Theorem limsupge 43302

Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupge.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
limsupge.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
limsupge.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupge	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem limsupge

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupge.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
2		limsupge.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
3		limsupge.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5	4	limsuple 15187	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ 𝐴 ≤ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖)))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ 𝐴 ≤ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖)))
7		oveq1 7282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
8	7	imaeq2d 5969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)))
9	8	ineq1d 4145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
10	9	supeq1d 9205	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
11		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ∈ ℝ)
12		xrltso 12875	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
13	12	supex 9222	. . . . . . 7 ⊢ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
15	4, 10, 11, 14	fvmptd3 6898	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) = sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
16	15	breq2d 5086	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) ↔ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
17	16	ralbidva 3111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℝ 𝐴 ≤ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
18	6, 17	bitrd 278	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
19		oveq1 7282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖[,)+∞) = (𝑘[,)+∞))
20	19	imaeq2d 5969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
21	20	ineq1d 4145	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
22	21	supeq1d 9205	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
23	22	breq2d 5086	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
24	23	cbvralvw 3383	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℝ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
25	24	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℝ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
26	18, 25	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   “ cima 5592  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  supcsup 9199  ℝcr 10870  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  [,)cico 13081  lim supclsp 15179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-limsup 15180

This theorem is referenced by: (None)