Theorem lindsmm 21737

Description: Linear independence of a set is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindfmm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lindfmm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lindsmm	⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))

Proof of Theorem lindsmm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibar 528	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
2	1	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
3		f1oi 6838	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹
4		f1of 6800	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹
6		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
7		fss 6704	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐵)
8	5, 6, 7	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐵)
9		lindfmm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		lindfmm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
11	9, 10	lindfmm 21736	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
12	8, 11	syld3an3 1411	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
13	2, 12	bitr3d 281	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
14		lmhmlmod1 20940	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
15	14	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ LMod)
16	9	islinds 21718	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ LMod → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
18		lmhmlmod2 20939	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
19	18	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → 𝑇 ∈ LMod)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → 𝑇 ∈ LMod)
21		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
22		f1ores 6814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→(𝐺 “ 𝐹))
23		f1of1 6799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→(𝐺 “ 𝐹) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
25	24	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
27		f1linds 21734	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ∧ (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹)) → (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇)
28	20, 21, 26, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇)
29		df-ima 5651	. . . . 5 ⊢ (𝐺 “ 𝐹) = ran (𝐺 ↾ 𝐹)
30		lindfrn 21730	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺 ↾ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
31	19, 30	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺 ↾ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
32	29, 31	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇) → (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
33	28, 32	impbida 800	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇))
34		coires1 6237	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) = (𝐺 ↾ 𝐹)
35	34	breq1i 5114	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇 ↔ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇)
36	33, 35	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
37	13, 17, 36	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107   I cid 5532  ran crn 5639   ↾ cres 5640   “ cima 5641   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  –1-1→wf1 6508  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  LModclmod 20766   LMHom clmhm 20926   LIndF clindf 21713  LIndSclinds 21714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lmhm 20929  df-lindf 21715  df-linds 21716

This theorem is referenced by:  lindsmm2  21738