Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11l 1285 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β πΎ β HL) |
2 | | simp11r 1286 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β π β π») |
3 | | simp21 1207 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp22 1208 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
5 | | simp231 1318 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β π β π) |
6 | | cdlemd4.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
7 | | cdlemd4.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | cdlemd4.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | | cdlemd4.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
10 | 6, 7, 8, 9 | cdlemb2 38507 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) |
11 | 1, 2, 3, 4, 5, 10 | syl221anc 1382 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) |
12 | | simpl11 1249 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
13 | | simpl12 1250 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (πΉ β π β§ πΊ β π)) |
14 | | simpl13 1251 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π
β π΄) |
15 | | simpl21 1252 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
16 | | simprl 770 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
17 | | simprrl 780 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π β€ π) |
18 | 16, 17 | jca 513 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
19 | 1 | hllatd 37829 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β πΎ β Lat) |
20 | 19 | adantr 482 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β πΎ β Lat) |
21 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
22 | 21, 8 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
23 | 22 | ad2antrl 727 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π β (BaseβπΎ)) |
24 | | simp21l 1291 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β π β π΄) |
25 | 21, 8 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
26 | 24, 25 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β π β (BaseβπΎ)) |
27 | 26 | adantr 482 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π β (BaseβπΎ)) |
28 | | simp22l 1293 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β π β π΄) |
29 | 21, 8 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
30 | 28, 29 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β π β (BaseβπΎ)) |
31 | 30 | adantr 482 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π β (BaseβπΎ)) |
32 | | simprrr 781 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
33 | 21, 6, 7 | latnlej1l 18347 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π β π) |
34 | 33 | necomd 3000 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π β π ) |
35 | 20, 23, 27, 31, 32, 34 | syl131anc 1384 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π β π ) |
36 | | simpl22 1253 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
37 | | simpl23 1254 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) |
38 | 6, 7, 8, 9 | cdlemd3 38666 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π
β€ (π β¨ π )) |
39 | 12, 15, 36, 37, 14, 16, 32, 38 | syl133anc 1394 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π
β€ (π β¨ π )) |
40 | 35, 39 | jca 513 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π ))) |
41 | | simpl3l 1229 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (πΉβπ) = (πΊβπ)) |
42 | 5 | adantr 482 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π β π) |
43 | 42, 32 | jca 513 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) |
44 | | simpl3 1194 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) |
45 | | cdlemd4.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
46 | 6, 7, 8, 9, 45 | cdlemd2 38665 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβπ ) = (πΊβπ )) |
47 | 12, 13, 16, 15, 36, 43, 44, 46 | syl331anc 1396 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (πΉβπ ) = (πΊβπ )) |
48 | 6, 7, 8, 9, 45 | cdlemd2 38665 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π ))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ ) = (πΊβπ ))) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |
49 | 12, 13, 14, 15, 18, 40, 41, 47, 48 | syl332anc 1402 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |
50 | 11, 49 | rexlimddv 3159 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |