Theorem subgrpth 35336

Description: If a path exists in a subgraph of a graph 𝐺, then that path also exists in 𝐺. (Contributed by BTernaryTau, 22-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
subgrpth	⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝐹(Paths‘𝑆)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem subgrpth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrtrl 35335	. . 3 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝐹(Trails‘𝑆)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃))
2		idd 24	. . 3 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))))
3		idd 24	. . 3 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
4	1, 2, 3	3anim123d 1446	. 2 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → ((𝐹(Trails‘𝑆)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)))
5		ispth 29808	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝑆)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝑆)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
6		ispth 29808	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
7	4, 5, 6	3imtr4g 296	1 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝐹(Paths‘𝑆)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  {cpr 4570   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5625   ↾ cres 5628   “ cima 5629  Fun wfun 6488  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  0cc0 11033  1c1 11034  ..^cfzo 13603  ♯chash 14287   SubGraph csubgr 29354  Trailsctrls 29776  Pathscpths 29797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-subgr 29355  df-wlks 29687  df-trls 29778  df-pths 29801

This theorem is referenced by:  subgrcycl  35337