Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1200 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β πΎ β HL) |
2 | | simp12 1201 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) |
3 | | simp13l 1285 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β π β π΄) |
4 | | simp13r 1286 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β π β π΄) |
5 | | simp123 1304 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β π
β π΄) |
6 | 3, 4, 5 | 3jca 1125 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) |
7 | | simp2l 1196 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
8 | 1 | hllatd 38746 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β πΎ β Lat) |
9 | | eqid 2726 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
10 | | 3at.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | 9, 10 | atbase 38671 |
. . . . 5
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
12 | 5, 11 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β π
β (BaseβπΎ)) |
13 | | simp121 1302 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β π β π΄) |
14 | 9, 10 | atbase 38671 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
15 | 13, 14 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β π β (BaseβπΎ)) |
16 | | simp122 1303 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β π β π΄) |
17 | 9, 10 | atbase 38671 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
18 | 16, 17 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β π β (BaseβπΎ)) |
19 | | 3at.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
20 | | 3at.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
21 | 9, 19, 20 | latnlej1l 18419 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π
β π) |
22 | 8, 12, 15, 18, 7, 21 | syl131anc 1380 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β π
β π) |
23 | 22 | necomd 2990 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β π β π
) |
24 | | simp2r 1197 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β π β π) |
25 | 24 | necomd 2990 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β π β π) |
26 | 19, 20, 10 | hlatexch1 38778 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β€ (π β¨ π
) β π
β€ (π β¨ π))) |
27 | 1, 16, 5, 13, 25, 26 | syl131anc 1380 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β (π β€ (π β¨ π
) β π
β€ (π β¨ π))) |
28 | 7, 27 | mtod 197 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β Β¬ π β€ (π β¨ π
)) |
29 | | simp3 1135 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
30 | 19, 20, 10 | 3atlem3 38868 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
31 | 1, 2, 6, 7, 23, 28, 29, 30 | syl331anc 1392 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |