Theorem supex 9370

Description: A supremum is a set. (Contributed by NM, 22-May-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
supex.1	⊢ 𝑅 Or 𝐴

Assertion

Ref	Expression
supex	⊢ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V

Proof of Theorem supex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supex.1	. 2 ⊢ 𝑅 Or 𝐴
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
3	2	supexd 9359	. 2 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   Or wor 5531  supcsup 9346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-po 5532  df-so 5533  df-sup 9348

This theorem is referenced by:  limsupgval  15429  limsupgre  15434  gcdval  16456  pczpre  16809  prmreclem1  16878  prdsdsfn  17419  prdsdsval  17432  xrge0tsms2  24811  mbfsup  25641  mbfinf  25642  itg2val  25705  itg2monolem1  25727  itg2mono  25730  mdegval  26038  mdegxrf  26043  plyeq0lem  26185  dgrval  26203  nmooval  30849  nmopval  31942  nmfnval  31962  lmdvg  34113  esumval  34206  erdszelem3  35391  erdszelem6  35394  supcnvlimsup  46186  limsuplt2  46199  liminfval  46205  limsupge  46207  liminflelimsuplem  46221  fourierdlem79  46631  sge0val  46812  sge0tsms  46826  smflimsuplem1  47266  smflimsuplem2  47267  smflimsuplem4  47269  fsupdm2  47289