MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsmm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lindsmm 21375
Description: Linear independence of a set is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfmm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
lindfmm.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
lindsmm ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘†) ↔ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡)))
Proof of Theorem lindsmm
StepHypRef Expression
1 ibar 530 . . . 4 (𝐹 βŠ† 𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆)))
213ad2ant3 1136 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆)))
3 f1oi 6869 . . . . . 6 ( I β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹
4 f1of 6831 . . . . . 6 (( I β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹 β†’ ( I β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐹)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ( I β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐹
6 simp3 1139 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐹 βŠ† 𝐡)
7 fss 6732 . . . . 5 ((( I β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ ( I β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐡)
85, 6, 7sylancr 588 . . . 4 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ ( I β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐡)
9 lindfmm.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
10 lindfmm.c . . . . 5 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
119, 10lindfmm 21374 . . . 4 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ ( I β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐡) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I β†Ύ 𝐹)) LIndF 𝑇))
128, 11syld3an3 1410 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I β†Ύ 𝐹)) LIndF 𝑇))
132, 12bitr3d 281 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ ((𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆) ↔ (𝐺 ∘ ( I β†Ύ 𝐹)) LIndF 𝑇))
14 lmhmlmod1 20637 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
15143ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
169islinds 21356 . . 3 (𝑆 ∈ LMod β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘†) ↔ (𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆)))
1715, 16syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘†) ↔ (𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆)))
18 lmhmlmod2 20636 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
19183ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
2019adantr 482 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡)) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
21 simpr 486 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡))
22 f1ores 6845 . . . . . . . 8 ((𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’(𝐺 β€œ 𝐹))
23 f1of1 6830 . . . . . . . 8 ((𝐺 β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’(𝐺 β€œ 𝐹) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1β†’(𝐺 β€œ 𝐹))
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1β†’(𝐺 β€œ 𝐹))
25243adant1 1131 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1β†’(𝐺 β€œ 𝐹))
2625adantr 482 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1β†’(𝐺 β€œ 𝐹))
27 f1linds 21372 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡) ∧ (𝐺 β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1β†’(𝐺 β€œ 𝐹)) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑇)
2820, 21, 26, 27syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑇)
29 df-ima 5689 . . . . 5 (𝐺 β€œ 𝐹) = ran (𝐺 β†Ύ 𝐹)
30 lindfrn 21368 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺 β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑇) β†’ ran (𝐺 β†Ύ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡))
3119, 30sylan 581 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐺 β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑇) β†’ ran (𝐺 β†Ύ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡))
3229, 31eqeltrid 2838 . . . 4 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐺 β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑇) β†’ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡))
3328, 32impbida 800 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ ((𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡) ↔ (𝐺 β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑇))
34 coires1 6261 . . . 4 (𝐺 ∘ ( I β†Ύ 𝐹)) = (𝐺 β†Ύ 𝐹)
3534breq1i 5155 . . 3 ((𝐺 ∘ ( I β†Ύ 𝐹)) LIndF 𝑇 ↔ (𝐺 β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑇)
3633, 35bitr4di 289 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ ((𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡) ↔ (𝐺 ∘ ( I β†Ύ 𝐹)) LIndF 𝑇))
3713, 17, 363bitr4d 311 1 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘†) ↔ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   I cid 5573  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6537  β€“1-1β†’wf1 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  LModclmod 20464   LMHom clmhm 20623   LIndF clindf 21351  LIndSclinds 21352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-ghm 19085  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-lmhm 20626  df-lindf 21353  df-linds 21354
This theorem is referenced by:  lindsmm2  21376
  Copyright terms: Public domain W3C validator