Theorem limsupgle 15523

Description: The defining property of the superior limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsupval.1	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsupgle	⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺‘𝐶) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupgle

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
2	1	limsupgval 15522	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐺‘𝐶) = sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3	2	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐺‘𝐶) = sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4	3	breq1d 5176	. 2 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺‘𝐶) ≤ 𝐴 ↔ sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴))
5		inss2 4259	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
6		simp3 1138	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7		supxrleub 13388	. . 3 ⊢ ((((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝐴))
8	5, 6, 7	sylancr 586	. 2 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝐴))
9		imassrn 6100	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ran 𝐹
10		simp1r 1198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
11	10	frnd 6755	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ran 𝐹 ⊆ ℝ*)
12	9, 11	sstrid 4020	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
13		dfss2 3994	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ℝ* ↔ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)))
14	12, 13	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)))
15		imadmres 6265	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞))
16	14, 15	eqtr4di 2798	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))))
17	16	raleqdv 3334	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥 ≤ 𝐴))
18	10	ffnd 6748	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐵)
19	10	fdmd 6757	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom 𝐹 = 𝐵)
20	19	ineq2d 4241	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐶[,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝐶[,)+∞) ∩ 𝐵))
21		dmres 6041	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) = ((𝐶[,)+∞) ∩ dom 𝐹)
22		incom 4230	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) = ((𝐶[,)+∞) ∩ 𝐵)
23	20, 21, 22	3eqtr4g 2805	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) = (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)))
24		inss1 4258	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵
25	23, 24	eqsstrdi 4063	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵)
26		breq1 5169	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑗) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))
27	26	ralima 7274	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))
28	18, 25, 27	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))
29	23	eleq2d 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞))))
30		elin 3992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞)))
31	29, 30	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞))))
32		simpl2 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
33		simp1l 1197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐵 ⊆ ℝ)
34	33	sselda 4008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝑗 ∈ ℝ)
35		elicopnf 13505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑗)))
36	35	baibd 539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ 𝐶 ≤ 𝑗))
37	32, 34, 36	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ 𝐶 ≤ 𝑗))
38	37	pm5.32da 578	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝑗)))
39	31, 38	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝑗)))
40	39	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴) ↔ ((𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
41		impexp 450	. . . . 5 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 → (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
42	40, 41	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 → (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))))
43	42	ralbidv2 3180	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
44	17, 28, 43	3bitrd 305	. 2 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
45	4, 8, 44	3bitrd 305	1 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺‘𝐶) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700  ran crn 5701   ↾ cres 5702   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  supcsup 9509  ℝcr 11183  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  [,)cico 13409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-ico 13413

This theorem is referenced by:  limsupgre  15527  limsupbnd1  15528  limsupbnd2  15529  mbflimsup  25720