MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isvcOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isvcOLD 29570
Description: The predicate "is a complex vector space." (Contributed by NM, 31-May-2008.) Obsolete version of iscvsp 24514. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isvcOLD.1 ๐‘‹ = ran ๐บ
Assertion
Ref Expression
isvcOLD (โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ โˆˆ CVecOLD โ†” (๐บ โˆˆ AbelOp โˆง ๐‘†:(โ„‚ ร— ๐‘‹)โŸถ๐‘‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ((1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐‘‹,๐‘ง
Allowed substitution hint:   ๐‘‹(๐‘ฆ)

Proof of Theorem isvcOLD
StepHypRef Expression
1 vcex 29569 . 2 (โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ โˆˆ CVecOLD โ†’ (๐บ โˆˆ V โˆง ๐‘† โˆˆ V))
2 elex 3465 . . . . 5 (๐บ โˆˆ AbelOp โ†’ ๐บ โˆˆ V)
32adantr 482 . . . 4 ((๐บ โˆˆ AbelOp โˆง ๐‘†:(โ„‚ ร— ๐‘‹)โŸถ๐‘‹) โ†’ ๐บ โˆˆ V)
4 cnex 11140 . . . . . . 7 โ„‚ โˆˆ V
5 ablogrpo 29538 . . . . . . . 8 (๐บ โˆˆ AbelOp โ†’ ๐บ โˆˆ GrpOp)
6 isvcOLD.1 . . . . . . . . 9 ๐‘‹ = ran ๐บ
7 rnexg 7845 . . . . . . . . 9 (๐บ โˆˆ GrpOp โ†’ ran ๐บ โˆˆ V)
86, 7eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 (๐บ โˆˆ GrpOp โ†’ ๐‘‹ โˆˆ V)
95, 8syl 17 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ AbelOp โ†’ ๐‘‹ โˆˆ V)
10 xpexg 7688 . . . . . . 7 ((โ„‚ โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ V) โ†’ (โ„‚ ร— ๐‘‹) โˆˆ V)
114, 9, 10sylancr 588 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ AbelOp โ†’ (โ„‚ ร— ๐‘‹) โˆˆ V)
12 fex 7180 . . . . . 6 ((๐‘†:(โ„‚ ร— ๐‘‹)โŸถ๐‘‹ โˆง (โ„‚ ร— ๐‘‹) โˆˆ V) โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
1311, 12sylan2 594 . . . . 5 ((๐‘†:(โ„‚ ร— ๐‘‹)โŸถ๐‘‹ โˆง ๐บ โˆˆ AbelOp) โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
1413ancoms 460 . . . 4 ((๐บ โˆˆ AbelOp โˆง ๐‘†:(โ„‚ ร— ๐‘‹)โŸถ๐‘‹) โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
153, 14jca 513 . . 3 ((๐บ โˆˆ AbelOp โˆง ๐‘†:(โ„‚ ร— ๐‘‹)โŸถ๐‘‹) โ†’ (๐บ โˆˆ V โˆง ๐‘† โˆˆ V))
16153adant3 1133 . 2 ((๐บ โˆˆ AbelOp โˆง ๐‘†:(โ„‚ ร— ๐‘‹)โŸถ๐‘‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ((1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))))) โ†’ (๐บ โˆˆ V โˆง ๐‘† โˆˆ V))
176isvclem 29568 . 2 ((๐บ โˆˆ V โˆง ๐‘† โˆˆ V) โ†’ (โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ โˆˆ CVecOLD โ†” (๐บ โˆˆ AbelOp โˆง ๐‘†:(โ„‚ ร— ๐‘‹)โŸถ๐‘‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ((1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ))))))))
181, 16, 17pm5.21nii 380 1 (โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ โˆˆ CVecOLD โ†” (๐บ โˆˆ AbelOp โˆง ๐‘†:(โ„‚ ร— ๐‘‹)โŸถ๐‘‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ((1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  Vcvv 3447  โŸจcop 4596   ร— cxp 5635  ran crn 5638  โŸถwf 6496  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064  GrpOpcgr 29480  AbelOpcablo 29535  CVecOLDcvc 29549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-ablo 29536  df-vc 29550
This theorem is referenced by:  isvciOLD  29571
  Copyright terms: Public domain W3C validator