Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mdetlap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetlap 31315
 Description: Laplace expansion of the determinant of a square matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
madjusmdet.a 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdetlap (𝜑 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐽   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗   𝜑,𝑗   · ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem mdetlap
StepHypRef Expression
1 madjusmdet.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 madjusmdet.m . . 3 (𝜑𝑀𝐵)
3 madjusmdet.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
4 madjusmdet.a . . . 4 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
5 madjusmdet.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
8 madjusmdet.t . . . 4 · = (.r𝑅)
94, 5, 6, 7, 8mdetlap1 31309 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝐼 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)))))
101, 2, 3, 9syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)))))
11 madjusmdet.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
12 madjusmdet.e . . . . . . 7 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
13 madjusmdet.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1413adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
151adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ CRing)
163adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
17 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
182adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑀𝐵)
195, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18madjusmdet 31314 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗(𝐾𝑀)𝐼) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))
2019oveq2d 7172 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
21 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
224, 21, 5, 16, 17, 18matecld 21139 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
23 crngring 19390 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
241, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2511zrhrhm 20294 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
26 zringbas 20257 . . . . . . . . . . . 12 ℤ = (Base‘ℤring)
2726, 21rhmf 19562 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
2824, 25, 273syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
2928adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
30 1zzd 12065 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
3130znegcld 12141 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → -1 ∈ ℤ)
32 fz1ssnn 13000 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ ℕ
3332, 16sseldi 3892 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
3432, 17sseldi 3892 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ)
3533, 34nnaddcld 11739 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ)
3635nnnn0d 12007 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ0)
37 zexpcl 13507 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝐼 + 𝑗)) ∈ ℤ)
3831, 36, 37syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑(𝐼 + 𝑗)) ∈ ℤ)
3929, 38ffvelrnd 6849 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅))
4021, 8crngcom 19396 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)))
4115, 22, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)))
4241oveq1d 7171 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))
4315, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
44 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
45 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) = (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)
464, 5, 44, 45, 14, 16, 17, 18smatcl 31285 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
47 eqid 2758 . . . . . . . . 9 ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
4812, 47, 44, 21mdetcl 21309 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))) → (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
4915, 46, 48syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
5021, 8ringass 19398 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5143, 22, 39, 49, 50syl13anc 1369 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5221, 8ringass 19398 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5343, 39, 22, 49, 52syl13anc 1369 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5442, 51, 533eqtr3d 2801 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5520, 54eqtrd 2793 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5655mpteq2dva 5131 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼))) = (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))))
5756oveq2d 7172 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))
5810, 57eqtrd 2793 1 (𝜑 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5116  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  1c1 10589   + caddc 10591   − cmin 10921  -cneg 10922  ℕcn 11687  ℕ0cn0 11947  ℤcz 12033  ...cfz 12952  ↑cexp 13492  Basecbs 16554  .rcmulr 16637   Σg cgsu 16785  Ringcrg 19378  CRingccrg 19379   RingHom crh 19548  ℤringzring 20251  ℤRHomczrh 20282   Mat cmat 21120   maDet cmdat 21297   maAdju cmadu 21345  subMat1csmat 31276 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-sup 8952  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-xnn0 12020  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-word 13927  df-lsw 13975  df-concat 13983  df-s1 14010  df-substr 14063  df-pfx 14093  df-splice 14172  df-reverse 14181  df-s2 14270  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-hom 16660  df-cco 16661  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-prds 16792  df-pws 16794  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mhm 18035  df-submnd 18036  df-efmnd 18113  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-mulg 18305  df-subg 18356  df-ghm 18436  df-gim 18479  df-cntz 18527  df-oppg 18554  df-symg 18576  df-pmtr 18650  df-psgn 18699  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-cring 19381  df-oppr 19457  df-dvdsr 19475  df-unit 19476  df-invr 19506  df-dvr 19517  df-rnghom 19551  df-drng 19585  df-subrg 19614  df-sra 20025  df-rgmod 20026  df-cnfld 20180  df-zring 20252  df-zrh 20286  df-dsmm 20510  df-frlm 20525  df-mat 21121  df-marrep 21271  df-subma 21290  df-mdet 21298  df-madu 21347  df-minmar1 21348  df-smat 31277 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator