Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfgval 41504
Description: Value of the inferior limit function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
liminfgval.1 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
liminfgval (𝑀 ∈ ℝ → (𝐺𝑀) = inf(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem liminfgval
StepHypRef Expression
1 oveq1 6982 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘[,)+∞) = (𝑀[,)+∞))
21imaeq2d 5768 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑀[,)+∞)))
32ineq1d 4070 . . 3 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*))
43infeq1d 8735 . 2 (𝑘 = 𝑀 → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5 liminfgval.1 . 2 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6 xrltso 12350 . . 3 < Or ℝ*
76infex 8751 . 2 inf(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
84, 5, 7fvmpt 6594 1 (𝑀 ∈ ℝ → (𝐺𝑀) = inf(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1508  wcel 2051  cin 3823  cmpt 5005  cima 5407  cfv 6186  (class class class)co 6975  infcinf 8699  cr 10333  +∞cpnf 10470  *cxr 10472   < clt 10473  [,)cico 12555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-op 4443  df-uni 4710  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-id 5309  df-po 5323  df-so 5324  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-ov 6978  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-sup 8700  df-inf 8701  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478
This theorem is referenced by:  liminfval2  41510
  Copyright terms: Public domain W3C validator