Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupgle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupgle 14827
 Description: The defining property of the superior limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupval.1 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsupgle (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺𝐶) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗𝐵 (𝐶𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupgle
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupval.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
21limsupgval 14826 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐺𝐶) = sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
323ad2ant2 1128 . . 3 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐺𝐶) = sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
43breq1d 5072 . 2 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺𝐶) ≤ 𝐴 ↔ sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴))
5 inss2 4209 . . 3 ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
6 simp3 1132 . . 3 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7 supxrleub 12712 . . 3 ((((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝐴))
85, 6, 7sylancr 587 . 2 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝐴))
9 imassrn 5937 . . . . . . 7 (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ran 𝐹
10 simp1r 1192 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
1110frnd 6517 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ran 𝐹 ⊆ ℝ*)
129, 11sstrid 3981 . . . . . 6 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
13 df-ss 3955 . . . . . 6 ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ℝ* ↔ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)))
1412, 13sylib 219 . . . . 5 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)))
15 imadmres 6088 . . . . 5 (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞))
1614, 15syl6eqr 2878 . . . 4 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))))
1716raleqdv 3420 . . 3 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥𝐴))
1810ffnd 6511 . . . 4 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐵)
1910fdmd 6519 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom 𝐹 = 𝐵)
2019ineq2d 4192 . . . . . 6 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐶[,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝐶[,)+∞) ∩ 𝐵))
21 dmres 5873 . . . . . 6 dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) = ((𝐶[,)+∞) ∩ dom 𝐹)
22 incom 4181 . . . . . 6 (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) = ((𝐶[,)+∞) ∩ 𝐵)
2320, 21, 223eqtr4g 2885 . . . . 5 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) = (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)))
24 inss1 4208 . . . . 5 (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵
2523, 24eqsstrdi 4024 . . . 4 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵)
26 breq1 5065 . . . . 5 (𝑥 = (𝐹𝑗) → (𝑥𝐴 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝐴))
2726ralima 6997 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹𝑗) ≤ 𝐴))
2818, 25, 27syl2anc 584 . . 3 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹𝑗) ≤ 𝐴))
2923eleq2d 2902 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞))))
30 elin 4172 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗𝐵𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞)))
3129, 30syl6bb 288 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗𝐵𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞))))
32 simpl2 1186 . . . . . . . . 9 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
33 simp1l 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐵 ⊆ ℝ)
3433sselda 3970 . . . . . . . . 9 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗𝐵) → 𝑗 ∈ ℝ)
35 elicopnf 12826 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℝ → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑗)))
3635baibd 540 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ 𝐶𝑗))
3732, 34, 36syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗𝐵) → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ 𝐶𝑗))
3837pm5.32da 579 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗𝐵𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗𝐵𝐶𝑗)))
3931, 38bitrd 280 . . . . . 6 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗𝐵𝐶𝑗)))
4039imbi1d 343 . . . . 5 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴) ↔ ((𝑗𝐵𝐶𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴)))
41 impexp 451 . . . . 5 (((𝑗𝐵𝐶𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴) ↔ (𝑗𝐵 → (𝐶𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴)))
4240, 41syl6bb 288 . . . 4 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴) ↔ (𝑗𝐵 → (𝐶𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴))))
4342ralbidv2 3199 . . 3 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹𝑗) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗𝐵 (𝐶𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴)))
4417, 28, 433bitrd 306 . 2 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝐴 ↔ ∀𝑗𝐵 (𝐶𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴)))
454, 8, 443bitrd 306 1 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺𝐶) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗𝐵 (𝐶𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3142   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5062   ↦ cmpt 5142  dom cdm 5553  ran crn 5554   ↾ cres 5555   “ cima 5556   Fn wfn 6346  ⟶wf 6347  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151  supcsup 8896  ℝcr 10528  +∞cpnf 10664  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668  [,)cico 12733 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-ico 12737 This theorem is referenced by:  limsupgre  14831  limsupbnd1  14832  limsupbnd2  14833  mbflimsup  24184
 Copyright terms: Public domain W3C validator