Theorem mdetlap 31315

Description: Laplace expansion of the determinant of a square matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
madjusmdet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madjusmdet.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
madjusmdet.d	⊢ 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
madjusmdet.k	⊢ 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
madjusmdet.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
madjusmdet.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
madjusmdet.e	⊢ 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
madjusmdet.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
madjusmdet.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
madjusmdet.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdetlap	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐽   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗   𝜑,𝑗   · ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem mdetlap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		madjusmdet.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		madjusmdet.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
3		madjusmdet.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
4		madjusmdet.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
5		madjusmdet.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6		madjusmdet.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
7		madjusmdet.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
8		madjusmdet.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9	4, 5, 6, 7, 8	mdetlap1 31309	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))
11		madjusmdet.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
12		madjusmdet.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
13		madjusmdet.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
15	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ CRing)
16	3	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
17		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
18	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
19	5, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18	madjusmdet 31314	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))
20	19	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
21		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22	4, 21, 5, 16, 17, 18	matecld 21139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
23		crngring 19390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
25	11	zrhrhm 20294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
26		zringbas 20257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
27	26, 21	rhmf 19562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
28	24, 25, 27	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
29	28	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
30		1zzd 12065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
31	30	znegcld 12141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → -1 ∈ ℤ)
32		fz1ssnn 13000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
33	32, 16	sseldi 3892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
34	32, 17	sseldi 3892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ)
35	33, 34	nnaddcld 11739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ)
36	35	nnnn0d 12007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ0)
37		zexpcl 13507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝐼 + 𝑗)) ∈ ℤ)
38	31, 36, 37	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑(𝐼 + 𝑗)) ∈ ℤ)
39	29, 38	ffvelrnd 6849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅))
40	21, 8	crngcom 19396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)))
41	15, 22, 39, 40	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)))
42	41	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))
43	15, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
44		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
45		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) = (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)
46	4, 5, 44, 45, 14, 16, 17, 18	smatcl 31285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
47		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
48	12, 47, 44, 21	mdetcl 21309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))) → (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
49	15, 46, 48	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
50	21, 8	ringass 19398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
51	43, 22, 39, 49, 50	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
52	21, 8	ringass 19398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
53	43, 39, 22, 49, 52	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
54	42, 51, 53	3eqtr3d 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
55	20, 54	eqtrd 2793	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
56	55	mpteq2dva 5131	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼))) = (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))))
57	56	oveq2d 7172	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))
58	10, 57	eqtrd 2793	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5116  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  1c1 10589   + caddc 10591   − cmin 10921  -cneg 10922  ℕcn 11687  ℕ₀cn0 11947  ℤcz 12033  ...cfz 12952  ↑cexp 13492  Basecbs 16554  ._rcmulr 16637   Σ_g cgsu 16785  Ringcrg 19378  CRingccrg 19379   RingHom crh 19548  ℤ_ringzring 20251  ℤRHomczrh 20282   Mat cmat 21120   maDet cmdat 21297   maAdju cmadu 21345  subMat1csmat 31276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-addf 10667  ax-mulf 10668

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-sup 8952  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-xnn0 12020  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-word 13927  df-lsw 13975  df-concat 13983  df-s1 14010  df-substr 14063  df-pfx 14093  df-splice 14172  df-reverse 14181  df-s2 14270  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-hom 16660  df-cco 16661  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-prds 16792  df-pws 16794  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mhm 18035  df-submnd 18036  df-efmnd 18113  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-mulg 18305  df-subg 18356  df-ghm 18436  df-gim 18479  df-cntz 18527  df-oppg 18554  df-symg 18576  df-pmtr 18650  df-psgn 18699  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-cring 19381  df-oppr 19457  df-dvdsr 19475  df-unit 19476  df-invr 19506  df-dvr 19517  df-rnghom 19551  df-drng 19585  df-subrg 19614  df-sra 20025  df-rgmod 20026  df-cnfld 20180  df-zring 20252  df-zrh 20286  df-dsmm 20510  df-frlm 20525  df-mat 21121  df-marrep 21271  df-subma 21290  df-mdet 21298  df-madu 21347  df-minmar1 21348  df-smat 31277

This theorem is referenced by: (None)