MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isvciOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isvciOLD 29308
Description: Properties that determine a complex vector space. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) Obsolete version of iscvsi 24414. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isvciOLD.1 ๐บ โˆˆ AbelOp
isvciOLD.2 dom ๐บ = (๐‘‹ ร— ๐‘‹)
isvciOLD.3 ๐‘†:(โ„‚ ร— ๐‘‹)โŸถ๐‘‹
isvciOLD.4 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
isvciOLD.5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)))
isvciOLD.6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))
isvciOLD.7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))
isvciOLD.8 ๐‘Š = โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ
Assertion
Ref Expression
isvciOLD ๐‘Š โˆˆ CVecOLD
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐‘‹,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐‘Š(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)

Proof of Theorem isvciOLD
StepHypRef Expression
1 isvciOLD.8 . 2 ๐‘Š = โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ
2 isvciOLD.1 . . 3 ๐บ โˆˆ AbelOp
3 isvciOLD.3 . . 3 ๐‘†:(โ„‚ ร— ๐‘‹)โŸถ๐‘‹
4 isvciOLD.4 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
5 isvciOLD.5 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)))
653com12 1124 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)))
763expa 1119 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)))
87ralrimiva 3142 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)))
9 isvciOLD.6 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))
10 isvciOLD.7 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))
119, 10jca 513 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ))))
12113comr 1126 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ))))
13123expa 1119 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ))))
1413ralrimiva 3142 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ))))
158, 14jca 513 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))))
1615ralrimiva 3142 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))))
174, 16jca 513 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ((1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ))))))
1817rgen 3065 . . 3 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ((1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))))
19 ablogrpo 29275 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ AbelOp โ†’ ๐บ โˆˆ GrpOp)
202, 19ax-mp 5 . . . . 5 ๐บ โˆˆ GrpOp
21 isvciOLD.2 . . . . 5 dom ๐บ = (๐‘‹ ร— ๐‘‹)
2220, 21grporn 29249 . . . 4 ๐‘‹ = ran ๐บ
2322isvcOLD 29307 . . 3 (โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ โˆˆ CVecOLD โ†” (๐บ โˆˆ AbelOp โˆง ๐‘†:(โ„‚ ร— ๐‘‹)โŸถ๐‘‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ((1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))))))
242, 3, 18, 23mpbir3an 1342 . 2 โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ โˆˆ CVecOLD
251, 24eqeltri 2835 1 ๐‘Š โˆˆ CVecOLD
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3063  โŸจcop 4591   ร— cxp 5629  dom cdm 5631  โŸถwf 6488  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990  GrpOpcgr 29217  AbelOpcablo 29272  CVecOLDcvc 29286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-grpo 29221  df-ablo 29273  df-vc 29287
This theorem is referenced by:  cncvcOLD  29311  hilvc  29890  hhssnv  29992
  Copyright terms: Public domain W3C validator