Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfval2 45061
Description: The superior limit, relativized to an unbounded set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfval2.1 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
liminfval2.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
liminfval2.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
liminfval2.4 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
Assertion
Ref Expression
liminfval2 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
Distinct variable group:   π‘˜,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝑉(π‘˜)

Proof of Theorem liminfval2
Dummy variables 𝑛 π‘₯ 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 liminfval2.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
2 liminfval2.1 . . . . 5 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜[,)+∞) = (𝑗[,)+∞))
43imaeq2d 6053 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)))
54ineq1d 4206 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*))
65infeq1d 9474 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
76cbvmptv 5254 . . . . 5 (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑗 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
82, 7eqtri 2754 . . . 4 𝐺 = (𝑗 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
98liminfval 45052 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
101, 9syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
11 liminfval2.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
12 liminfval2.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
1312ssrexr 44719 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ*)
14 supxrunb1 13304 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† ℝ* β†’ (βˆ€π‘› ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑛 ≀ π‘₯ ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘› ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑛 ≀ π‘₯ ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
1611, 15mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑛 ≀ π‘₯)
178liminfgf 45051 . . . . . . . . . . 11 𝐺:β„βŸΆβ„*
1817ffvelcdmi 7079 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ*)
1918ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ*)
20 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ πœ‘)
21 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
2212sselda 3977 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2317ffvelcdmi 7079 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
2520, 21, 24syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
26 imassrn 6064 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ran 𝐺
27 frn 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:β„βŸΆβ„* β†’ ran 𝐺 βŠ† ℝ*)
2817, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ran 𝐺 βŠ† ℝ*
2926, 28sstri 3986 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ℝ*
30 supxrcl 13300 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ℝ* β†’ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
33 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
3420, 21, 22syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
35 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑛 ≀ π‘₯)
36 liminfgord 45047 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑛 ≀ π‘₯) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3733, 34, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
388liminfgval 45055 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘›) = inf(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3938ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = inf(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
408liminfgval 45055 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = inf(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4122, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = inf(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4241adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = inf(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4339, 42breq12d 5154 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) ≀ (πΊβ€˜π‘₯) ↔ inf(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
4443adantrr 714 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) ≀ (πΊβ€˜π‘₯) ↔ inf(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
4537, 44mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
4629a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ℝ*)
47 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘—πœ‘
48 inss2 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*
49 infxrcl 13318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ* β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5247, 51, 8fnmptd 6685 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
54 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5553, 22, 54fnfvimad 7231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝐺 β€œ 𝐴))
56 supxrub 13309 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ℝ* ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝐺 β€œ 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
5746, 55, 56syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
5820, 21, 57syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
5919, 25, 32, 45, 58xrletrd 13147 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
6059rexlimdvaa 3150 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑛 ≀ π‘₯ β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < )))
6160ralimdva 3161 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘› ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑛 ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘› ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘›) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < )))
6216, 61mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘›) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
63 xrltso 13126 . . . . . . . . 9 < Or ℝ*
6463infex 9490 . . . . . . . 8 inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
6564rgenw 3059 . . . . . . 7 βˆ€π‘— ∈ ℝ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
668fnmpt 6684 . . . . . . 7 (βˆ€π‘— ∈ ℝ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V β†’ 𝐺 Fn ℝ)
6765, 66ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺 Fn ℝ
68 breq1 5144 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘›) β†’ (π‘₯ ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ (πΊβ€˜π‘›) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < )))
6968ralrn 7083 . . . . . 6 (𝐺 Fn ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺 π‘₯ ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘› ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘›) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < )))
7067, 69ax-mp 5 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺 π‘₯ ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘› ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘›) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
7162, 70sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺 π‘₯ ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
72 supxrleub 13311 . . . . 5 ((ran 𝐺 βŠ† ℝ* ∧ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) β†’ (sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺 π‘₯ ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < )))
7328, 31, 72mp2an 689 . . . 4 (sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺 π‘₯ ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
7471, 73sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
7526a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ran 𝐺)
7628a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 βŠ† ℝ*)
77 supxrss 13317 . . . 4 (((𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ran 𝐺 ∧ ran 𝐺 βŠ† ℝ*) β†’ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
7875, 76, 77syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
79 supxrcl 13300 . . . . 5 (ran 𝐺 βŠ† ℝ* β†’ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8028, 79ax-mp 5 . . . 4 sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
81 xrletri3 13139 . . . 4 ((sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) β†’ (sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) = sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ (sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∧ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))))
8280, 31, 81mp2an 689 . . 3 (sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) = sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ (sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∧ sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ*, < )))
8374, 78, 82sylanbrc 582 . 2 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) = sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
8410, 83eqtrd 2766 1 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  supcsup 9437  infcinf 9438  β„cr 11111  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  [,)cico 13332  lim infclsi 45044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-ico 13336  df-liminf 45045
This theorem is referenced by:  liminfresico  45064
  Copyright terms: Public domain W3C validator