Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemd7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemd7 39587
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemd4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemd4.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemd4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemd4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemd4.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemd7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))

Proof of Theorem cdlemd7
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
2 simp2l 1196 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
3 simp2r 1197 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
4 simp11l 1281 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
54hllatd 38746 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
6 simp2rl 1239 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
7 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
8 cdlemd4.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
97, 8atbase 38671 . . . 4 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
106, 9syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simp2ll 1237 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
127, 8atbase 38671 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1311, 12syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 simp11 1200 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
15 simp12l 1283 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
16 cdlemd4.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
17 cdlemd4.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
187, 16, 17ltrncl 39508 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1914, 15, 13, 18syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 simp3r 1199 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
21 cdlemd4.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
22 cdlemd4.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
237, 21, 22latnlej1l 18419 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑄 β‰  𝑃)
2423necomd 2990 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
255, 10, 13, 19, 20, 24syl131anc 1380 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
26 simp3l 1198 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ))
27 simp12 1201 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
2821, 22, 8, 16, 17cdlemd6 39586 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))
2914, 27, 2, 3, 20, 26, 28syl231anc 1387 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))
3021, 22, 8, 16, 17cdlemd5 39585 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))
311, 2, 3, 25, 26, 29, 30syl132anc 1385 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  lecple 17210  joincjn 18273  Latclat 18393  Atomscatm 38645  HLchlt 38732  LHypclh 39367  LTrncltrn 39484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8821  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542
This theorem is referenced by:  cdlemd9  39589
  Copyright terms: Public domain W3C validator