Theorem mdetlap 31782

Description: Laplace expansion of the determinant of a square matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
madjusmdet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madjusmdet.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
madjusmdet.d	⊢ 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
madjusmdet.k	⊢ 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
madjusmdet.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
madjusmdet.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
madjusmdet.e	⊢ 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
madjusmdet.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
madjusmdet.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
madjusmdet.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdetlap	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐽   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗   𝜑,𝑗   · ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem mdetlap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		madjusmdet.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		madjusmdet.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
3		madjusmdet.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
4		madjusmdet.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
5		madjusmdet.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6		madjusmdet.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
7		madjusmdet.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
8		madjusmdet.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9	4, 5, 6, 7, 8	mdetlap1 31776	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))
11		madjusmdet.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
12		madjusmdet.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
13		madjusmdet.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
15	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ CRing)
16	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
17		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
18	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
19	5, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18	madjusmdet 31781	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))
20	19	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
21		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22	4, 21, 5, 16, 17, 18	matecld 21575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
23		crngring 19795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
25	11	zrhrhm 20713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
26		zringbas 20676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
27	26, 21	rhmf 19970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
28	24, 25, 27	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
29	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
30		1zzd 12351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
31	30	znegcld 12428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → -1 ∈ ℤ)
32		fz1ssnn 13287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
33	32, 16	sselid 3919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
34	32, 17	sselid 3919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ)
35	33, 34	nnaddcld 12025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ)
36	35	nnnn0d 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ0)
37		zexpcl 13797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝐼 + 𝑗)) ∈ ℤ)
38	31, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑(𝐼 + 𝑗)) ∈ ℤ)
39	29, 38	ffvelrnd 6962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅))
40	21, 8	crngcom 19801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)))
41	15, 22, 39, 40	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)))
42	41	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))
43	15, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
44		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
45		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) = (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)
46	4, 5, 44, 45, 14, 16, 17, 18	smatcl 31752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
47		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
48	12, 47, 44, 21	mdetcl 21745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))) → (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
49	15, 46, 48	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
50	21, 8	ringass 19803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
51	43, 22, 39, 49, 50	syl13anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
52	21, 8	ringass 19803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
53	43, 39, 22, 49, 52	syl13anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
54	42, 51, 53	3eqtr3d 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
55	20, 54	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
56	55	mpteq2dva 5174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼))) = (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))))
57	56	oveq2d 7291	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))
58	10, 57	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  -cneg 11206  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  ↑cexp 13782  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963   Σ_g cgsu 17151  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784   RingHom crh 19956  ℤ_ringczring 20670  ℤRHomczrh 20701   Mat cmat 21554   maDet cmdat 21733   maAdju cmadu 21781  subMat1csmat 31743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-concat 14274  df-s1 14301  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-splice 14463  df-reverse 14472  df-s2 14561  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-efmnd 18508  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-gim 18875  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-symg 18975  df-pmtr 19050  df-psgn 19099  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zrh 20705  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-mat 21555  df-marrep 21707  df-subma 21726  df-mdet 21734  df-madu 21783  df-minmar1 21784  df-smat 31744

This theorem is referenced by: (None)