Theorem supex 9415

Description: A supremum is a set. (Contributed by NM, 22-May-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
supex.1	⊢ 𝑅 Or 𝐴

Assertion

Ref	Expression
supex	⊢ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V

Proof of Theorem supex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supex.1	. 2 ⊢ 𝑅 Or 𝐴
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
3	2	supexd 9404	. 2 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   Or wor 5545  supcsup 9391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-po 5546  df-so 5547  df-sup 9393

This theorem is referenced by:  limsupgval  15442  limsupgre  15447  gcdval  16466  pczpre  16818  prmreclem1  16887  prdsdsfn  17428  prdsdsval  17441  xrge0tsms2  24724  mbfsup  25565  mbfinf  25566  itg2val  25629  itg2monolem1  25651  itg2mono  25654  mdegval  25968  mdegxrf  25973  plyeq0lem  26115  dgrval  26133  nmooval  30692  nmopval  31785  nmfnval  31805  lmdvg  33943  esumval  34036  erdszelem3  35180  erdszelem6  35183  supcnvlimsup  45738  limsuplt2  45751  liminfval  45757  limsupge  45759  liminflelimsuplem  45773  fourierdlem79  46183  sge0val  46364  sge0tsms  46378  smflimsuplem1  46818  smflimsuplem2  46819  smflimsuplem4  46821  fsupdm2  46841