Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme3e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme3e 38698
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme3fa 38702 and cdleme3 38703. (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme1.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme1.f 𝐹 = ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))
cdleme3.3 𝑉 = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdleme3e (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem cdleme3e
StepHypRef Expression
1 cdleme3.3 . 2 𝑉 = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)
2 simpl 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simpr1 1195 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
4 simpr3l 1235 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
5 hllat 37828 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
65ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
7 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
8 cdleme1.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
97, 8atbase 37754 . . . . . 6 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
104, 9syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simpr1l 1231 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
127, 8atbase 37754 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 simpr2 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
157, 8atbase 37754 . . . . . 6 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 simpr3r 1236 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
18 cdleme1.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
19 cdleme1.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
207, 18, 19latnlej1l 18347 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑅 β‰  𝑃)
216, 10, 13, 16, 17, 20syl131anc 1384 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑅 β‰  𝑃)
2221necomd 3000 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑅)
23 cdleme1.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
24 cdleme1.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2518, 19, 23, 8, 24lhpat 38509 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
262, 3, 4, 22, 25syl112anc 1375 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
271, 26eqeltrid 2842 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141  joincjn 18201  meetcmee 18202  Latclat 18321  Atomscatm 37728  HLchlt 37815  LHypclh 38450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-lhyp 38454
This theorem is referenced by:  cdleme3g  38700  cdleme3h  38701
  Copyright terms: Public domain W3C validator