Theorem iscvsp 25082

Description: The predicate "is a subcomplex vector space". (Contributed by NM, 31-May-2008.) (Revised by AV, 4-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscvsp.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
iscvsp.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
iscvsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
iscvsp.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
iscvsp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iscvsp	⊢ (𝑊 ∈ ℂVec ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑉,𝑦,𝑧   𝑥,𝑊,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥, · ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscvsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscvs 25081	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec ↔ (𝑊 ∈ ℂMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing))
2		iscvsp.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
3		iscvsp.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		iscvsp.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		iscvsp.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
6		iscvsp.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	isclmp 25051	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
8	7	anbi2ci 625	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing) ↔ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))))))
9		anass 468	. . 3 ⊢ ((((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))) ↔ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))))))
10		3anan12 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ↔ (𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))))
11	10	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ↔ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))))
12		anass 468	. . . . . 6 ⊢ ((((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ↔ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))))
13	5	eqcomi 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = 𝑆
14	13	eleq1i 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ↔ 𝑆 ∈ DivRing)
15	14	anbi1i 624	. . . . . . 7 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ↔ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)))
16	15	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ ((((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ↔ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))))
17	11, 12, 16	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ↔ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))))
18		3anan12 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ↔ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))))
19	17, 18	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))
20	19	anbi1i 624	. . 3 ⊢ ((((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
21	8, 9, 20	3bitr2i 299	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
22	1, 21	bitri 275	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155  +_gcplusg 17175  Scalarcsca 17178   ·_𝑠 cvsca 17179  Grpcgrp 18861  SubRingcsubrg 20500  DivRingcdr 20660  ℂ_fldccnfld 21307  ℂModcclm 25016  ℂVecccvs 25077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-subg 19051  df-cmn 19709  df-mgp 20074  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-subrg 20501  df-lmod 20811  df-lvec 21053  df-cnfld 21308  df-clm 25017  df-cvs 25078

This theorem is referenced by:  iscvsi  25083