Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meetat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meetat 37306
Description: The meet of any element with an atom is either the atom or zero. (Contributed by NM, 28-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
m.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
m.m = (meet‘𝐾)
m.z 0 = (0.‘𝐾)
m.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
meetat ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 𝑃) = 0 ))

Proof of Theorem meetat
StepHypRef Expression
1 ollat 37223 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp2 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑋𝐵)
4 simp3 1137 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑃𝐴)
5 m.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 m.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 37299 . . . 4 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
84, 7syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑃𝐵)
9 eqid 2740 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10 m.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
115, 9, 10latmle2 18181 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃)(le‘𝐾)𝑃)
122, 3, 8, 11syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃)(le‘𝐾)𝑃)
13 olop 37224 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
14133ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
155, 10latmcl 18156 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
162, 3, 8, 15syl3anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
17 m.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
185, 9, 17, 6leatb 37302 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃)(le‘𝐾)𝑃 ↔ ((𝑋 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 𝑃) = 0 )))
1914, 16, 4, 18syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃)(le‘𝐾)𝑃 ↔ ((𝑋 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 𝑃) = 0 )))
2012, 19mpbid 231 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 𝑃) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wo 844  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110   class class class wbr 5079  cfv 6432  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  lecple 16967  meetcmee 18028  0.cp0 18139  Latclat 18147  OPcops 37182  OLcol 37184  Atomscatm 37273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-proset 18011  df-poset 18029  df-plt 18046  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-p0 18141  df-lat 18148  df-oposet 37186  df-ol 37188  df-covers 37276  df-ats 37277
This theorem is referenced by:  meetat2  37307
  Copyright terms: Public domain W3C validator