MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supex 8915
Description: A supremum is a set. (Contributed by NM, 22-May-1999.)
Hypothesis
Ref Expression
supex.1 𝑅 Or 𝐴
Assertion
Ref Expression
supex sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V

Proof of Theorem supex
StepHypRef Expression
1 supex.1 . 2 𝑅 Or 𝐴
2 id 22 . . 3 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
32supexd 8905 . 2 (𝑅 Or 𝐴 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V)
41, 3ax-mp 5 1 sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  Vcvv 3492   Or wor 5466  supcsup 8892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-po 5467  df-so 5468  df-sup 8894
This theorem is referenced by:  limsupgval  14821  limsupgre  14826  gcdval  15833  pczpre  16172  prmreclem1  16240  prdsdsfn  16726  prdsdsval  16739  xrge0tsms2  23370  mbfsup  24192  mbfinf  24193  itg2val  24256  itg2monolem1  24278  itg2mono  24281  mdegval  24584  mdegxrf  24589  plyeq0lem  24727  dgrval  24745  nmooval  28467  nmopval  29560  nmfnval  29580  lmdvg  31095  esumval  31204  erdszelem3  32337  erdszelem6  32340  supcnvlimsup  41897  limsuplt2  41910  liminfval  41916  limsupge  41918  liminflelimsuplem  41932  fourierdlem79  42347  sge0val  42525  sge0tsms  42539  smflimsuplem1  42971  smflimsuplem2  42972  smflimsuplem4  42974
  Copyright terms: Public domain W3C validator