Theorem limsupgf 14834

Description: Closure of the superior limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsupval.1	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsupgf	⊢ 𝐺:ℝ⟶ℝ*

Distinct variable group:   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem limsupgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupval.1	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
2		inss2 4208	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
3		supxrcl 12711	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4	2, 3	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5	1, 4	fmpti 6878	1 ⊢ 𝐺:ℝ⟶ℝ*

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938   ↦ cmpt 5148   “ cima 5560  ⟶wf 6353  (class class class)co 7158  supcsup 8906  ℝcr 10538  +∞cpnf 10674  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677  [,)cico 12743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875

This theorem is referenced by:  limsuple  14837  limsuplt  14838  limsupval2  14839  limsupgre  14840  limsupbnd1  14841  limsupbnd2  14842  mbflimsup  24269