Theorem lnmepi 43626

Description: Epimorphic images of Noetherian modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnmepi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lnmepi	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnmepi

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmlmod2 21079	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1145	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LMod)
3		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		lnmepi.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
5	3, 4	lmhmf 21081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵)
6	5	3ad2ant1 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵)
7		simp3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
8		dffo2 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)–onto→𝐵 ↔ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
9	6, 7, 8	sylanbrc 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝐹:(Base‘𝑆)–onto→𝐵)
10		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
11	4, 10	lssss 20983	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
12		foimacnv 6820	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑆)–onto→𝐵 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎)) = 𝑎)
13	9, 11, 12	syl2an 605	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎)) = 𝑎)
14	13	oveq2d 7408	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎))) = (𝑇 ↾s 𝑎))
15		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ↾s (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎))) = (𝑇 ↾s (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎)))
16		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↾s (◡𝐹 “ 𝑎)) = (𝑆 ↾s (◡𝐹 “ 𝑎))
17		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
18		simpl2 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → 𝑆 ∈ LNoeM)
19	17, 10	lmhmpreima 21095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆))
20	19	3ad2antl1 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆))
21	17, 16	lnmlssfg 43621	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ LNoeM ∧ (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑆 ↾s (◡𝐹 “ 𝑎)) ∈ LFinGen)
22	18, 20, 21	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑆 ↾s (◡𝐹 “ 𝑎)) ∈ LFinGen)
23		simpl1 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
24	15, 16, 17, 22, 20, 23	lmhmfgima 43625	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎))) ∈ LFinGen)
25	14, 24	eqeltrrd 2862	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
26	25	ralrimiva 3153	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)(𝑇 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
27	10	islnm 43618	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LNoeM ↔ (𝑇 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)(𝑇 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen))
28	2, 26, 27	sylanbrc 592	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LNoeM)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ⊆ wss 3904  ^◡ccnv 5644  ran crn 5646   “ cima 5648  ⟶wf 6513  –onto→wfo 6515  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228   ↾_s cress 17249  LModclmod 20907  LSubSpclss 20978   LMHom clmhm 21066  LFinGenclfig 43608  LNoeMclnm 43616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-subg 19148  df-ghm 19237  df-mgp 20170  df-ur 20211  df-ring 20264  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-lmhm 21069  df-lfig 43609  df-lnm 43617

This theorem is referenced by:  lnmlmic  43629  pwslnmlem1  43633  lnrfg  43660