Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemd7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemd7 39531
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemd4.l = (le‘𝐾)
cdlemd4.j = (join‘𝐾)
cdlemd4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemd4.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemd4.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemd7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → (𝐹𝑅) = (𝐺𝑅))

Proof of Theorem cdlemd7
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴))
2 simp2l 1196 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp2r 1197 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
4 simp11l 1281 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → 𝐾 ∈ HL)
54hllatd 38690 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp2rl 1239 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → 𝑄𝐴)
7 eqid 2724 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 cdlemd4.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
97, 8atbase 38615 . . . 4 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
106, 9syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
11 simp2ll 1237 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → 𝑃𝐴)
127, 8atbase 38615 . . . 4 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
14 simp11 1200 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 simp12l 1283 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → 𝐹𝑇)
16 cdlemd4.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
17 cdlemd4.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
187, 16, 17ltrncl 39452 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
1914, 15, 13, 18syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → (𝐹𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
20 simp3r 1199 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))
21 cdlemd4.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
22 cdlemd4.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
237, 21, 22latnlej1l 18411 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃))) → 𝑄𝑃)
2423necomd 2988 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃))) → 𝑃𝑄)
255, 10, 13, 19, 20, 24syl131anc 1380 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → 𝑃𝑄)
26 simp3l 1198 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃))
27 simp12 1201 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → (𝐹𝑇𝐺𝑇))
2821, 22, 8, 16, 17cdlemd6 39530 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃))) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → (𝐹𝑄) = (𝐺𝑄))
2914, 27, 2, 3, 20, 26, 28syl231anc 1387 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → (𝐹𝑄) = (𝐺𝑄))
3021, 22, 8, 16, 17cdlemd5 39529 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ (𝐹𝑄) = (𝐺𝑄))) → (𝐹𝑅) = (𝐺𝑅))
311, 2, 3, 25, 26, 29, 30syl132anc 1385 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → (𝐹𝑅) = (𝐺𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932   class class class wbr 5138  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17142  lecple 17202  joincjn 18265  Latclat 18385  Atomscatm 38589  HLchlt 38676  LHypclh 39311  LTrncltrn 39428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8817  df-proset 18249  df-poset 18267  df-plt 18284  df-lub 18300  df-glb 18301  df-join 18302  df-meet 18303  df-p0 18379  df-p1 18380  df-lat 18386  df-clat 18453  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-psubsp 38830  df-pmap 38831  df-padd 39123  df-lhyp 39315  df-laut 39316  df-ldil 39431  df-ltrn 39432  df-trl 39486
This theorem is referenced by:  cdlemd9  39533
  Copyright terms: Public domain W3C validator