Theorem limsupgval 15113

Description: Value of the superior limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsupval.1	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsupgval	⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑀) = sup(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem limsupgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘[,)+∞) = (𝑀[,)+∞))
2	1	imaeq2d 5958	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑀[,)+∞)))
3	2	ineq1d 4142	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4	3	supeq1d 9135	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5		limsupval.1	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6		xrltso 12804	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
7	6	supex 9152	. 2 ⊢ sup(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
8	4, 5, 7	fvmpt 6857	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑀) = sup(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882   ↦ cmpt 5153   “ cima 5583  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  supcsup 9129  ℝcr 10801  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940  [,)cico 13010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945

This theorem is referenced by:  limsupgle  15114  limsupval2  15117  limsupgre  15118