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Theorem liminfval2 45218
Description: The superior limit, relativized to an unbounded set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfval2.1 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
liminfval2.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
liminfval2.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
liminfval2.4 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
Assertion
Ref Expression
liminfval2 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
Distinct variable group:   π‘˜,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝑉(π‘˜)

Proof of Theorem liminfval2
Dummy variables 𝑛 π‘₯ 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 liminfval2.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
2 liminfval2.1 . . . . 5 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3 oveq1 7422 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜[,)+∞) = (𝑗[,)+∞))
43imaeq2d 6058 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)))
54ineq1d 4205 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*))
65infeq1d 9498 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
76cbvmptv 5256 . . . . 5 (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑗 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
82, 7eqtri 2753 . . . 4 𝐺 = (𝑗 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
98liminfval 45209 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
101, 9syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
11 liminfval2.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
12 liminfval2.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
1312ssrexr 44876 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ*)
14 supxrunb1 13328 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† ℝ* β†’ (βˆ€π‘› ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑛 ≀ π‘₯ ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘› ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑛 ≀ π‘₯ ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
1611, 15mpbird 256 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑛 ≀ π‘₯)
178liminfgf 45208 . . . . . . . . . . 11 𝐺:β„βŸΆβ„*
1817ffvelcdmi 7087 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ*)
1918ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ*)
20 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ πœ‘)
21 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
2212sselda 3972 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2317ffvelcdmi 7087 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
2520, 21, 24syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
26 imassrn 6069 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ran 𝐺
27 frn 6723 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:β„βŸΆβ„* β†’ ran 𝐺 βŠ† ℝ*)
2817, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ran 𝐺 βŠ† ℝ*
2926, 28sstri 3982 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ℝ*
30 supxrcl 13324 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ℝ* β†’ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
33 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
3420, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
35 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑛 ≀ π‘₯)
36 liminfgord 45204 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑛 ≀ π‘₯) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3733, 34, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
388liminfgval 45212 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘›) = inf(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3938ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = inf(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
408liminfgval 45212 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = inf(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4122, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = inf(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4241adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = inf(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4339, 42breq12d 5156 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) ≀ (πΊβ€˜π‘₯) ↔ inf(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
4443adantrr 715 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) ≀ (πΊβ€˜π‘₯) ↔ inf(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
4537, 44mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
4629a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ℝ*)
47 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘—πœ‘
48 inss2 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*
49 infxrcl 13342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ* β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5247, 51, 8fnmptd 6690 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
5352adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
54 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5553, 22, 54fnfvimad 7241 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝐺 β€œ 𝐴))
56 supxrub 13333 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ℝ* ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝐺 β€œ 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
5746, 55, 56syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
5820, 21, 57syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
5919, 25, 32, 45, 58xrletrd 13171 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
6059rexlimdvaa 3146 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑛 ≀ π‘₯ β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < )))
6160ralimdva 3157 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘› ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑛 ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘› ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘›) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < )))
6216, 61mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘›) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
63 xrltso 13150 . . . . . . . . 9 < Or ℝ*
6463infex 9514 . . . . . . . 8 inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
6564rgenw 3055 . . . . . . 7 βˆ€π‘— ∈ ℝ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
668fnmpt 6689 . . . . . . 7 (βˆ€π‘— ∈ ℝ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V β†’ 𝐺 Fn ℝ)
6765, 66ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺 Fn ℝ
68 breq1 5146 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘›) β†’ (π‘₯ ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ (πΊβ€˜π‘›) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < )))
6968ralrn 7092 . . . . . 6 (𝐺 Fn ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺 π‘₯ ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘› ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘›) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < )))
7067, 69ax-mp 5 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺 π‘₯ ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘› ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘›) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
7162, 70sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺 π‘₯ ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
72 supxrleub 13335 . . . . 5 ((ran 𝐺 βŠ† ℝ* ∧ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) β†’ (sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺 π‘₯ ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < )))
7328, 31, 72mp2an 690 . . . 4 (sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺 π‘₯ ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
7471, 73sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
7526a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ran 𝐺)
7628a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 βŠ† ℝ*)
77 supxrss 13341 . . . 4 (((𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ran 𝐺 ∧ ran 𝐺 βŠ† ℝ*) β†’ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
7875, 76, 77syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
79 supxrcl 13324 . . . . 5 (ran 𝐺 βŠ† ℝ* β†’ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8028, 79ax-mp 5 . . . 4 sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
81 xrletri3 13163 . . . 4 ((sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) β†’ (sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) = sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ (sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∧ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))))
8280, 31, 81mp2an 690 . . 3 (sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) = sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ (sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∧ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ*, < )))
8374, 78, 82sylanbrc 581 . 2 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) = sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
8410, 83eqtrd 2765 1 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  ran crn 5673   β€œ cima 5675   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  supcsup 9461  infcinf 9462  β„cr 11135  +∞cpnf 11273  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277  [,)cico 13356  lim infclsi 45201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-ico 13360  df-liminf 45202
This theorem is referenced by:  liminfresico  45221
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