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Theorem cdleme9 40255
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 2nd paragraph on p. 114. 𝐶 and 𝐹 represent s1 and f(s) respectively. In their notation, we prove f(s) s1 = q s1. (Contributed by NM, 10-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme9.l = (le‘𝐾)
cdleme9.j = (join‘𝐾)
cdleme9.m = (meet‘𝐾)
cdleme9.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme9.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme9.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme9.f 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
cdleme9.c 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝐹 𝐶) = (𝑄 𝐶))

Proof of Theorem cdleme9
StepHypRef Expression
1 cdleme9.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 cdleme9.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 cdleme9.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
4 cdleme9.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdleme9.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdleme9.u . . . 4 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
7 cdleme9.f . . . 4 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
8 cdleme9.c . . . 4 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cdleme3d 40233 . . 3 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 𝐶))
109oveq1i 7441 . 2 (𝐹 𝐶) = (((𝑆 𝑈) (𝑄 𝐶)) 𝐶)
11 simp1l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
12 simp1 1137 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 simp21 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
14 simp23l 1295 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑆𝐴)
1511hllatd 39365 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝐾 ∈ Lat)
16 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1716, 4atbase 39290 . . . . . . 7 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
1814, 17syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
19 simp21l 1291 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑃𝐴)
2016, 4atbase 39290 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
22 simp22 1208 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑄𝐴)
2316, 4atbase 39290 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
25 simp3 1139 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
2616, 1, 2latnlej1l 18502 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑆𝑃)
2726necomd 2996 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑃𝑆)
2815, 18, 21, 24, 25, 27syl131anc 1385 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑃𝑆)
291, 2, 3, 4, 5, 8cdleme9a 40253 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑆𝐴𝑃𝑆)) → 𝐶𝐴)
3012, 13, 14, 28, 29syl112anc 1376 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝐶𝐴)
311, 2, 3, 4, 5, 6, 16cdleme0aa 40212 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
3212, 19, 22, 31syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
3316, 2latjcl 18484 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
3415, 18, 32, 33syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑆 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
3516, 2, 4hlatjcl 39368 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝐶𝐴) → (𝑄 𝐶) ∈ (Base‘𝐾))
3611, 22, 30, 35syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑄 𝐶) ∈ (Base‘𝐾))
371, 2, 4hlatlej2 39377 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝐶𝐴) → 𝐶 (𝑄 𝐶))
3811, 22, 30, 37syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝐶 (𝑄 𝐶))
3916, 1, 2, 3, 4atmod4i1 39868 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐶𝐴 ∧ (𝑆 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝐶) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐶 (𝑄 𝐶)) → (((𝑆 𝑈) (𝑄 𝐶)) 𝐶) = (((𝑆 𝑈) 𝐶) (𝑄 𝐶)))
4011, 30, 34, 36, 38, 39syl131anc 1385 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (((𝑆 𝑈) (𝑄 𝐶)) 𝐶) = (((𝑆 𝑈) 𝐶) (𝑄 𝐶)))
418oveq2i 7442 . . . . . . 7 (𝑆 𝐶) = (𝑆 ((𝑃 𝑆) 𝑊))
4216, 2, 4hlatjcl 39368 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
4311, 19, 14, 42syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
44 simp1r 1199 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑊𝐻)
4516, 5lhpbase 40000 . . . . . . . . . 10 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
471, 2, 4hlatlej2 39377 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) → 𝑆 (𝑃 𝑆))
4811, 19, 14, 47syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 (𝑃 𝑆))
4916, 1, 2, 3, 4atmod3i1 39866 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑆)) → (𝑆 ((𝑃 𝑆) 𝑊)) = ((𝑃 𝑆) (𝑆 𝑊)))
5011, 14, 43, 46, 48, 49syl131anc 1385 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑆 ((𝑃 𝑆) 𝑊)) = ((𝑃 𝑆) (𝑆 𝑊)))
51 simp23r 1296 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ¬ 𝑆 𝑊)
52 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
531, 2, 52, 4, 5lhpjat2 40023 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝑊) = (1.‘𝐾))
5412, 14, 51, 53syl12anc 837 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑆 𝑊) = (1.‘𝐾))
5554oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑆) (𝑆 𝑊)) = ((𝑃 𝑆) (1.‘𝐾)))
56 hlol 39362 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
5711, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝐾 ∈ OL)
5816, 3, 52olm11 39228 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑆) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑆))
5957, 43, 58syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑆) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑆))
6050, 55, 593eqtrrd 2782 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 𝑆) = (𝑆 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
6141, 60eqtr4id 2796 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑆 𝐶) = (𝑃 𝑆))
6261oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑆 𝐶) 𝑈) = ((𝑃 𝑆) 𝑈))
6316, 4atbase 39290 . . . . . . 7 (𝐶𝐴𝐶 ∈ (Base‘𝐾))
6430, 63syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝐶 ∈ (Base‘𝐾))
6516, 2latj32 18530 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 𝑈) 𝐶) = ((𝑆 𝐶) 𝑈))
6615, 18, 32, 64, 65syl13anc 1374 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑆 𝑈) 𝐶) = ((𝑆 𝐶) 𝑈))
672, 4hlatj32 39373 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑃 𝑆) 𝑄) = ((𝑃 𝑄) 𝑆))
6811, 19, 14, 22, 67syl13anc 1374 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑆) 𝑄) = ((𝑃 𝑄) 𝑆))
6916, 2latjcom 18492 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 (𝑃 𝑆)) = ((𝑃 𝑆) 𝑄))
7015, 24, 43, 69syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑄 (𝑃 𝑆)) = ((𝑃 𝑆) 𝑄))
716oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 (𝑃 𝑈) = (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
7216, 2, 4hlatjcl 39368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
7311, 19, 22, 72syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
741, 2, 4hlatlej1 39376 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑄))
7511, 19, 22, 74syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑃 (𝑃 𝑄))
7616, 1, 2, 3, 4atmod3i1 39866 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑃 𝑊)))
7711, 19, 73, 46, 75, 76syl131anc 1385 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑃 𝑊)))
781, 2, 52, 4, 5lhpjat2 40023 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
7912, 13, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
8079oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑄) (𝑃 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)))
8116, 3, 52olm11 39228 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑄))
8257, 73, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑄))
8377, 80, 823eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = (𝑃 𝑄))
8471, 83eqtrid 2789 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 𝑈) = (𝑃 𝑄))
8584oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑈) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑆))
8668, 70, 853eqtr4d 2787 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑄 (𝑃 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) 𝑆))
8716, 2latj32 18530 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑈) 𝑆) = ((𝑃 𝑆) 𝑈))
8815, 21, 32, 18, 87syl13anc 1374 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑈) 𝑆) = ((𝑃 𝑆) 𝑈))
8986, 88eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑄 (𝑃 𝑆)) = ((𝑃 𝑆) 𝑈))
9062, 66, 893eqtr4d 2787 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑆 𝑈) 𝐶) = (𝑄 (𝑃 𝑆)))
9190oveq1d 7446 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (((𝑆 𝑈) 𝐶) (𝑄 𝐶)) = ((𝑄 (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝐶)))
9216, 1, 3latmle1 18509 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑆) 𝑊) (𝑃 𝑆))
9315, 43, 46, 92syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑆) 𝑊) (𝑃 𝑆))
948, 93eqbrtrid 5178 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝐶 (𝑃 𝑆))
9516, 1, 2latjlej2 18499 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐶 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝐶 (𝑃 𝑆) → (𝑄 𝐶) (𝑄 (𝑃 𝑆))))
9615, 64, 43, 24, 95syl13anc 1374 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝐶 (𝑃 𝑆) → (𝑄 𝐶) (𝑄 (𝑃 𝑆))))
9794, 96mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑄 𝐶) (𝑄 (𝑃 𝑆)))
9816, 2latjcl 18484 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
9915, 24, 43, 98syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑄 (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
10016, 1, 3latleeqm2 18513 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝐶) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝐶) (𝑄 (𝑃 𝑆)) ↔ ((𝑄 (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝐶)) = (𝑄 𝐶)))
10115, 36, 99, 100syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑄 𝐶) (𝑄 (𝑃 𝑆)) ↔ ((𝑄 (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝐶)) = (𝑄 𝐶)))
10297, 101mpbid 232 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑄 (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝐶)) = (𝑄 𝐶))
10340, 91, 1023eqtrd 2781 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (((𝑆 𝑈) (𝑄 𝐶)) 𝐶) = (𝑄 𝐶))
10410, 103eqtrid 2789 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝐹 𝐶) = (𝑄 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  joincjn 18357  meetcmee 18358  1.cp1 18469  Latclat 18476  OLcol 39175  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LHypclh 39986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990
This theorem is referenced by:  cdleme9tN  40259  cdleme17a  40288
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