Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  latmrot Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmrot 35810
Description: Rotate lattice meet of 3 classes. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olmass.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olmass.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmrot ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = ((𝑍 𝑋) 𝑌))

Proof of Theorem latmrot
StepHypRef Expression
1 ollat 35791 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 473 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simpr1 1174 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
4 simpr2 1175 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
5 olmass.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 olmass.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
75, 6latmcl 17520 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
82, 3, 4, 7syl3anc 1351 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
9 simpr3 1176 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
105, 6latmcom 17543 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = (𝑍 (𝑋 𝑌)))
112, 8, 9, 10syl3anc 1351 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = (𝑍 (𝑋 𝑌)))
12 simpl 475 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
135, 6latmassOLD 35807 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑍𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑍 𝑋) 𝑌) = (𝑍 (𝑋 𝑌)))
1412, 9, 3, 4, 13syl13anc 1352 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑍 𝑋) 𝑌) = (𝑍 (𝑋 𝑌)))
1511, 14eqtr4d 2818 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = ((𝑍 𝑋) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  meetcmee 17413  Latclat 17513  OLcol 35752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-proset 17396  df-poset 17414  df-lub 17442  df-glb 17443  df-join 17444  df-meet 17445  df-lat 17514  df-oposet 35754  df-ol 35756
This theorem is referenced by:  cdleme15b  36853
  Copyright terms: Public domain W3C validator