Theorem limsupgle 15564

Description: The defining property of the superior limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsupval.1	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsupgle	⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺‘𝐶) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem limsupgle

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
2	1	limsupgval 15563	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐺‘𝐶) = sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3	2	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐺‘𝐶) = sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4	3	breq1d 5113	. 2 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺‘𝐶) ≤ 𝐴 ↔ sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴))
5		inss2 4183	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
6		simp3 1156	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7		supxrleub 13378	. . 3 ⊢ ((((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝐴))
8	5, 6, 7	sylancr 599	. 2 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝐴))
9		imassrn 6067	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ran 𝐹
10		simp1r 1217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
11	10	frnd 6711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ran 𝐹 ⊆ ℝ*)
12	9, 11	sstrid 3942	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
13		dfss2 3917	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ℝ* ↔ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)))
14	12, 13	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)))
15		imadmres 6230	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞))
16	14, 15	eqtr4di 2813	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))))
17	16	raleqdv 3319	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥 ≤ 𝐴))
18	10	ffnd 6703	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐵)
19	10	fdmd 6713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom 𝐹 = 𝐵)
20	19	ineq2d 4166	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐶[,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝐶[,)+∞) ∩ 𝐵))
21		dmres 6005	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) = ((𝐶[,)+∞) ∩ dom 𝐹)
22		incom 4155	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) = ((𝐶[,)+∞) ∩ 𝐵)
23	20, 21, 22	3eqtr4g 2820	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) = (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)))
24		inss1 4182	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵
25	23, 24	eqsstrdi 3975	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵)
26		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑗) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))
27	26	ralima 7236	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))
28	18, 25, 27	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))
29	23	eleq2d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞))))
30		elin 3915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞)))
31	29, 30	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞))))
32		simpl2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
33		simp1l 1216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐵 ⊆ ℝ)
34	33	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝑗 ∈ ℝ)
35		elicopnf 13498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑗)))
36	35	baibd 549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ 𝐶 ≤ 𝑗))
37	32, 34, 36	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ 𝐶 ≤ 𝑗))
38	37	pm5.32da 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝑗)))
39	31, 38	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝑗)))
40	39	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴) ↔ ((𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
41		impexp 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 → (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
42	40, 41	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 → (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))))
43	42	ralbidv2 3181	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
44	17, 28, 43	3bitrd 308	. 2 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
45	4, 8, 44	3bitrd 308	1 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺‘𝐶) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655  ran crn 5656   ↾ cres 5657   “ cima 5658   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  supcsup 9410  ℝcr 11123  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  [,)cico 13400

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-ico 13404

This theorem is used by:  limsupgre  15568  limsupbnd1  15569  limsupbnd2  15570  mbflimsup  25894