Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupge 44088
Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupge.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
limsupge.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
limsupge.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupge (πœ‘ β†’ (𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ 𝐴 ≀ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem limsupge
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupge.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
2 limsupge.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
3 limsupge.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 eqid 2733 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54limsuple 15366 . . . 4 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘– ∈ ℝ 𝐴 ≀ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–)))
61, 2, 3, 5syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘– ∈ ℝ 𝐴 ≀ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–)))
7 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
87imaeq2d 6014 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)))
98ineq1d 4172 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
109supeq1d 9387 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
11 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
12 xrltso 13066 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
1312supex 9404 . . . . . . 7 sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
154, 10, 11, 14fvmptd3 6972 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) = sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
1615breq2d 5118 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ≀ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) ↔ 𝐴 ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
1716ralbidva 3169 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ ℝ 𝐴 ≀ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘– ∈ ℝ 𝐴 ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
186, 17bitrd 279 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘– ∈ ℝ 𝐴 ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
19 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑖[,)+∞) = (π‘˜[,)+∞))
2019imaeq2d 6014 . . . . . . 7 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
2120ineq1d 4172 . . . . . 6 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
2221supeq1d 9387 . . . . 5 (𝑖 = π‘˜ β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
2322breq2d 5118 . . . 4 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝐴 ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ 𝐴 ≀ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
2423cbvralvw 3224 . . 3 (βˆ€π‘– ∈ ℝ 𝐴 ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ 𝐴 ≀ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
2524a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ ℝ 𝐴 ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ 𝐴 ≀ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
2618, 25bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ 𝐴 ≀ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   β€œ cima 5637  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  supcsup 9381  β„cr 11055  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195  [,)cico 13272  lim supclsp 15358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-limsup 15359
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator