Theorem latledi 18533

Description: An ortholattice is distributive in one ordering direction. (ledi 31833 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latledi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latledi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latledi.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latledi.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latledi	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Proof of Theorem latledi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latledi.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latledi.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latledi.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latmle1 18520	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
5	4	3adant3r3 1201	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
6	1, 2, 3	latmle1 18520	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋)
7	6	3adant3r2 1200	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋)
8	1, 3	latmcl 18496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
9	8	3adant3r3 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
10	1, 3	latmcl 18496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
11	10	3adant3r2 1200	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
12		simpr1 1211	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	9, 11, 12	3jca 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14		latledi.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15	1, 2, 14	latjle12 18506	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋))
16	13, 15	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋))
17	5, 7, 16	mpbi2and 724	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋)
18	1, 2, 3	latmle2 18521	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)
19	18	3adant3r3 1201	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)
20	1, 2, 3	latmle2 18521	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
21	20	3adant3r2 1200	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
22		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
23		simpr2 1212	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		simpr3 1213	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 14	latjlej12 18511	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
26	22, 9, 23, 11, 24, 25	syl122anc 1404	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
27	19, 21, 26	mp2and 711	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
28	1, 14	latjcl 18495	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
29	22, 9, 11, 28	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
30	1, 14	latjcl 18495	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
31	30	3adant3r1 1199	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
32	1, 2, 3	latlem12 18522	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
33	22, 29, 12, 31, 32	syl13anc 1397	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
34	17, 27, 33	mpbi2and 724	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  lecple 17317  joincjn 18367  meetcmee 18368  Latclat 18487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-poset 18369  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-lat 18488

This theorem is referenced by:  omlfh1N  39922