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Theorem latmassOLD 38756
Description: Ortholattice meet is associative. (This can also be proved for lattices with a longer proof.) (inass 4214 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
olmass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
olmass.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latmassOLD ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑍) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
Proof of Theorem latmassOLD
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
2 ollat 38740 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
32adantr 479 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 olop 38741 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ OP)
54adantr 479 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
6 simpr1 1191 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 olmass.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 eqid 2725 . . . . . . 7 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
97, 8opoccl 38721 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
105, 6, 9syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
11 simpr2 1192 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
127, 8opoccl 38721 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
135, 11, 12syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
14 eqid 2725 . . . . . 6 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
157, 14latjcl 18428 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
163, 10, 13, 15syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
17 simpr3 1193 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
18 olmass.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
197, 14, 18, 8oldmj3 38750 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) ∧ 𝑍))
201, 16, 17, 19syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) ∧ 𝑍))
217, 8opoccl 38721 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
225, 17, 21syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
237, 14latjass 18472 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))))
243, 10, 13, 22, 23syl13anc 1369 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))))
2524fveq2d 6895 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
267, 14, 18, 8oldmj4 38751 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
27263adant3r3 1181 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
2827oveq1d 7430 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) ∧ 𝑍) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑍))
2920, 25, 283eqtr3rd 2774 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑍) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
307, 14latjcl 18428 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
313, 13, 22, 30syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
327, 14, 18, 8oldmj2 38749 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (𝑋 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
331, 6, 31, 32syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (𝑋 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
347, 14, 18, 8oldmj4 38751 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
35343adant3r1 1179 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
3635oveq2d 7431 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
3729, 33, 363eqtrd 2769 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑍) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  occoc 17238  joincjn 18300  meetcmee 18301  Latclat 18420  OPcops 38699  OLcol 38701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-proset 18284  df-poset 18302  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-lat 18421  df-oposet 38703  df-ol 38705
This theorem is referenced by:  latm12  38757  latm32  38758  latmrot  38759  latm4  38760  cmtcomlemN  38775  cmtbr3N  38781  omlfh1N  38785  dalawlem2  39400  dalawlem7  39405  dalawlem11  39409  dalawlem12  39410  lhp2at0  39560  cdleme20d  39840  cdleme23b  39878  cdlemh2  40344  dia2dimlem2  40593  dihmeetbclemN  40832
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