Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mdetlap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetlap 33275
Description: Laplace expansion of the determinant of a square matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
madjusmdet.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
madjusmdet.a 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
madjusmdet.d 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
madjusmdet.k 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
madjusmdet.t · = (.r𝑅)
madjusmdet.z 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
madjusmdet.e 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
madjusmdet.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
madjusmdet.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
madjusmdet.i (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.j (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.m (𝜑𝑀𝐵)
Assertion
Ref Expression
mdetlap (𝜑 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐽   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗   𝜑,𝑗   · ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem mdetlap
StepHypRef Expression
1 madjusmdet.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 madjusmdet.m . . 3 (𝜑𝑀𝐵)
3 madjusmdet.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
4 madjusmdet.a . . . 4 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
5 madjusmdet.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
6 madjusmdet.d . . . 4 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
7 madjusmdet.k . . . 4 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
8 madjusmdet.t . . . 4 · = (.r𝑅)
94, 5, 6, 7, 8mdetlap1 33269 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝐼 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)))))
101, 2, 3, 9syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)))))
11 madjusmdet.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
12 madjusmdet.e . . . . . . 7 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
13 madjusmdet.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
151adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ CRing)
163adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
17 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
182adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑀𝐵)
195, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18madjusmdet 33274 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗(𝐾𝑀)𝐼) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))
2019oveq2d 7428 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
21 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
224, 21, 5, 16, 17, 18matecld 22247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
23 crngring 20146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
241, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2511zrhrhm 21370 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
26 zringbas 21312 . . . . . . . . . . . 12 ℤ = (Base‘ℤring)
2726, 21rhmf 20383 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
2824, 25, 273syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
2928adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
30 1zzd 12600 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
3130znegcld 12675 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → -1 ∈ ℤ)
32 fz1ssnn 13539 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ ℕ
3332, 16sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
3432, 17sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ)
3533, 34nnaddcld 12271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ)
3635nnnn0d 12539 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ0)
37 zexpcl 14049 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝐼 + 𝑗)) ∈ ℤ)
3831, 36, 37syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑(𝐼 + 𝑗)) ∈ ℤ)
3929, 38ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅))
4021, 8crngcom 20152 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)))
4115, 22, 39, 40syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)))
4241oveq1d 7427 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))
4315, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
44 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
45 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) = (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)
464, 5, 44, 45, 14, 16, 17, 18smatcl 33245 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
47 eqid 2731 . . . . . . . . 9 ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
4812, 47, 44, 21mdetcl 22417 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))) → (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
4915, 46, 48syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
5021, 8ringass 20154 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5143, 22, 39, 49, 50syl13anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5221, 8ringass 20154 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5343, 39, 22, 49, 52syl13anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5442, 51, 533eqtr3d 2779 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5520, 54eqtrd 2771 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
5655mpteq2dva 5248 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼))) = (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))))
5756oveq2d 7428 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))
5810, 57eqtrd 2771 1 (𝜑 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  cmpt 5231  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  1c1 11117   + caddc 11119  cmin 11451  -cneg 11452  cn 12219  0cn0 12479  cz 12565  ...cfz 13491  cexp 14034  Basecbs 17151  .rcmulr 17205   Σg cgsu 17393  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135   RingHom crh 20367  ringczring 21305  ℤRHomczrh 21358   Mat cmat 22226   maDet cmdat 22405   maAdju cmadu 22453  subMat1csmat 33236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-word 14472  df-lsw 14520  df-concat 14528  df-s1 14553  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-splice 14707  df-reverse 14716  df-s2 14806  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-efmnd 18792  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-gim 19180  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-symg 19283  df-pmtr 19358  df-psgn 19407  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-cnfld 21233  df-zring 21306  df-zrh 21362  df-dsmm 21596  df-frlm 21611  df-mat 22227  df-marrep 22379  df-subma 22398  df-mdet 22406  df-madu 22455  df-minmar1 22456  df-smat 33237
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator