Theorem lnmepi 39683

Description: Epimorphic images of Noetherian modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnmepi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lnmepi	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnmepi

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmlmod2 19803	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1129	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LMod)
3		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		lnmepi.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
5	3, 4	lmhmf 19805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵)
6	5	3ad2ant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵)
7		simp3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
8		dffo2 6593	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)–onto→𝐵 ↔ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
9	6, 7, 8	sylanbrc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝐹:(Base‘𝑆)–onto→𝐵)
10		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
11	4, 10	lssss 19707	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
12		foimacnv 6631	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑆)–onto→𝐵 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎)) = 𝑎)
13	9, 11, 12	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎)) = 𝑎)
14	13	oveq2d 7171	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎))) = (𝑇 ↾s 𝑎))
15		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ↾s (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎))) = (𝑇 ↾s (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎)))
16		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↾s (◡𝐹 “ 𝑎)) = (𝑆 ↾s (◡𝐹 “ 𝑎))
17		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
18		simpl2 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → 𝑆 ∈ LNoeM)
19	17, 10	lmhmpreima 19819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆))
20	19	3ad2antl1 1181	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆))
21	17, 16	lnmlssfg 39678	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ LNoeM ∧ (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑆 ↾s (◡𝐹 “ 𝑎)) ∈ LFinGen)
22	18, 20, 21	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑆 ↾s (◡𝐹 “ 𝑎)) ∈ LFinGen)
23		simpl1 1187	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
24	15, 16, 17, 22, 20, 23	lmhmfgima 39682	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎))) ∈ LFinGen)
25	14, 24	eqeltrrd 2914	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
26	25	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)(𝑇 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
27	10	islnm 39675	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LNoeM ↔ (𝑇 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)(𝑇 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen))
28	2, 26, 27	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LNoeM)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ⊆ wss 3935  ^◡ccnv 5553  ran crn 5555   “ cima 5557  ⟶wf 6350  –onto→wfo 6352  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482   ↾_s cress 16483  LModclmod 19633  LSubSpclss 19702   LMHom clmhm 19790  LFinGenclfig 39665  LNoeMclnm 39673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-subg 18275  df-ghm 18355  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-lsp 19743  df-lmhm 19793  df-lfig 39666  df-lnm 39674

This theorem is referenced by:  lnmlmic  39686  pwslnmlem1  39690  lnrfg  39717