Theorem mdetlap 31185

Description: Laplace expansion of the determinant of a square matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
madjusmdet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madjusmdet.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
madjusmdet.d	⊢ 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
madjusmdet.k	⊢ 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
madjusmdet.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
madjusmdet.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
madjusmdet.e	⊢ 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
madjusmdet.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
madjusmdet.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
madjusmdet.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdetlap	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐽   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗   𝜑,𝑗   · ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem mdetlap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		madjusmdet.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		madjusmdet.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
3		madjusmdet.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
4		madjusmdet.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
5		madjusmdet.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6		madjusmdet.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
7		madjusmdet.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
8		madjusmdet.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9	4, 5, 6, 7, 8	mdetlap1 31179	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))
11		madjusmdet.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
12		madjusmdet.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
13		madjusmdet.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
15	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ CRing)
16	3	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
17		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
18	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
19	5, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18	madjusmdet 31184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))
20	19	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
21		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22	4, 21, 5, 16, 17, 18	matecld 21031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
23		crngring 19302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
25	11	zrhrhm 20205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
26		zringbas 20169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
27	26, 21	rhmf 19474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
28	24, 25, 27	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
29	28	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑍:ℤ⟶(Base‘𝑅))
30		1zzd 12001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
31	30	znegcld 12077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → -1 ∈ ℤ)
32		fz1ssnn 12933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
33	32, 16	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
34	32, 17	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ)
35	33, 34	nnaddcld 11677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ)
36	35	nnnn0d 11943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ0)
37		zexpcl 13440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝐼 + 𝑗)) ∈ ℤ)
38	31, 36, 37	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑(𝐼 + 𝑗)) ∈ ℤ)
39	29, 38	ffvelrnd 6829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅))
40	21, 8	crngcom 19308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)))
41	15, 22, 39, 40	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)))
42	41	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))
43	15, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
44		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
45		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) = (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)
46	4, 5, 44, 45, 14, 16, 17, 18	smatcl 31155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
47		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
48	12, 47, 44, 21	mdetcl 21201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))) → (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
49	15, 46, 48	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
50	21, 8	ringass 19310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
51	43, 22, 39, 49, 50	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐼𝑀𝑗) · (𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗)))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
52	21, 8	ringass 19310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
53	43, 39, 22, 49, 52	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐼𝑀𝑗)) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
54	42, 51, 53	3eqtr3d 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
55	20, 54	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))
56	55	mpteq2dva 5125	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼))) = (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗))))))
57	56	oveq2d 7151	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))
58	10, 57	eqtrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝑗))) · ((𝐼𝑀𝑗) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝑗)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  1c1 10527   + caddc 10529   − cmin 10859  -cneg 10860  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ...cfz 12885  ↑cexp 13425  Basecbs 16475  ._rcmulr 16558   Σ_g cgsu 16706  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291   RingHom crh 19460  ℤ_ringzring 20163  ℤRHomczrh 20193   Mat cmat 21012   maDet cmdat 21189   maAdju cmadu 21237  subMat1csmat 31146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-word 13858  df-lsw 13906  df-concat 13914  df-s1 13941  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-splice 14103  df-reverse 14112  df-s2 14201  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-efmnd 18026  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-gim 18391  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-symg 18488  df-pmtr 18562  df-psgn 18611  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-subrg 19526  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-cnfld 20092  df-zring 20164  df-zrh 20197  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-mat 21013  df-marrep 21163  df-subma 21182  df-mdet 21190  df-madu 21239  df-minmar1 21240  df-smat 31147

This theorem is referenced by: (None)