Theorem limsupgle 14592

Description: The defining property of the superior limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsupval.1	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsupgle	⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺‘𝐶) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupgle

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
2	1	limsupgval 14591	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐺‘𝐶) = sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3	2	3ad2ant2 1168	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐺‘𝐶) = sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4	3	breq1d 4885	. 2 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺‘𝐶) ≤ 𝐴 ↔ sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴))
5		inss2 4060	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
6		simp3 1172	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7		supxrleub 12451	. . 3 ⊢ ((((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝐴))
8	5, 6, 7	sylancr 581	. 2 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝐴))
9		imassrn 5722	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ran 𝐹
10		simp1r 1259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
11	10	frnd 6289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ran 𝐹 ⊆ ℝ*)
12	9, 11	syl5ss 3838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
13		df-ss 3812	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ℝ* ↔ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)))
14	12, 13	sylib 210	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)))
15		imadmres 5872	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞))
16	14, 15	syl6eqr 2879	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))))
17	16	raleqdv 3356	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥 ≤ 𝐴))
18	10	ffnd 6283	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐵)
19	10	fdmd 6291	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom 𝐹 = 𝐵)
20	19	ineq2d 4043	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐶[,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝐶[,)+∞) ∩ 𝐵))
21		dmres 5659	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) = ((𝐶[,)+∞) ∩ dom 𝐹)
22		incom 4034	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) = ((𝐶[,)+∞) ∩ 𝐵)
23	20, 21, 22	3eqtr4g 2886	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) = (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)))
24		inss1 4059	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵
25	23, 24	syl6eqss 3880	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵)
26		breq1 4878	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑗) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))
27	26	ralima 6759	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))
28	18, 25, 27	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))
29	23	eleq2d 2892	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞))))
30		elin 4025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞)))
31	29, 30	syl6bb 279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞))))
32		simpl2 1248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
33		simp1l 1258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐵 ⊆ ℝ)
34	33	sselda 3827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝑗 ∈ ℝ)
35		elicopnf 12565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑗)))
36	35	baibd 535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ 𝐶 ≤ 𝑗))
37	32, 34, 36	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ 𝐶 ≤ 𝑗))
38	37	pm5.32da 574	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝑗)))
39	31, 38	bitrd 271	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝑗)))
40	39	imbi1d 333	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴) ↔ ((𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
41		impexp 443	. . . . 5 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 → (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
42	40, 41	syl6bb 279	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 → (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))))
43	42	ralbidv2 3193	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
44	17, 28, 43	3bitrd 297	. 2 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
45	4, 8, 44	3bitrd 297	1 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺‘𝐶) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798   class class class wbr 4875   ↦ cmpt 4954  dom cdm 5346  ran crn 5347   ↾ cres 5348   “ cima 5349   Fn wfn 6122  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  supcsup 8621  ℝcr 10258  +∞cpnf 10395  ℝ^*cxr 10397   < clt 10398   ≤ cle 10399  [,)cico 12472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-ico 12476

This theorem is referenced by:  limsupgre  14596  limsupbnd1  14597  limsupbnd2  14598  mbflimsup  23839