MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latledi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latledi 18430
Description: An ortholattice is distributive in one ordering direction. (ledi 30793 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latledi.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latledi.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latledi.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
latledi.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latledi ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
Proof of Theorem latledi
StepHypRef Expression
1 latledi.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latledi.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 latledi.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
41, 2, 3latmle1 18417 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
543adant3r3 1185 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
61, 2, 3latmle1 18417 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑋)
763adant3r2 1184 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑋)
81, 3latmcl 18393 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
983adant3r3 1185 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
101, 3latmcl 18393 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
11103adant3r2 1184 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
12 simpr1 1195 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
139, 11, 123jca 1129 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
14 latledi.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
151, 2, 14latjle12 18403 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑋) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ 𝑋))
1613, 15syldan 592 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑋) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ 𝑋))
175, 7, 16mpbi2and 711 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ 𝑋)
181, 2, 3latmle2 18418 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
19183adant3r3 1185 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
201, 2, 3latmle2 18418 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑍)
21203adant3r2 1184 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑍)
22 simpl 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
23 simpr2 1196 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
24 simpr3 1197 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
251, 2, 14latjlej12 18408 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
2622, 9, 23, 11, 24, 25syl122anc 1380 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
2719, 21, 26mp2and 698 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍))
281, 14latjcl 18392 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐡)
2922, 9, 11, 28syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐡)
301, 14latjcl 18392 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
31303adant3r1 1183 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
321, 2, 3latlem12 18419 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)) β†’ ((((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
3322, 29, 12, 31, 32syl13anc 1373 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
3417, 27, 33mpbi2and 711 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-poset 18266  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-lat 18385
This theorem is referenced by:  omlfh1N  38128
  Copyright terms: Public domain W3C validator