Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmepi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnmepi 42509
Description: Epimorphic images of Noetherian modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lnmepi.b 𝐵 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
lnmepi ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnmepi
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmhmlmod2 20917 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
213ad2ant1 1131 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LMod)
3 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4 lnmepi.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑇)
53, 4lmhmf 20919 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵)
653ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵)
7 simp3 1136 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
8 dffo2 6815 . . . . . . 7 (𝐹:(Base‘𝑆)–onto𝐵 ↔ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
96, 7, 8sylanbrc 582 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝐹:(Base‘𝑆)–onto𝐵)
10 eqid 2728 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
114, 10lssss 20820 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇) → 𝑎𝐵)
12 foimacnv 6856 . . . . . 6 ((𝐹:(Base‘𝑆)–onto𝐵𝑎𝐵) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
139, 11, 12syl2an 595 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
1413oveq2d 7436 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇s (𝐹 “ (𝐹𝑎))) = (𝑇s 𝑎))
15 eqid 2728 . . . . 5 (𝑇s (𝐹 “ (𝐹𝑎))) = (𝑇s (𝐹 “ (𝐹𝑎)))
16 eqid 2728 . . . . 5 (𝑆s (𝐹𝑎)) = (𝑆s (𝐹𝑎))
17 eqid 2728 . . . . 5 (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
18 simpl2 1190 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → 𝑆 ∈ LNoeM)
1917, 10lmhmpreima 20933 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆))
20193ad2antl1 1183 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆))
2117, 16lnmlssfg 42504 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ LNoeM ∧ (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑆s (𝐹𝑎)) ∈ LFinGen)
2218, 20, 21syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑆s (𝐹𝑎)) ∈ LFinGen)
23 simpl1 1189 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2415, 16, 17, 22, 20, 23lmhmfgima 42508 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇s (𝐹 “ (𝐹𝑎))) ∈ LFinGen)
2514, 24eqeltrrd 2830 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇s 𝑎) ∈ LFinGen)
2625ralrimiva 3143 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)(𝑇s 𝑎) ∈ LFinGen)
2710islnm 42501 . 2 (𝑇 ∈ LNoeM ↔ (𝑇 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)(𝑇s 𝑎) ∈ LFinGen))
282, 26, 27sylanbrc 582 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  wss 3947  ccnv 5677  ran crn 5679  cima 5681  wf 6544  ontowfo 6546  cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  s cress 17209  LModclmod 20743  LSubSpclss 20815   LMHom clmhm 20904  LFinGenclfig 42491  LNoeMclnm 42499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-lmhm 20907  df-lfig 42492  df-lnm 42500
This theorem is referenced by:  lnmlmic  42512  pwslnmlem1  42516  lnrfg  42543
  Copyright terms: Public domain W3C validator