Theorem liminfgval 46361

Description: Value of the inferior limit function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
liminfgval.1	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
liminfgval	⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑀) = inf(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem liminfgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘[,)+∞) = (𝑀[,)+∞))
2	1	imaeq2d 6060	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑀[,)+∞)))
3	2	ineq1d 4180	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4	3	infeq1d 9434	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5		liminfgval.1	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6		xrltso 13162	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
7	6	infex 9451	. 2 ⊢ inf(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
8	4, 5, 7	fvmpt 6987	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑀) = inf(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912   ↦ cmpt 5193   “ cima 5662  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  infcinf 9397  ℝcr 11095  +∞cpnf 11236  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239  [,)cico 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244

This theorem is referenced by:  liminfval2  46367