MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscvsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscvsp 24644
Description: The predicate "is a subcomplex vector space". (Contributed by NM, 31-May-2008.) (Revised by AV, 4-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iscvsp.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
iscvsp.a + = (+gβ€˜π‘Š)
iscvsp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
iscvsp.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
iscvsp.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
iscvsp (π‘Š ∈ β„‚Vec ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑉,𝑦,𝑧   π‘₯,π‘Š,𝑦,𝑧   π‘₯, + ,𝑦,𝑧   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscvsp
StepHypRef Expression
1 iscvs 24643 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Vec ↔ (π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing))
2 iscvsp.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
3 iscvsp.a . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
4 iscvsp.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 iscvsp.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 iscvsp.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
72, 3, 4, 5, 6isclmp 24613 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
87anbi2ci 626 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing) ↔ ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))))
9 anass 470 . . 3 ((((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ (π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))) ↔ ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))))
10 3anan12 1097 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ↔ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ (π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))))
1110anbi2i 624 . . . . . 6 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ (π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ↔ ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ (π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))))
12 anass 470 . . . . . 6 ((((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ (π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ↔ ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ (π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))))
135eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘Š) = 𝑆
1413eleq1i 2825 . . . . . . . 8 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ↔ 𝑆 ∈ DivRing)
1514anbi1i 625 . . . . . . 7 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ↔ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
1615anbi1i 625 . . . . . 6 ((((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ (π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ↔ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ (π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))))
1711, 12, 163bitr2i 299 . . . . 5 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ (π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ↔ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ (π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))))
18 3anan12 1097 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ↔ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ (π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))))
1917, 18bitr4i 278 . . . 4 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ (π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))
2019anbi1i 625 . . 3 ((((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ (π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))) ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
218, 9, 203bitr2i 299 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing) ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
221, 21bitri 275 1 (π‘Š ∈ β„‚Vec ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  Grpcgrp 18819  SubRingcsubrg 20315  DivRingcdr 20357  β„‚fldccnfld 20944  β„‚Modcclm 24578  β„‚Vecccvs 24639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-subg 19003  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lvec 20714  df-cnfld 20945  df-clm 24579  df-cvs 24640
This theorem is referenced by:  iscvsi  24645
  Copyright terms: Public domain W3C validator