Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1198 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
2 | | simp2l 1200 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
3 | | simp31 1210 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
4 | | cdleme17.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
5 | | cdleme17.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | 4, 5 | hlatjcom 37876 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
7 | 1, 2, 3, 6 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
8 | 7 | oveq1d 7373 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ πΆ)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ πΆ))) |
9 | | simp1r 1199 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π») |
10 | | simp2r 1201 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ π) |
11 | | simp32 1211 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
12 | 1 | hllatd 37872 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
13 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
14 | 13, 5 | atbase 37797 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
15 | 11, 14 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
16 | 13, 5 | atbase 37797 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
17 | 2, 16 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
18 | 13, 5 | atbase 37797 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
19 | 3, 18 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
20 | | simp33 1212 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
21 | | cdleme17.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
22 | 13, 21, 4 | latnlej1l 18351 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π β π) |
23 | 22 | necomd 2996 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π β π) |
24 | 12, 15, 17, 19, 20, 23 | syl131anc 1384 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
25 | | cdleme17.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
26 | | cdleme17.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
27 | | cdleme17.c |
. . . . 5
β’ πΆ = ((π β¨ π) β§ π) |
28 | 21, 4, 25, 5, 26, 27 | cdleme9a 38760 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β πΆ β π΄) |
29 | 1, 9, 2, 10, 11, 24, 28 | syl222anc 1387 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΆ β π΄) |
30 | | cdleme17.u |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
31 | | cdleme17.f |
. . . 4
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
32 | | cdleme17.g |
. . . 4
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
33 | 21, 4, 25, 5, 26, 30, 31, 32, 27 | cdleme17b 38796 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) |
34 | 21, 4, 25, 5 | 2llnma1 38296 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ πΆ β π΄) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ πΆ)) = π) |
35 | 1, 2, 3, 29, 33, 34 | syl131anc 1384 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ πΆ)) = π) |
36 | 8, 35 | eqtrd 2773 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ πΆ)) = π) |