Theorem latledi 18547

Description: An ortholattice is distributive in one ordering direction. (ledi 31572 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latledi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latledi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latledi.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latledi.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latledi	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Proof of Theorem latledi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latledi.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latledi.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latledi.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latmle1 18534	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
5	4	3adant3r3 1184	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
6	1, 2, 3	latmle1 18534	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋)
7	6	3adant3r2 1183	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋)
8	1, 3	latmcl 18510	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
9	8	3adant3r3 1184	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
10	1, 3	latmcl 18510	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
11	10	3adant3r2 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
12		simpr1 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	9, 11, 12	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14		latledi.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15	1, 2, 14	latjle12 18520	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋))
16	13, 15	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋))
17	5, 7, 16	mpbi2and 711	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋)
18	1, 2, 3	latmle2 18535	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)
19	18	3adant3r3 1184	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)
20	1, 2, 3	latmle2 18535	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
21	20	3adant3r2 1183	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
22		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
23		simpr2 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		simpr3 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 14	latjlej12 18525	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
26	22, 9, 23, 11, 24, 25	syl122anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
27	19, 21, 26	mp2and 698	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
28	1, 14	latjcl 18509	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
29	22, 9, 11, 28	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
30	1, 14	latjcl 18509	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
31	30	3adant3r1 1182	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
32	1, 2, 3	latlem12 18536	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
33	22, 29, 12, 31, 32	syl13anc 1372	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
34	17, 27, 33	mpbi2and 711	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  lecple 17318  joincjn 18381  meetcmee 18382  Latclat 18501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-poset 18383  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-lat 18502

This theorem is referenced by:  omlfh1N  39214