Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3atlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3atlem4 39089
Description: Lemma for 3at 39093. (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3at.l = (le‘𝐾)
3at.j = (join‘𝐾)
3at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3atlem4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑆 𝑇) 𝑅))

Proof of Theorem 3atlem4
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1201 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴))
3 simp13l 1285 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑆𝐴)
4 simp13r 1286 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑇𝐴)
5 simp123 1304 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑅𝐴)
63, 4, 53jca 1125 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑅𝐴))
7 simp2l 1196 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
81hllatd 38966 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝐾 ∈ Lat)
9 eqid 2725 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10 3at.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
119, 10atbase 38891 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
125, 11syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
13 simp121 1302 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑃𝐴)
149, 10atbase 38891 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1513, 14syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
16 simp122 1303 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑄𝐴)
179, 10atbase 38891 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
19 3at.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
20 3at.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
219, 19, 20latnlej1l 18452 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → 𝑅𝑃)
228, 12, 15, 18, 7, 21syl131anc 1380 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑅𝑃)
2322necomd 2985 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑃𝑅)
24 simp2r 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑃𝑄)
2524necomd 2985 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑄𝑃)
2619, 20, 10hlatexch1 38998 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑃𝐴) ∧ 𝑄𝑃) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → 𝑅 (𝑃 𝑄)))
271, 16, 5, 13, 25, 26syl131anc 1380 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → 𝑅 (𝑃 𝑄)))
287, 27mtod 197 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅))
29 simp3 1135 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅))
3019, 20, 103atlem3 39088 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑅𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑅 ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑆 𝑇) 𝑅))
311, 2, 6, 7, 23, 28, 29, 30syl331anc 1392 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑆 𝑇) 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  lecple 17243  joincjn 18306  Latclat 18426  Atomscatm 38865  HLchlt 38952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-lat 18427  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953
This theorem is referenced by:  3atlem5  39090
  Copyright terms: Public domain W3C validator