MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latledi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latledi 18434
Description: An ortholattice is distributive in one ordering direction. (ledi 31060 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latledi.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latledi.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latledi.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
latledi.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latledi ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
Proof of Theorem latledi
StepHypRef Expression
1 latledi.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latledi.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 latledi.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
41, 2, 3latmle1 18421 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
543adant3r3 1182 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
61, 2, 3latmle1 18421 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑋)
763adant3r2 1181 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑋)
81, 3latmcl 18397 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
983adant3r3 1182 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
101, 3latmcl 18397 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
11103adant3r2 1181 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
12 simpr1 1192 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
139, 11, 123jca 1126 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
14 latledi.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
151, 2, 14latjle12 18407 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑋) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ 𝑋))
1613, 15syldan 589 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑋) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ 𝑋))
175, 7, 16mpbi2and 708 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ 𝑋)
181, 2, 3latmle2 18422 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
19183adant3r3 1182 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
201, 2, 3latmle2 18422 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑍)
21203adant3r2 1181 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑍)
22 simpl 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
23 simpr2 1193 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
24 simpr3 1194 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
251, 2, 14latjlej12 18412 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
2622, 9, 23, 11, 24, 25syl122anc 1377 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
2719, 21, 26mp2and 695 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍))
281, 14latjcl 18396 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐡)
2922, 9, 11, 28syl3anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐡)
301, 14latjcl 18396 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
31303adant3r1 1180 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
321, 2, 3latlem12 18423 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)) β†’ ((((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
3322, 29, 12, 31, 32syl13anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
3417, 27, 33mpbi2and 708 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ≀ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-poset 18270  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-lat 18389
This theorem is referenced by:  omlfh1N  38431
  Copyright terms: Public domain W3C validator