MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supex 8915
Description: A supremum is a set. (Contributed by NM, 22-May-1999.)
Hypothesis
Ref Expression
supex.1 𝑅 Or 𝐴
Assertion
Ref Expression
supex sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V

Proof of Theorem supex
StepHypRef Expression
1 supex.1 . 2 𝑅 Or 𝐴
2 id 22 . . 3 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
32supexd 8905 . 2 (𝑅 Or 𝐴 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V)
41, 3ax-mp 5 1 sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2112  Vcvv 3444   Or wor 5441  supcsup 8892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-po 5442  df-so 5443  df-sup 8894
This theorem is referenced by:  limsupgval  14829  limsupgre  14834  gcdval  15839  pczpre  16178  prmreclem1  16246  prdsdsfn  16734  prdsdsval  16747  xrge0tsms2  23444  mbfsup  24272  mbfinf  24273  itg2val  24336  itg2monolem1  24358  itg2mono  24361  mdegval  24668  mdegxrf  24673  plyeq0lem  24811  dgrval  24829  nmooval  28550  nmopval  29643  nmfnval  29663  lmdvg  31310  esumval  31419  erdszelem3  32554  erdszelem6  32557  supcnvlimsup  42375  limsuplt2  42388  liminfval  42394  limsupge  42396  liminflelimsuplem  42410  fourierdlem79  42820  sge0val  42998  sge0tsms  43012  smflimsuplem1  43444  smflimsuplem2  43445  smflimsuplem4  43447
  Copyright terms: Public domain W3C validator