Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme3.3 |
. 2
β’ π = ((π β¨ π
) β§ π) |
2 | | simpl 484 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
3 | | simpr1 1195 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simpr3l 1235 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π
β π΄) |
5 | | hllat 37828 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
6 | 5 | ad2antrr 725 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β πΎ β Lat) |
7 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
8 | | cdleme1.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 7, 8 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
10 | 4, 9 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π
β (BaseβπΎ)) |
11 | | simpr1l 1231 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
12 | 7, 8 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π β (BaseβπΎ)) |
14 | | simpr2 1196 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
15 | 7, 8 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
16 | 14, 15 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π β (BaseβπΎ)) |
17 | | simpr3r 1236 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
18 | | cdleme1.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
19 | | cdleme1.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
20 | 7, 18, 19 | latnlej1l 18347 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π
β π) |
21 | 6, 10, 13, 16, 17, 20 | syl131anc 1384 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π
β π) |
22 | 21 | necomd 3000 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π β π
) |
23 | | cdleme1.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
24 | | cdleme1.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
25 | 18, 19, 23, 8, 24 | lhpat 38509 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π
)) β ((π β¨ π
) β§ π) β π΄) |
26 | 2, 3, 4, 22, 25 | syl112anc 1375 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β ((π β¨ π
) β§ π) β π΄) |
27 | 1, 26 | eqeltrid 2842 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |