Theorem lnmepi 43513

Description: Epimorphic images of Noetherian modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnmepi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lnmepi	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnmepi

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmlmod2 21027	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LMod)
3		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		lnmepi.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
5	3, 4	lmhmf 21029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵)
6	5	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵)
7		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
8		dffo2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)–onto→𝐵 ↔ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
9	6, 7, 8	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝐹:(Base‘𝑆)–onto→𝐵)
10		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
11	4, 10	lssss 20931	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
12		foimacnv 6797	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑆)–onto→𝐵 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎)) = 𝑎)
13	9, 11, 12	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎)) = 𝑎)
14	13	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎))) = (𝑇 ↾s 𝑎))
15		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ↾s (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎))) = (𝑇 ↾s (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎)))
16		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↾s (◡𝐹 “ 𝑎)) = (𝑆 ↾s (◡𝐹 “ 𝑎))
17		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
18		simpl2 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → 𝑆 ∈ LNoeM)
19	17, 10	lmhmpreima 21043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆))
20	19	3ad2antl1 1187	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆))
21	17, 16	lnmlssfg 43508	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ LNoeM ∧ (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑆 ↾s (◡𝐹 “ 𝑎)) ∈ LFinGen)
22	18, 20, 21	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑆 ↾s (◡𝐹 “ 𝑎)) ∈ LFinGen)
23		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
24	15, 16, 17, 22, 20, 23	lmhmfgima 43512	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎))) ∈ LFinGen)
25	14, 24	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
26	25	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)(𝑇 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
27	10	islnm 43505	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LNoeM ↔ (𝑇 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)(𝑇 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen))
28	2, 26, 27	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LNoeM)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ⊆ wss 3889  ^◡ccnv 5630  ran crn 5632   “ cima 5634  ⟶wf 6494  –onto→wfo 6496  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926   LMHom clmhm 21014  LFinGenclfig 43495  LNoeMclnm 43503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lmhm 21017  df-lfig 43496  df-lnm 43504

This theorem is referenced by:  lnmlmic  43516  pwslnmlem1  43520  lnrfg  43547