Theorem pthd 30360

Description: Two words representing a trail which also represent a path in a graph. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pthd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
pthd.r	⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
pthd.f	⊢ (♯‘𝐹) = 𝑅
pthd.t	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
pthd	⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem pthd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthd.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		pthd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
3		pthd.f	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑅
4		pthd.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
5	3, 4	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)
6		pthd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
7	3	oveq2i 7431	. . . . . 6 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) = (1..^𝑅)
8	7	raleqi 3317	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
9	8	ralbii 3108	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
10	6, 9	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
11	2, 5, 10	pthdlem1 30357	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
12	2, 5, 10	pthdlem2 30359	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
13		ispth 30311	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
14	1, 11, 12, 13	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  {cpr 4586   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649   ↾ cres 5652   “ cima 5653  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   − cmin 11544  ..^cfzo 13791  ♯chash 14477  Word cword 14661  Trailsctrls 30278  Pathscpths 30300

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-trls 30280  df-pths 30304

This theorem is used by:  2pthd  30534  3pthd  30780  gpgprismgr4cycllem11  49296