Theorem limsupge 46211

Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupge.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
limsupge.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
limsupge.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupge	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem limsupge

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupge.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
2		limsupge.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
3		limsupge.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5	4	limsuple 15435	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ 𝐴 ≤ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖)))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ 𝐴 ≤ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖)))
7		oveq1 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
8	7	imaeq2d 6021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)))
9	8	ineq1d 4160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
10	9	supeq1d 9354	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
11		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ∈ ℝ)
12		xrltso 13087	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
13	12	supex 9372	. . . . . . 7 ⊢ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
15	4, 10, 11, 14	fvmptd3 6967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) = sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
16	15	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) ↔ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
17	16	ralbidva 3159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℝ 𝐴 ≤ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
18	6, 17	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
19		oveq1 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖[,)+∞) = (𝑘[,)+∞))
20	19	imaeq2d 6021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
21	20	ineq1d 4160	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
22	21	supeq1d 9354	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
23	22	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
24	23	cbvralvw 3216	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℝ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
25	24	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℝ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
26	18, 25	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ 𝐴 ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   “ cima 5629  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  supcsup 9348  ℝcr 11032  +∞cpnf 11171  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174   ≤ cle 11175  [,)cico 13295  lim supclsp 15427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-limsup 15428

This theorem is referenced by: (None)