Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfgval 45718
Description: Value of the inferior limit function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
liminfgval.1 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
liminfgval (𝑀 ∈ ℝ → (𝐺𝑀) = inf(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem liminfgval
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘[,)+∞) = (𝑀[,)+∞))
21imaeq2d 6080 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑀[,)+∞)))
32ineq1d 4227 . . 3 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*))
43infeq1d 9515 . 2 (𝑘 = 𝑀 → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5 liminfgval.1 . 2 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6 xrltso 13180 . . 3 < Or ℝ*
76infex 9531 . 2 inf(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
84, 5, 7fvmpt 7016 1 (𝑀 ∈ ℝ → (𝐺𝑀) = inf(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  cin 3962  cmpt 5231  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  infcinf 9479  cr 11152  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  [,)cico 13386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298
This theorem is referenced by:  liminfval2  45724
  Copyright terms: Public domain W3C validator