Theorem meetat 38768

Description: The meet of any element with an atom is either the atom or zero. (Contributed by NM, 28-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
m.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
m.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
m.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
m.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
meetat	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ))

Proof of Theorem meetat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ollat 38685	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
5		m.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		m.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 38761	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10		m.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11	5, 9, 10	latmle2 18456	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑃)(le‘𝐾)𝑃)
12	2, 3, 8, 11	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑃)(le‘𝐾)𝑃)
13		olop 38686	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
14	13	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
15	5, 10	latmcl 18431	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐵)
16	2, 3, 8, 15	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐵)
17		m.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
18	5, 9, 17, 6	leatb 38764	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃)(le‘𝐾)𝑃 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 )))
19	14, 16, 4, 18	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃)(le‘𝐾)𝑃 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 )))
20	12, 19	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  lecple 17239  meetcmee 18303  0.cp0 18414  Latclat 18422  OPcops 38644  OLcol 38646  Atomscatm 38735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-lat 18423  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-covers 38738  df-ats 38739

This theorem is referenced by:  meetat2  38769