Theorem limsupgle 15514

Description: The defining property of the superior limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsupval.1	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsupgle	⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺‘𝐶) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupgle

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
2	1	limsupgval 15513	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐺‘𝐶) = sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3	2	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐺‘𝐶) = sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4	3	breq1d 5152	. 2 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺‘𝐶) ≤ 𝐴 ↔ sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴))
5		inss2 4237	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
6		simp3 1138	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7		supxrleub 13369	. . 3 ⊢ ((((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝐴))
8	5, 6, 7	sylancr 587	. 2 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup(((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝐴))
9		imassrn 6088	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ran 𝐹
10		simp1r 1198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
11	10	frnd 6743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ran 𝐹 ⊆ ℝ*)
12	9, 11	sstrid 3994	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
13		dfss2 3968	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ⊆ ℝ* ↔ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)))
14	12, 13	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞)))
15		imadmres 6253	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))) = (𝐹 “ (𝐶[,)+∞))
16	14, 15	eqtr4di 2794	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))))
17	16	raleqdv 3325	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥 ≤ 𝐴))
18	10	ffnd 6736	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐵)
19	10	fdmd 6745	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom 𝐹 = 𝐵)
20	19	ineq2d 4219	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐶[,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝐶[,)+∞) ∩ 𝐵))
21		dmres 6029	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) = ((𝐶[,)+∞) ∩ dom 𝐹)
22		incom 4208	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) = ((𝐶[,)+∞) ∩ 𝐵)
23	20, 21, 22	3eqtr4g 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) = (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)))
24		inss1 4236	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵
25	23, 24	eqsstrdi 4027	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵)
26		breq1 5145	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑗) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))
27	26	ralima 7258	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))
28	18, 25, 27	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)))𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))
29	23	eleq2d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞))))
30		elin 3966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐵 ∩ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞)))
31	29, 30	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞))))
32		simpl2 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
33		simp1l 1197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐵 ⊆ ℝ)
34	33	sselda 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝑗 ∈ ℝ)
35		elicopnf 13486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑗)))
36	35	baibd 539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ 𝐶 ≤ 𝑗))
37	32, 34, 36	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ 𝐶 ≤ 𝑗))
38	37	pm5.32da 579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝑗)))
39	31, 38	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝑗)))
40	39	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴) ↔ ((𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
41		impexp 450	. . . . 5 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 → (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
42	40, 41	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴) ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 → (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))))
43	42	ralbidv2 3173	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑗 ∈ dom (𝐹 ↾ (𝐶[,)+∞))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
44	17, 28, 43	3bitrd 305	. 2 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐶[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
45	4, 8, 44	3bitrd 305	1 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺‘𝐶) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5684  ran crn 5685   ↾ cres 5686   “ cima 5687   Fn wfn 6555  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  supcsup 9481  ℝcr 11155  +∞cpnf 11293  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296   ≤ cle 11297  [,)cico 13390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-ico 13394

This theorem is referenced by:  limsupgre  15518  limsupbnd1  15519  limsupbnd2  15520  mbflimsup  25702