Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemd4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemd4 39060
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 30-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemd4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemd4.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemd4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemd4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemd4.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemd4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))
Proof of Theorem cdlemd4
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11l 1284 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp11r 1285 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
3 simp21 1206 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
4 simp22 1207 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
5 simp231 1317 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
6 cdlemd4.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 cdlemd4.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 cdlemd4.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 cdlemd4.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
106, 7, 8, 9cdlemb2 38900 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
111, 2, 3, 4, 5, 10syl221anc 1381 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
12 simpl11 1248 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
13 simpl12 1249 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
14 simpl13 1250 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
15 simpl21 1251 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
16 simprl 769 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
17 simprrl 779 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)
1816, 17jca 512 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))
191hllatd 38222 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2019adantr 481 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2221, 8atbase 38147 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2322ad2antrl 726 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
24 simp21l 1290 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
2521, 8atbase 38147 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2624, 25syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2726adantr 481 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 simp22l 1292 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
2921, 8atbase 38147 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3028, 29syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3130adantr 481 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
32 simprrr 780 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
3321, 6, 7latnlej1l 18406 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑠 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑠 β‰  𝑃)
3433necomd 2996 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑠 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 β‰  𝑠)
3520, 23, 27, 31, 32, 34syl131anc 1383 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑠)
36 simpl22 1252 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
37 simpl23 1253 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃))
386, 7, 8, 9cdlemd3 39059 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑠))
3912, 15, 36, 37, 14, 16, 32, 38syl133anc 1393 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑠))
4035, 39jca 512 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑃 β‰  𝑠 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑠)))
41 simpl3l 1228 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ))
425adantr 481 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
4342, 32jca 512 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
44 simpl3 1193 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„)))
45 cdlemd4.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
466, 7, 8, 9, 45cdlemd2 39058 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = (πΊβ€˜π‘ ))
4712, 13, 16, 15, 36, 43, 44, 46syl331anc 1395 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = (πΊβ€˜π‘ ))
486, 7, 8, 9, 45cdlemd2 39058 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑠 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑠))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) = (πΊβ€˜π‘ ))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))
4912, 13, 14, 15, 18, 40, 41, 47, 48syl332anc 1401 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))
5011, 49rexlimddv 3161 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑃)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8818  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964
This theorem is referenced by:  cdlemd5  39061
  Copyright terms: Public domain W3C validator