Theorem latledi 17983

Description: An ortholattice is distributive in one ordering direction. (ledi 29621 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latledi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latledi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latledi.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latledi.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latledi	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Proof of Theorem latledi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latledi.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latledi.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latledi.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latmle1 17970	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
5	4	3adant3r3 1186	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
6	1, 2, 3	latmle1 17970	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋)
7	6	3adant3r2 1185	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋)
8	1, 3	latmcl 17946	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
9	8	3adant3r3 1186	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
10	1, 3	latmcl 17946	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
11	10	3adant3r2 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
12		simpr1 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	9, 11, 12	3jca 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14		latledi.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15	1, 2, 14	latjle12 17956	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋))
16	13, 15	syldan 594	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋))
17	5, 7, 16	mpbi2and 712	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋)
18	1, 2, 3	latmle2 17971	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)
19	18	3adant3r3 1186	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)
20	1, 2, 3	latmle2 17971	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
21	20	3adant3r2 1185	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
22		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
23		simpr2 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		simpr3 1198	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 14	latjlej12 17961	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
26	22, 9, 23, 11, 24, 25	syl122anc 1381	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
27	19, 21, 26	mp2and 699	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
28	1, 14	latjcl 17945	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
29	22, 9, 11, 28	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
30	1, 14	latjcl 17945	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
31	30	3adant3r1 1184	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
32	1, 2, 3	latlem12 17972	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
33	22, 29, 12, 31, 32	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
34	17, 27, 33	mpbi2and 712	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  lecple 16809  joincjn 17818  meetcmee 17819  Latclat 17937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-poset 17820  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-lat 17938

This theorem is referenced by:  omlfh1N  37009