pathscpths 29730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-wlks 29617  df-trls 29710  df-pths 29734

This theorem is referenced by:  0pthon  30146  0cycl  30153