Theorem mdetlap 33466

Description: Laplace expansion of the determinant of a square matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
madjusmdet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madjusmdet.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
madjusmdet.d	⊢ 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
madjusmdet.k	⊢ 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
madjusmdet.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
madjusmdet.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
madjusmdet.e	⊢ 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
madjusmdet.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
madjusmdet.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
madjusmdet.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdetlap	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐽   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗   𝜑,𝑗   · ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem mdetlap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		madjusmdet.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		madjusmdet.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
3		madjusmdet.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
4		madjusmdet.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
5		madjusmdet.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6		madjusmdet.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
7		madjusmdet.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
8		madjusmdet.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9	4, 5, 6, 7, 8	mdetlap1 33460	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))
11		madjusmdet.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
12		madjusmdet.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
13		madjusmdet.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
15	1	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ CRing)
16	3	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
17		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
18	2	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
19	5, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18	madjusmdet 33465	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))
20	19	oveq2d 7442	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
21		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22	4, 21, 5, 16, 17, 18	matecld 22348	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
23		crngring 20192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
25	11	zrhrhm 21444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
26		zringbas 21386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
27	26, 21	rhmf 20431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
28	24, 25, 27	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
29	28	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
30		1zzd 12631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
31	30	znegcld 12706	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → -1 ∈ ℤ)
32		fz1ssnn 13572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
33	32, 16	sselid 3980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
34	32, 17	sselid 3980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ)
35	33, 34	nnaddcld 12302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ)
36	35	nnnn0d 12570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ0)
37		zexpcl 14081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝐼 + 𝑗)) ∈ ℤ)
38	31, 36, 37	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑(𝐼 + 𝑗)) ∈ ℤ)
39	29, 38	ffvelcdmd 7100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅))
40	21, 8	crngcom 20198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)))
41	15, 22, 39, 40	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)))
42	41	oveq1d 7441	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))
43	15, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
44		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
45		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) = (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)
46	4, 5, 44, 45, 14, 16, 17, 18	smatcl 33436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
47		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
48	12, 47, 44, 21	mdetcl 22518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))) → (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
49	15, 46, 48	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
50	21, 8	ringass 20200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
51	43, 22, 39, 49, 50	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
52	21, 8	ringass 20200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
53	43, 39, 22, 49, 52	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
54	42, 51, 53	3eqtr3d 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
55	20, 54	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
56	55	mpteq2dva 5252	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼))) = (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))))
57	56	oveq2d 7442	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))
58	10, 57	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5235  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11147   + caddc 11149   − cmin 11482  -cneg 11483  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596  ...cfz 13524  ↑cexp 14066  Basecbs 17187  ._rcmulr 17241   Σ_g cgsu 17429  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181   RingHom crh 20415  ℤ_ringczring 21379  ℤRHomczrh 21432   Mat cmat 22327   maDet cmdat 22506   maAdju cmadu 22554  subMat1csmat 33427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225  ax-mulf 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-word 14505  df-lsw 14553  df-concat 14561  df-s1 14586  df-substr 14631  df-pfx 14661  df-splice 14740  df-reverse 14749  df-s2 14839  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-efmnd 18828  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-gim 19220  df-cntz 19275  df-oppg 19304  df-symg 19329  df-pmtr 19404  df-psgn 19453  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-cnfld 21287  df-zring 21380  df-zrh 21436  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-mat 22328  df-marrep 22480  df-subma 22499  df-mdet 22507  df-madu 22556  df-minmar1 22557  df-smat 33428

This theorem is referenced by: (None)