Theorem lindsmm 22143

Description: Linear independence of a set is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindfmm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lindfmm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lindsmm	⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))

Proof of Theorem lindsmm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibar 538	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
2	1	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
3		f1oi 6868	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹
4		f1of 6829	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹
6		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
7		fss 6731	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐵)
8	5, 6, 7	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐵)
9		lindfmm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		lindfmm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
11	9, 10	lindfmm 22142	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
12	8, 11	syld3an3 1436	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
13	2, 12	bitr3d 284	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
14		lmhmlmod1 21317	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
15	14	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ LMod)
16	9	islinds 22124	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ LMod → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
17	15, 16	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
18		lmhmlmod2 21316	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
19	18	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → 𝑇 ∈ LMod)
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → 𝑇 ∈ LMod)
21		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
22		f1ores 6844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→(𝐺 “ 𝐹))
23		f1of1 6828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→(𝐺 “ 𝐹) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
24	22, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
25	24	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
27		f1linds 22140	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ∧ (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹)) → (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇)
28	20, 21, 26, 27	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇)
29		df-ima 5664	. . . . 5 ⊢ (𝐺 “ 𝐹) = ran (𝐺 ↾ 𝐹)
30		lindfrn 22136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺 ↾ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
31	19, 30	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺 ↾ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
32	29, 31	eqeltrid 2864	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇) → (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
33	28, 32	impbida 813	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇))
34		coires1 6269	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) = (𝐺 ↾ 𝐹)
35	34	breq1i 5109	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇 ↔ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇)
36	33, 35	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
37	13, 17, 36	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102   I cid 5545  ran crn 5652   ↾ cres 5653   “ cima 5654   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  LModclmod 21144   LMHom clmhm 21303   LIndF clindf 22119  LIndSclinds 22120

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-ghm 19437  df-mgp 20370  df-ur 20417  df-ring 20470  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256  df-lmhm 21306  df-lindf 22121  df-linds 22122

This theorem is used by:  lindsmm2  22144