Theorem lnmepi 43436

Description: Epimorphic images of Noetherian modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnmepi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lnmepi	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnmepi

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmlmod2 20996	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LMod)
3		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		lnmepi.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
5	3, 4	lmhmf 20998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵)
6	5	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵)
7		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
8		dffo2 6758	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)–onto→𝐵 ↔ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
9	6, 7, 8	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝐹:(Base‘𝑆)–onto→𝐵)
10		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
11	4, 10	lssss 20899	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
12		foimacnv 6799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑆)–onto→𝐵 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎)) = 𝑎)
13	9, 11, 12	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎)) = 𝑎)
14	13	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎))) = (𝑇 ↾s 𝑎))
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ↾s (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎))) = (𝑇 ↾s (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎)))
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↾s (◡𝐹 “ 𝑎)) = (𝑆 ↾s (◡𝐹 “ 𝑎))
17		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
18		simpl2 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → 𝑆 ∈ LNoeM)
19	17, 10	lmhmpreima 21012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆))
20	19	3ad2antl1 1187	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆))
21	17, 16	lnmlssfg 43431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ LNoeM ∧ (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑆 ↾s (◡𝐹 “ 𝑎)) ∈ LFinGen)
22	18, 20, 21	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑆 ↾s (◡𝐹 “ 𝑎)) ∈ LFinGen)
23		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
24	15, 16, 17, 22, 20, 23	lmhmfgima 43435	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ (◡𝐹 “ 𝑎))) ∈ LFinGen)
25	14, 24	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
26	25	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)(𝑇 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
27	10	islnm 43428	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LNoeM ↔ (𝑇 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)(𝑇 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen))
28	2, 26, 27	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LNoeM)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903  ^◡ccnv 5631  ran crn 5633   “ cima 5635  ⟶wf 6496  –onto→wfo 6498  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  LModclmod 20823  LSubSpclss 20894   LMHom clmhm 20983  LFinGenclfig 43418  LNoeMclnm 43426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lmhm 20986  df-lfig 43419  df-lnm 43427

This theorem is referenced by:  lnmlmic  43439  pwslnmlem1  43443  lnrfg  43470