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Theorem latmassOLD 38087
Description: Ortholattice meet is associative. (This can also be proved for lattices with a longer proof.) (inass 4218 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
olmass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
olmass.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latmassOLD ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑍) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
Proof of Theorem latmassOLD
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
2 ollat 38071 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 olop 38072 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ OP)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
6 simpr1 1194 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 olmass.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 eqid 2732 . . . . . . 7 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
97, 8opoccl 38052 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
105, 6, 9syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
11 simpr2 1195 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
127, 8opoccl 38052 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
135, 11, 12syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
14 eqid 2732 . . . . . 6 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
157, 14latjcl 18388 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
163, 10, 13, 15syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
17 simpr3 1196 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
18 olmass.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
197, 14, 18, 8oldmj3 38081 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) ∧ 𝑍))
201, 16, 17, 19syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) ∧ 𝑍))
217, 8opoccl 38052 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
225, 17, 21syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
237, 14latjass 18432 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))))
243, 10, 13, 22, 23syl13anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))))
2524fveq2d 6892 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
267, 14, 18, 8oldmj4 38082 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
27263adant3r3 1184 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
2827oveq1d 7420 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) ∧ 𝑍) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑍))
2920, 25, 283eqtr3rd 2781 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑍) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
307, 14latjcl 18388 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
313, 13, 22, 30syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
327, 14, 18, 8oldmj2 38080 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (𝑋 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
331, 6, 31, 32syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (𝑋 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
347, 14, 18, 8oldmj4 38082 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
35343adant3r1 1182 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
3635oveq2d 7421 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
3729, 33, 363eqtrd 2776 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑍) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  occoc 17201  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  OPcops 38030  OLcol 38032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-lat 18381  df-oposet 38034  df-ol 38036
This theorem is referenced by:  latm12  38088  latm32  38089  latmrot  38090  latm4  38091  cmtcomlemN  38106  cmtbr3N  38112  omlfh1N  38116  dalawlem2  38731  dalawlem7  38736  dalawlem11  38740  dalawlem12  38741  lhp2at0  38891  cdleme20d  39171  cdleme23b  39209  cdlemh2  39675  dia2dimlem2  39924  dihmeetbclemN  40163
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