Theorem pthd 29749

Description: Two words representing a trail which also represent a path in a graph. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pthd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
pthd.r	⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
pthd.f	⊢ (♯‘𝐹) = 𝑅
pthd.t	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
pthd	⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem pthd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthd.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		pthd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
3		pthd.f	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑅
4		pthd.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
5	3, 4	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)
6		pthd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
7	3	oveq2i 7363	. . . . . 6 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) = (1..^𝑅)
8	7	raleqi 3291	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
9	8	ralbii 3079	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
10	6, 9	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
11	2, 5, 10	pthdlem1 29746	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
12	2, 5, 10	pthdlem2 29748	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
13		ispth 29701	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
14	1, 11, 12, 13	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  Vcvv 3437   ∩ cin 3897  ∅c0 4282  {cpr 4577   class class class wbr 5093  ^◡ccnv 5618   ↾ cres 5621   “ cima 5622  Fun wfun 6480  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  0cc0 11013  1c1 11014   − cmin 11351  ..^cfzo 13556  ♯chash 14239  Word cword 14422  Trailsctrls 29669  Pathscpths 29690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-trls 29671  df-pths 29694

This theorem is referenced by:  2pthd  29920  3pthd  30156  gpgprismgr4cycllem11  48229