Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mdetlap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetlap 30234
Description: Laplace expansion of the determinant of a square matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
madjusmdet.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
madjusmdet.a 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
madjusmdet.d 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
madjusmdet.k 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
madjusmdet.t · = (.r𝑅)
madjusmdet.z 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
madjusmdet.e 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
madjusmdet.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
madjusmdet.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
madjusmdet.i (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.j (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.m (𝜑𝑀𝐵)
Assertion
Ref Expression
mdetlap (𝜑 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐽   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗   𝜑,𝑗   · ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem mdetlap
StepHypRef Expression
1 madjusmdet.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 madjusmdet.m . . 3 (𝜑𝑀𝐵)
3 madjusmdet.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
4 madjusmdet.a . . . 4 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
5 madjusmdet.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
6 madjusmdet.d . . . 4 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
7 madjusmdet.k . . . 4 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
8 madjusmdet.t . . . 4 · = (.r𝑅)
94, 5, 6, 7, 8mdetlap1 30228 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝐼 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)))))
101, 2, 3, 9syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)))))
11 madjusmdet.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
12 madjusmdet.e . . . . . . 7 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
13 madjusmdet.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1413adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
151adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ CRing)
163adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
17 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
182adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑀𝐵)
195, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18madjusmdet 30233 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗(𝐾𝑀)𝐼) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))
2019oveq2d 6808 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
21 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
224, 21, 5, 16, 17, 18matecld 20445 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
23 crngring 18762 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
241, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2511zrhrhm 20071 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
26 zringbas 20035 . . . . . . . . . . . 12 ℤ = (Base‘ℤring)
2726, 21rhmf 18932 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
2824, 25, 273syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
2928adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
30 1zzd 11611 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
3130znegcld 11687 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → -1 ∈ ℤ)
32 fz1ssnn 12575 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ ℕ
3332, 16sseldi 3750 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
3432, 17sseldi 3750 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ)
3533, 34nnaddcld 11269 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ)
3635nnnn0d 11554 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ0)
37 zexpcl 13078 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝐼 + 𝑗)) ∈ ℤ)
3831, 36, 37syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑(𝐼 + 𝑗)) ∈ ℤ)
3929, 38ffvelrnd 6502 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅))
4021, 8crngcom 18766 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)))
4115, 22, 39, 40syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)))
4241oveq1d 6807 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))
4315, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
44 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
45 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) = (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)
464, 5, 44, 45, 14, 16, 17, 18smatcl 30204 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
47 eqid 2771 . . . . . . . . 9 ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
4812, 47, 44, 21mdetcl 20616 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))) → (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
4915, 46, 48syl2anc 573 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
5021, 8ringass 18768 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5143, 22, 39, 49, 50syl13anc 1478 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5221, 8ringass 18768 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5343, 39, 22, 49, 52syl13anc 1478 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5442, 51, 533eqtr3d 2813 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5520, 54eqtrd 2805 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5655mpteq2dva 4878 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼))) = (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))))
5756oveq2d 6808 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))
5810, 57eqtrd 2805 1 (𝜑 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cmpt 4863  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6792  1c1 10139   + caddc 10141  cmin 10468  -cneg 10469  cn 11222  0cn0 11495  cz 11580  ...cfz 12529  cexp 13063  Basecbs 16060  .rcmulr 16146   Σg cgsu 16305  Ringcrg 18751  CRingccrg 18752   RingHom crh 18918  ringzring 20029  ℤRHomczrh 20059   Mat cmat 20426   maDet cmdat 20604   maAdju cmadu 20652  subMat1csmat 30195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1613  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11496  df-xnn0 11567  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-rp 12032  df-fz 12530  df-fzo 12670  df-seq 13005  df-exp 13064  df-hash 13318  df-word 13491  df-lsw 13492  df-concat 13493  df-s1 13494  df-substr 13495  df-splice 13496  df-reverse 13497  df-s2 13798  df-struct 16062  df-ndx 16063  df-slot 16064  df-base 16066  df-sets 16067  df-ress 16068  df-plusg 16158  df-mulr 16159  df-starv 16160  df-sca 16161  df-vsca 16162  df-ip 16163  df-tset 16164  df-ple 16165  df-ds 16168  df-unif 16169  df-hom 16170  df-cco 16171  df-0g 16306  df-gsum 16307  df-prds 16312  df-pws 16314  df-mre 16450  df-mrc 16451  df-acs 16453  df-mgm 17446  df-sgrp 17488  df-mnd 17499  df-mhm 17539  df-submnd 17540  df-grp 17629  df-minusg 17630  df-mulg 17745  df-subg 17795  df-ghm 17862  df-gim 17905  df-cntz 17953  df-oppg 17979  df-symg 18001  df-pmtr 18065  df-psgn 18114  df-cmn 18398  df-abl 18399  df-mgp 18694  df-ur 18706  df-ring 18753  df-cring 18754  df-oppr 18827  df-dvdsr 18845  df-unit 18846  df-invr 18876  df-dvr 18887  df-rnghom 18921  df-drng 18955  df-subrg 18984  df-sra 19383  df-rgmod 19384  df-cnfld 19958  df-zring 20030  df-zrh 20063  df-dsmm 20289  df-frlm 20304  df-mat 20427  df-marrep 20578  df-subma 20597  df-mdet 20605  df-madu 20654  df-minmar1 20655  df-smat 30196
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator