MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isvciOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isvciOLD 29871
Description: Properties that determine a complex vector space. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) Obsolete version of iscvsi 24652. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isvciOLD.1 ๐บ โˆˆ AbelOp
isvciOLD.2 dom ๐บ = (๐‘‹ ร— ๐‘‹)
isvciOLD.3 ๐‘†:(โ„‚ ร— ๐‘‹)โŸถ๐‘‹
isvciOLD.4 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
isvciOLD.5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)))
isvciOLD.6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))
isvciOLD.7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))
isvciOLD.8 ๐‘Š = โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ
Assertion
Ref Expression
isvciOLD ๐‘Š โˆˆ CVecOLD
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐‘‹,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐‘Š(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)

Proof of Theorem isvciOLD
StepHypRef Expression
1 isvciOLD.8 . 2 ๐‘Š = โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ
2 isvciOLD.1 . . 3 ๐บ โˆˆ AbelOp
3 isvciOLD.3 . . 3 ๐‘†:(โ„‚ ร— ๐‘‹)โŸถ๐‘‹
4 isvciOLD.4 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
5 isvciOLD.5 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)))
653com12 1123 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)))
763expa 1118 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)))
87ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)))
9 isvciOLD.6 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))
10 isvciOLD.7 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))
119, 10jca 512 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ))))
12113comr 1125 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ))))
13123expa 1118 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ))))
1413ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ))))
158, 14jca 512 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))))
1615ralrimiva 3146 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))))
174, 16jca 512 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ((1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ))))))
1817rgen 3063 . . 3 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ((1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))))
19 ablogrpo 29838 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ AbelOp โ†’ ๐บ โˆˆ GrpOp)
202, 19ax-mp 5 . . . . 5 ๐บ โˆˆ GrpOp
21 isvciOLD.2 . . . . 5 dom ๐บ = (๐‘‹ ร— ๐‘‹)
2220, 21grporn 29812 . . . 4 ๐‘‹ = ran ๐บ
2322isvcOLD 29870 . . 3 (โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ โˆˆ CVecOLD โ†” (๐บ โˆˆ AbelOp โˆง ๐‘†:(โ„‚ ร— ๐‘‹)โŸถ๐‘‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ((1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))))))
242, 3, 18, 23mpbir3an 1341 . 2 โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ โˆˆ CVecOLD
251, 24eqeltri 2829 1 ๐‘Š โˆˆ CVecOLD
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โŸจcop 4634   ร— cxp 5674  dom cdm 5676  โŸถwf 6539  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  GrpOpcgr 29780  AbelOpcablo 29835  CVecOLDcvc 29849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-grpo 29784  df-ablo 29836  df-vc 29850
This theorem is referenced by:  cncvcOLD  29874  hilvc  30453  hhssnv  30555
  Copyright terms: Public domain W3C validator