Theorem meetat 39672

Description: The meet of any element with an atom is either the atom or zero. (Contributed by NM, 28-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
m.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
m.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
m.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
m.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
meetat	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ))

Proof of Theorem meetat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ollat 39589	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
5		m.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		m.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 39665	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10		m.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11	5, 9, 10	latmle2 18400	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑃)(le‘𝐾)𝑃)
12	2, 3, 8, 11	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑃)(le‘𝐾)𝑃)
13		olop 39590	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
14	13	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
15	5, 10	latmcl 18375	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐵)
16	2, 3, 8, 15	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐵)
17		m.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
18	5, 9, 17, 6	leatb 39668	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃)(le‘𝐾)𝑃 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 )))
19	14, 16, 4, 18	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃)(le‘𝐾)𝑃 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 )))
20	12, 19	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  lecple 17196  meetcmee 18247  0.cp0 18356  Latclat 18366  OPcops 39548  OLcol 39550  Atomscatm 39639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-lat 18367  df-oposet 39552  df-ol 39554  df-covers 39642  df-ats 39643

This theorem is referenced by:  meetat2  39673