Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subgrpth Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem subgrpth 34411
Description: If a path exists in a subgraph of a graph 𝐺, then that path also exists in 𝐺. (Contributed by BTernaryTau, 22-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
subgrpth (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ (𝐹(Pathsβ€˜π‘†)𝑃 β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃))
Proof of Theorem subgrpth
StepHypRef Expression
1 subgrtrl 34410 . . 3 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ (𝐹(Trailsβ€˜π‘†)𝑃 β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃))
2 idd 24 . . 3 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ (Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ)))))
3 idd 24 . . 3 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ (((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ… β†’ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…))
41, 2, 33anim123d 1443 . 2 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ ((𝐹(Trailsβ€˜π‘†)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…) β†’ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…)))
5 ispth 29235 . 2 (𝐹(Pathsβ€˜π‘†)𝑃 ↔ (𝐹(Trailsβ€˜π‘†)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…))
6 ispth 29235 . 2 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…))
74, 5, 63imtr4g 295 1 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ (𝐹(Pathsβ€˜π‘†)𝑃 β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∩ cin 3947  βˆ…c0 4322  {cpr 4630   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113  ..^cfzo 13631  β™―chash 14294   SubGraph csubgr 28779  Trailsctrls 29202  Pathscpths 29224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-subgr 28780  df-wlks 29111  df-trls 29204  df-pths 29228
This theorem is referenced by:  subgrcycl  34412
  Copyright terms: Public domain W3C validator