Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscvsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscvsp 23844
 Description: The predicate "is a subcomplex vector space". (Contributed by NM, 31-May-2008.) (Revised by AV, 4-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iscvsp.t · = ( ·𝑠𝑊)
iscvsp.a + = (+g𝑊)
iscvsp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
iscvsp.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
iscvsp.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
iscvsp (𝑊 ∈ ℂVec ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑉,𝑦,𝑧   𝑥,𝑊,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥, · ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscvsp
StepHypRef Expression
1 iscvs 23843 . 2 (𝑊 ∈ ℂVec ↔ (𝑊 ∈ ℂMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing))
2 iscvsp.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
3 iscvsp.a . . . . 5 + = (+g𝑊)
4 iscvsp.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 iscvsp.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
6 iscvsp.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑆)
72, 3, 4, 5, 6isclmp 23813 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
87anbi2ci 627 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing) ↔ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))))))
9 anass 472 . . 3 ((((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ∧ ∀𝑥𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))) ↔ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))))))
10 3anan12 1094 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ↔ (𝑆 = (ℂflds 𝐾) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))))
1110anbi2i 625 . . . . . 6 (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ↔ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑆 = (ℂflds 𝐾) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))))
12 anass 472 . . . . . 6 ((((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾)) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ↔ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑆 = (ℂflds 𝐾) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))))
135eqcomi 2768 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = 𝑆
1413eleq1i 2843 . . . . . . . 8 ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ↔ 𝑆 ∈ DivRing)
1514anbi1i 626 . . . . . . 7 (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾)) ↔ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾)))
1615anbi1i 626 . . . . . 6 ((((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾)) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ↔ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾)) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))))
1711, 12, 163bitr2i 302 . . . . 5 (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ↔ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾)) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))))
18 3anan12 1094 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ↔ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾)) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))))
1917, 18bitr4i 281 . . . 4 (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))
2019anbi1i 626 . . 3 ((((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ∧ ∀𝑥𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
218, 9, 203bitr2i 302 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
221, 21bitri 278 1 (𝑊 ∈ ℂVec ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  1c1 10590   + caddc 10592   · cmul 10594  Basecbs 16556   ↾s cress 16557  +gcplusg 16638  Scalarcsca 16641   ·𝑠 cvsca 16642  Grpcgrp 18184  DivRingcdr 19585  SubRingcsubrg 19614  ℂfldccnfld 20181  ℂModcclm 23778  ℂVecccvs 23839 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-addf 10668  ax-mulf 10669 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-7 11756  df-8 11757  df-9 11758  df-n0 11949  df-z 12035  df-dec 12152  df-uz 12297  df-fz 12954  df-struct 16558  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-ress 16564  df-plusg 16651  df-mulr 16652  df-starv 16653  df-tset 16657  df-ple 16658  df-ds 16660  df-unif 16661  df-0g 16788  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-grp 18187  df-subg 18358  df-cmn 18990  df-mgp 19323  df-ur 19335  df-ring 19382  df-cring 19383  df-subrg 19616  df-lmod 19719  df-lvec 19958  df-cnfld 20182  df-clm 23779  df-cvs 23840 This theorem is referenced by:  iscvsi  23845
 Copyright terms: Public domain W3C validator