Theorem latledi 18383

Description: An ortholattice is distributive in one ordering direction. (ledi 31484 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latledi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latledi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latledi.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latledi.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latledi	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Proof of Theorem latledi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latledi.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latledi.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latledi.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latmle1 18370	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
5	4	3adant3r3 1185	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
6	1, 2, 3	latmle1 18370	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋)
7	6	3adant3r2 1184	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋)
8	1, 3	latmcl 18346	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
9	8	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
10	1, 3	latmcl 18346	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
11	10	3adant3r2 1184	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
12		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	9, 11, 12	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14		latledi.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15	1, 2, 14	latjle12 18356	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋))
16	13, 15	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋))
17	5, 7, 16	mpbi2and 712	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋)
18	1, 2, 3	latmle2 18371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)
19	18	3adant3r3 1185	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)
20	1, 2, 3	latmle2 18371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
21	20	3adant3r2 1184	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
22		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
23		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 14	latjlej12 18361	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
26	22, 9, 23, 11, 24, 25	syl122anc 1381	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
27	19, 21, 26	mp2and 699	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
28	1, 14	latjcl 18345	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
29	22, 9, 11, 28	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
30	1, 14	latjcl 18345	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
31	30	3adant3r1 1183	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
32	1, 2, 3	latlem12 18372	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
33	22, 29, 12, 31, 32	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
34	17, 27, 33	mpbi2and 712	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  lecple 17168  joincjn 18217  meetcmee 18218  Latclat 18337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-poset 18219  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-lat 18338

This theorem is referenced by:  omlfh1N  39247