MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsmm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsmm 20374
Description: Linear independence of a set is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfmm.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lindfmm.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
lindsmm ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))

Proof of Theorem lindsmm
StepHypRef Expression
1 ibar 520 . . . 4 (𝐹𝐵 → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
213ad2ant3 1158 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
3 f1oi 6386 . . . . . 6 ( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹
4 f1of 6349 . . . . . 6 (( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹
6 simp3 1161 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → 𝐹𝐵)
7 fss 6265 . . . . 5 ((( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹𝐹𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐵)
85, 6, 7sylancr 577 . . . 4 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐵)
9 lindfmm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 lindfmm.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑇)
119, 10lindfmm 20373 . . . 4 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶 ∧ ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
128, 11syld3an3 1521 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
132, 12bitr3d 272 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → ((𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
14 lmhmlmod1 19236 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
15143ad2ant1 1156 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → 𝑆 ∈ LMod)
169islinds 20355 . . 3 (𝑆 ∈ LMod → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
1715, 16syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
18 lmhmlmod2 19235 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
19183ad2ant1 1156 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → 𝑇 ∈ LMod)
2019adantr 468 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → 𝑇 ∈ LMod)
21 simpr 473 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
22 f1ores 6363 . . . . . . . 8 ((𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐺𝐹):𝐹1-1-onto→(𝐺𝐹))
23 f1of1 6348 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐹):𝐹1-1-onto→(𝐺𝐹) → (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹))
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹))
25243adant1 1153 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹))
2625adantr 468 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹))
27 f1linds 20371 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ∧ (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹)) → (𝐺𝐹) LIndF 𝑇)
2820, 21, 26, 27syl3anc 1483 . . . 4 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺𝐹) LIndF 𝑇)
29 df-ima 5324 . . . . 5 (𝐺𝐹) = ran (𝐺𝐹)
30 lindfrn 20367 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
3119, 30sylan 571 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
3229, 31syl5eqel 2889 . . . 4 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
3328, 32impbida 826 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → ((𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇))
34 coires1 5867 . . . 4 (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) = (𝐺𝐹)
3534breq1i 4851 . . 3 ((𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇 ↔ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇)
3633, 35syl6bbr 280 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → ((𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
3713, 17, 363bitr4d 302 1 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wss 3769   class class class wbr 4844   I cid 5218  ran crn 5312  cres 5313  cima 5314  ccom 5315  wf 6093  1-1wf1 6094  1-1-ontowf1o 6096  cfv 6097  (class class class)co 6870  Basecbs 16064  LModclmod 19063   LMHom clmhm 19222   LIndF clindf 20350  LIndSclinds 20351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-nn 11302  df-2 11360  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16303  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17789  df-ghm 17856  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-lmod 19065  df-lss 19133  df-lsp 19175  df-lmhm 19225  df-lindf 20352  df-linds 20353
This theorem is referenced by:  lindsmm2  20375
  Copyright terms: Public domain W3C validator