Theorem supex 9449

Description: A supremum is a set. (Contributed by NM, 22-May-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
supex.1	⊢ 𝑅 Or 𝐴

Assertion

Ref	Expression
supex	⊢ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V

Proof of Theorem supex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supex.1	. 2 ⊢ 𝑅 Or 𝐴
2		id 23	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
3	2	supexd 9438	. 2 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   Or wor 5558  supcsup 9425

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-po 5559  df-so 5560  df-sup 9427

This theorem is used by:  limsupgval  15636  limsupgre  15641  gcdval  16659  pczpre  17018  prmreclem1  17087  prdsdsfn  17629  prdsdsval  17642  xrge0tsms2  25148  mbfsup  25978  mbfinf  25979  itg2val  26042  itg2monolem1  26064  itg2mono  26067  mdegval  26374  mdegxrf  26379  plyeq0lem  26522  dgrval  26540  nmooval  31358  nmopval  32451  nmfnval  32471  lmdvg  34578  esumval  34671  erdszelem3  35937  erdszelem6  35940  supcnvlimsup  46719  limsuplt2  46732  liminfval  46738  limsupge  46740  liminflelimsuplem  46754  fourierdlem79  47164  sge0val  47345  sge0tsms  47359  smflimsuplem1  47799  smflimsuplem2  47800  smflimsuplem4  47802  fsupdm2  47822