MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latledi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latledi 18409
Description: An ortholattice is distributive in one ordering direction. (ledi 30651 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latledi.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latledi.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latledi.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
latledi.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latledi ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
Proof of Theorem latledi
StepHypRef Expression
1 latledi.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latledi.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 latledi.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
41, 2, 3latmle1 18396 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
543adant3r3 1184 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
61, 2, 3latmle1 18396 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑋)
763adant3r2 1183 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑋)
81, 3latmcl 18372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
983adant3r3 1184 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
101, 3latmcl 18372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
11103adant3r2 1183 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
12 simpr1 1194 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
139, 11, 123jca 1128 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
14 latledi.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
151, 2, 14latjle12 18382 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑋) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ 𝑋))
1613, 15syldan 591 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑋) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ 𝑋))
175, 7, 16mpbi2and 710 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ 𝑋)
181, 2, 3latmle2 18397 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
19183adant3r3 1184 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
201, 2, 3latmle2 18397 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑍)
21203adant3r2 1183 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑍)
22 simpl 483 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
23 simpr2 1195 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
24 simpr3 1196 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
251, 2, 14latjlej12 18387 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
2622, 9, 23, 11, 24, 25syl122anc 1379 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
2719, 21, 26mp2and 697 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍))
281, 14latjcl 18371 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐡)
2922, 9, 11, 28syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐡)
301, 14latjcl 18371 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
31303adant3r1 1182 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
321, 2, 3latlem12 18398 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)) β†’ ((((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
3322, 29, 12, 31, 32syl13anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
3417, 27, 33mpbi2and 710 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6529  (class class class)co 7390  Basecbs 17123  lecple 17183  joincjn 18243  meetcmee 18244  Latclat 18363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-poset 18245  df-lub 18278  df-glb 18279  df-join 18280  df-meet 18281  df-lat 18364
This theorem is referenced by:  omlfh1N  37917
  Copyright terms: Public domain W3C validator