Theorem limsupgval 15426

Description: Value of the superior limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsupval.1	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsupgval	⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑀) = sup(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem limsupgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘[,)+∞) = (𝑀[,)+∞))
2	1	imaeq2d 6053	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑀[,)+∞)))
3	2	ineq1d 4206	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4	3	supeq1d 9443	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5		limsupval.1	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6		xrltso 13126	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
7	6	supex 9460	. 2 ⊢ sup(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
8	4, 5, 7	fvmpt 6992	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑀) = sup(((𝐹 “ (𝑀[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   ↦ cmpt 5224   “ cima 5672  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  supcsup 9437  ℝcr 11111  +∞cpnf 11249  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252  [,)cico 13332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257

This theorem is referenced by:  limsupgle  15427  limsupval2  15430  limsupgre  15431