MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupval2 15426
Description: The superior limit, relativized to an unbounded set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval.1 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
limsupval2.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
limsupval2.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsupval2.3 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
Assertion
Ref Expression
limsupval2 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   𝐴,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝑉(π‘˜)

Proof of Theorem limsupval2
Dummy variables π‘₯ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupval2.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
2 limsupval.1 . . . 4 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
32limsupval 15420 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
41, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
5 imassrn 6070 . . . . 5 (𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ran 𝐺
62limsupgf 15421 . . . . . . 7 𝐺:β„βŸΆβ„*
7 frn 6724 . . . . . . 7 (𝐺:β„βŸΆβ„* β†’ ran 𝐺 βŠ† ℝ*)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 ran 𝐺 βŠ† ℝ*
9 infxrlb 13315 . . . . . . 7 ((ran 𝐺 βŠ† ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐺) β†’ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)
109ralrimiva 3146 . . . . . 6 (ran 𝐺 βŠ† ℝ* β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)
118, 10mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)
12 ssralv 4050 . . . . 5 ((𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ran 𝐺 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐺 β€œ 𝐴)inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ π‘₯))
135, 11, 12mpsyl 68 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐺 β€œ 𝐴)inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)
145, 8sstri 3991 . . . . 5 (𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ℝ*
15 infxrcl 13314 . . . . . 6 (ran 𝐺 βŠ† ℝ* β†’ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
168, 15ax-mp 5 . . . . 5 inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
17 infxrgelb 13316 . . . . 5 (((𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ℝ* ∧ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) β†’ (inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐺 β€œ 𝐴)inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ π‘₯))
1814, 16, 17mp2an 690 . . . 4 (inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐺 β€œ 𝐴)inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)
1913, 18sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
20 limsupval2.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
21 limsupval2.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
22 ressxr 11260 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† ℝ*
2321, 22sstrdi 3994 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ*)
24 supxrunb1 13300 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† ℝ* β†’ (βˆ€π‘› ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑛 ≀ π‘₯ ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘› ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑛 ≀ π‘₯ ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
2620, 25mpbird 256 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑛 ≀ π‘₯)
27 infxrcl 13314 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ℝ* β†’ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2814, 27mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2921sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3029ad2ant2r 745 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
316ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
336ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ*)
3433ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ*)
35 ffn 6717 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:β„βŸΆβ„* β†’ 𝐺 Fn ℝ)
366, 35mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
3721ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
38 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
39 fnfvima 7237 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 Fn ℝ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝐺 β€œ 𝐴))
4036, 37, 38, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝐺 β€œ 𝐴))
41 infxrlb 13315 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ℝ* ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝐺 β€œ 𝐴)) β†’ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
4214, 40, 41sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
43 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
44 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑛 ≀ π‘₯)
45 limsupgord 15418 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑛 ≀ π‘₯) β†’ sup(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4643, 30, 44, 45syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ sup(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
472limsupgval 15422 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = sup(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4830, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = sup(((𝐹 β€œ (π‘₯[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
492limsupgval 15422 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘›) = sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5049ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5146, 48, 503brtr4d 5180 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘›))
5228, 32, 34, 42, 51xrletrd 13143 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ (πΊβ€˜π‘›))
5352rexlimdvaa 3156 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑛 ≀ π‘₯ β†’ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ (πΊβ€˜π‘›)))
5453ralimdva 3167 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘› ∈ ℝ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑛 ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘› ∈ ℝ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ (πΊβ€˜π‘›)))
5526, 54mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ ℝ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ (πΊβ€˜π‘›))
566, 35ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺 Fn ℝ
57 breq2 5152 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘›) β†’ (inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ π‘₯ ↔ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ (πΊβ€˜π‘›)))
5857ralrn 7089 . . . . . 6 (𝐺 Fn ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘› ∈ ℝ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ (πΊβ€˜π‘›)))
5956, 58ax-mp 5 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘› ∈ ℝ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ (πΊβ€˜π‘›))
6055, 59sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ π‘₯)
6114, 27ax-mp 5 . . . . 5 inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
62 infxrgelb 13316 . . . . 5 ((ran 𝐺 βŠ† ℝ* ∧ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) β†’ (inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ π‘₯))
638, 61, 62mp2an 690 . . . 4 (inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐺inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ π‘₯)
6460, 63sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
65 xrletri3 13135 . . . 4 ((inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) β†’ (inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ (inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∧ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))))
6616, 61, 65mp2an 690 . . 3 (inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ↔ (inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ≀ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ∧ inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ) ≀ inf(ran 𝐺, ℝ*, < )))
6719, 64, 66sylanbrc 583 . 2 (πœ‘ β†’ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
684, 67eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf((𝐺 β€œ 𝐴), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  supcsup 9437  infcinf 9438  β„cr 11111  +∞cpnf 11247  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251  [,)cico 13328  lim supclsp 15416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-ico 13332  df-limsup 15417
This theorem is referenced by:  mbflimsup  25190  limsupresico  44495  limsupvaluz  44503
  Copyright terms: Public domain W3C validator