Theorem glbpr 49665

Description: The GLB of the set of two comparable elements in a poset is the less one of the two. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubpr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubpr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lubpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lubpr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubpr.c	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lubpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
glbpr.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
glbpr	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑋)

Proof of Theorem glbpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubpr.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
2		lubpr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		lubpr.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		lubpr.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		lubpr.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		lubpr.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
7		lubpr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
8		glbpr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	glbprlem 49663	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑆) = 𝑋))
10	9	simprd 500	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cpr 4594   class class class wbr 5111  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  lecple 17317  Posetcpo 18363  glbcglb 18366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ple 17330  df-odu 18343  df-proset 18350  df-poset 18369  df-lub 18400  df-glb 18401

This theorem is referenced by:  posmidm  49671