Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmepi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnmepi 40613
Description: Epimorphic images of Noetherian modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lnmepi.b 𝐵 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
lnmepi ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnmepi
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmhmlmod2 20069 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
213ad2ant1 1135 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LMod)
3 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4 lnmepi.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑇)
53, 4lmhmf 20071 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵)
653ad2ant1 1135 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵)
7 simp3 1140 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
8 dffo2 6637 . . . . . . 7 (𝐹:(Base‘𝑆)–onto𝐵 ↔ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
96, 7, 8sylanbrc 586 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝐹:(Base‘𝑆)–onto𝐵)
10 eqid 2737 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
114, 10lssss 19973 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇) → 𝑎𝐵)
12 foimacnv 6678 . . . . . 6 ((𝐹:(Base‘𝑆)–onto𝐵𝑎𝐵) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
139, 11, 12syl2an 599 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
1413oveq2d 7229 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇s (𝐹 “ (𝐹𝑎))) = (𝑇s 𝑎))
15 eqid 2737 . . . . 5 (𝑇s (𝐹 “ (𝐹𝑎))) = (𝑇s (𝐹 “ (𝐹𝑎)))
16 eqid 2737 . . . . 5 (𝑆s (𝐹𝑎)) = (𝑆s (𝐹𝑎))
17 eqid 2737 . . . . 5 (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
18 simpl2 1194 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → 𝑆 ∈ LNoeM)
1917, 10lmhmpreima 20085 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆))
20193ad2antl1 1187 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆))
2117, 16lnmlssfg 40608 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ LNoeM ∧ (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑆s (𝐹𝑎)) ∈ LFinGen)
2218, 20, 21syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑆s (𝐹𝑎)) ∈ LFinGen)
23 simpl1 1193 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2415, 16, 17, 22, 20, 23lmhmfgima 40612 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇s (𝐹 “ (𝐹𝑎))) ∈ LFinGen)
2514, 24eqeltrrd 2839 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇s 𝑎) ∈ LFinGen)
2625ralrimiva 3105 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)(𝑇s 𝑎) ∈ LFinGen)
2710islnm 40605 . 2 (𝑇 ∈ LNoeM ↔ (𝑇 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)(𝑇s 𝑎) ∈ LFinGen))
282, 26, 27sylanbrc 586 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wss 3866  ccnv 5550  ran crn 5552  cima 5554  wf 6376  ontowfo 6378  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  s cress 16784  LModclmod 19899  LSubSpclss 19968   LMHom clmhm 20056  LFinGenclfig 40595  LNoeMclnm 40603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009  df-lmhm 20059  df-lfig 40596  df-lnm 40604
This theorem is referenced by:  lnmlmic  40616  pwslnmlem1  40620  lnrfg  40647
  Copyright terms: Public domain W3C validator