Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1137 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄)) |
2 | | simp2l 1200 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simp2r 1201 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp11l 1285 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β πΎ β HL) |
5 | 4 | hllatd 37829 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β πΎ β Lat) |
6 | | simp2rl 1243 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β π β π΄) |
7 | | eqid 2737 |
. . . . 5
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
8 | | cdlemd4.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 7, 8 | atbase 37754 |
. . . 4
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
10 | 6, 9 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β π β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp2ll 1241 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β π β π΄) |
12 | 7, 8 | atbase 37754 |
. . . 4
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β π β (BaseβπΎ)) |
14 | | simp11 1204 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
15 | | simp12l 1287 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β πΉ β π) |
16 | | cdlemd4.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
17 | | cdlemd4.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
18 | 7, 16, 17 | ltrncl 38591 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β (BaseβπΎ)) β (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) |
19 | 14, 15, 13, 18 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) |
20 | | simp3r 1203 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
21 | | cdlemd4.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
22 | | cdlemd4.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
23 | 7, 21, 22 | latnlej1l 18347 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ))) β π β π) |
24 | 23 | necomd 3000 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ))) β π β π) |
25 | 5, 10, 13, 19, 20, 24 | syl131anc 1384 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β π β π) |
26 | | simp3l 1202 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β (πΉβπ) = (πΊβπ)) |
27 | | simp12 1205 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β (πΉ β π β§ πΊ β π)) |
28 | 21, 22, 8, 16, 17 | cdlemd6 38669 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ))) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β (πΉβπ) = (πΊβπ)) |
29 | 14, 27, 2, 3, 20, 26, 28 | syl231anc 1391 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β (πΉβπ) = (πΊβπ)) |
30 | 21, 22, 8, 16, 17 | cdlemd5 38668 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |
31 | 1, 2, 3, 25, 26, 29, 30 | syl132anc 1389 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |