Theorem iscvsp 25095

Description: The predicate "is a subcomplex vector space". (Contributed by NM, 31-May-2008.) (Revised by AV, 4-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscvsp.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
iscvsp.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
iscvsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
iscvsp.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
iscvsp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iscvsp	⊢ (𝑊 ∈ ℂVec ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑉,𝑦,𝑧   𝑥,𝑊,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥, · ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscvsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscvs 25094	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec ↔ (𝑊 ∈ ℂMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing))
2		iscvsp.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
3		iscvsp.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		iscvsp.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		iscvsp.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
6		iscvsp.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	isclmp 25064	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
8	7	anbi2ci 626	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing) ↔ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))))))
9		anass 468	. . 3 ⊢ ((((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))) ↔ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))))))
10		3anan12 1096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ↔ (𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))))
11	10	anbi2i 624	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ↔ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))))
12		anass 468	. . . . . 6 ⊢ ((((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ↔ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))))
13	5	eqcomi 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = 𝑆
14	13	eleq1i 2827	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ↔ 𝑆 ∈ DivRing)
15	14	anbi1i 625	. . . . . . 7 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ↔ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)))
16	15	anbi1i 625	. . . . . 6 ⊢ ((((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ↔ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))))
17	11, 12, 16	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ↔ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))))
18		3anan12 1096	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ↔ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))))
19	17, 18	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))
20	19	anbi1i 625	. . 3 ⊢ ((((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
21	8, 9, 20	3bitr2i 299	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
22	1, 21	bitri 275	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  Grpcgrp 18909  SubRingcsubrg 20546  DivRingcdr 20706  ℂ_fldccnfld 21352  ℂModcclm 25029  ℂVecccvs 25090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lvec 21098  df-cnfld 21353  df-clm 25030  df-cvs 25091

This theorem is referenced by:  iscvsi  25096