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Theorem latmassOLD 38612
Description: Ortholattice meet is associative. (This can also be proved for lattices with a longer proof.) (inass 4214 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
olmass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
olmass.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latmassOLD ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑍) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
Proof of Theorem latmassOLD
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
2 ollat 38596 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 olop 38597 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ OP)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
6 simpr1 1191 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 olmass.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 eqid 2726 . . . . . . 7 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
97, 8opoccl 38577 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
105, 6, 9syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
11 simpr2 1192 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
127, 8opoccl 38577 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
135, 11, 12syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
14 eqid 2726 . . . . . 6 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
157, 14latjcl 18404 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
163, 10, 13, 15syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
17 simpr3 1193 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
18 olmass.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
197, 14, 18, 8oldmj3 38606 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) ∧ 𝑍))
201, 16, 17, 19syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) ∧ 𝑍))
217, 8opoccl 38577 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
225, 17, 21syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
237, 14latjass 18448 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))))
243, 10, 13, 22, 23syl13anc 1369 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))))
2524fveq2d 6889 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
267, 14, 18, 8oldmj4 38607 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
27263adant3r3 1181 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
2827oveq1d 7420 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) ∧ 𝑍) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑍))
2920, 25, 283eqtr3rd 2775 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑍) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
307, 14latjcl 18404 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
313, 13, 22, 30syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
327, 14, 18, 8oldmj2 38605 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (𝑋 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
331, 6, 31, 32syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (𝑋 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
347, 14, 18, 8oldmj4 38607 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
35343adant3r1 1179 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
3635oveq2d 7421 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
3729, 33, 363eqtrd 2770 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑍) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  occoc 17214  joincjn 18276  meetcmee 18277  Latclat 18396  OPcops 38555  OLcol 38557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-lat 18397  df-oposet 38559  df-ol 38561
This theorem is referenced by:  latm12  38613  latm32  38614  latmrot  38615  latm4  38616  cmtcomlemN  38631  cmtbr3N  38637  omlfh1N  38641  dalawlem2  39256  dalawlem7  39261  dalawlem11  39265  dalawlem12  39266  lhp2at0  39416  cdleme20d  39696  cdleme23b  39734  cdlemh2  40200  dia2dimlem2  40449  dihmeetbclemN  40688
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