MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupgle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupgle 15428
Description: The defining property of the superior limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupval.1 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsupgle (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺𝐶) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗𝐵 (𝐶𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupgle
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupval.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
21limsupgval 15427 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐺𝐶) = sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
323ad2ant2 1133 . . 3 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐺𝐶) = sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
43breq1d 5158 . 2 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺𝐶) ≤ 𝐴 ↔ sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴))
5 inss2 4229 . . 3 ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
6 simp3 1137 . . 3 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7 supxrleub 13312 . . 3 ((((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝐴))
85, 6, 7sylancr 586 . 2 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝐴))
9 imassrn 6070 . . . . . . 7 (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ran 𝐹
10 simp1r 1197 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
1110frnd 6725 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ran 𝐹 ⊆ ℝ*)
129, 11sstrid 3993 . . . . . 6 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
13 df-ss 3965 . . . . . 6 ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ℝ* ↔ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)))
1412, 13sylib 217 . . . . 5 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)))
15 imadmres 6233 . . . . 5 (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞))
1614, 15eqtr4di 2789 . . . 4 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))))
1716raleqdv 3324 . . 3 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥𝐴))
1810ffnd 6718 . . . 4 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐵)
1910fdmd 6728 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom 𝐹 = 𝐵)
2019ineq2d 4212 . . . . . 6 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐶[,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝐶[,)+∞) ∩ 𝐵))
21 dmres 6003 . . . . . 6 dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) = ((𝐶[,)+∞) ∩ dom 𝐹)
22 incom 4201 . . . . . 6 (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) = ((𝐶[,)+∞) ∩ 𝐵)
2320, 21, 223eqtr4g 2796 . . . . 5 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) = (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)))
24 inss1 4228 . . . . 5 (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵
2523, 24eqsstrdi 4036 . . . 4 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵)
26 breq1 5151 . . . . 5 (𝑥 = (𝐹𝑗) → (𝑥𝐴 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝐴))
2726ralima 7242 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹𝑗) ≤ 𝐴))
2818, 25, 27syl2anc 583 . . 3 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹𝑗) ≤ 𝐴))
2923eleq2d 2818 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞))))
30 elin 3964 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗𝐵𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞)))
3129, 30bitrdi 287 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗𝐵𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞))))
32 simpl2 1191 . . . . . . . . 9 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
33 simp1l 1196 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐵 ⊆ ℝ)
3433sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗𝐵) → 𝑗 ∈ ℝ)
35 elicopnf 13429 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℝ → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑗)))
3635baibd 539 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ 𝐶𝑗))
3732, 34, 36syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗𝐵) → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ 𝐶𝑗))
3837pm5.32da 578 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗𝐵𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗𝐵𝐶𝑗)))
3931, 38bitrd 279 . . . . . 6 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗𝐵𝐶𝑗)))
4039imbi1d 341 . . . . 5 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴) ↔ ((𝑗𝐵𝐶𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴)))
41 impexp 450 . . . . 5 (((𝑗𝐵𝐶𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴) ↔ (𝑗𝐵 → (𝐶𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴)))
4240, 41bitrdi 287 . . . 4 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴) ↔ (𝑗𝐵 → (𝐶𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴))))
4342ralbidv2 3172 . . 3 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹𝑗) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗𝐵 (𝐶𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴)))
4417, 28, 433bitrd 305 . 2 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝐴 ↔ ∀𝑗𝐵 (𝐶𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴)))
454, 8, 443bitrd 305 1 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺𝐶) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗𝐵 (𝐶𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  cin 3947  wss 3948   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  cres 5678  cima 5679   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  supcsup 9441  cr 11115  +∞cpnf 11252  *cxr 11254   < clt 11255  cle 11256  [,)cico 13333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-ico 13337
This theorem is referenced by:  limsupgre  15432  limsupbnd1  15433  limsupbnd2  15434  mbflimsup  25515
  Copyright terms: Public domain W3C validator