Theorem lindsmm 21234

Description: Linear independence of a set is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindfmm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lindfmm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lindsmm	⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))

Proof of Theorem lindsmm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibar 529	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
2	1	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
3		f1oi 6822	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹
4		f1of 6784	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹
6		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
7		fss 6685	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐵)
8	5, 6, 7	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐵)
9		lindfmm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		lindfmm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
11	9, 10	lindfmm 21233	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
12	8, 11	syld3an3 1409	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
13	2, 12	bitr3d 280	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
14		lmhmlmod1 20494	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
15	14	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ LMod)
16	9	islinds 21215	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ LMod → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
18		lmhmlmod2 20493	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
19	18	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → 𝑇 ∈ LMod)
20	19	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → 𝑇 ∈ LMod)
21		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
22		f1ores 6798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→(𝐺 “ 𝐹))
23		f1of1 6783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→(𝐺 “ 𝐹) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
25	24	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
26	25	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
27		f1linds 21231	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ∧ (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹)) → (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇)
28	20, 21, 26, 27	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇)
29		df-ima 5646	. . . . 5 ⊢ (𝐺 “ 𝐹) = ran (𝐺 ↾ 𝐹)
30		lindfrn 21227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺 ↾ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
31	19, 30	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺 ↾ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
32	29, 31	eqeltrid 2842	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇) → (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
33	28, 32	impbida 799	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇))
34		coires1 6216	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) = (𝐺 ↾ 𝐹)
35	34	breq1i 5112	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇 ↔ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇)
36	33, 35	bitr4di 288	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
37	13, 17, 36	3bitr4d 310	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105   I cid 5530  ran crn 5634   ↾ cres 5635   “ cima 5636   ∘ ccom 5637  ⟶wf 6492  –1-1→wf1 6493  –1-1-onto→wf1o 6495  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  LModclmod 20322   LMHom clmhm 20480   LIndF clindf 21210  LIndSclinds 21211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lmhm 20483  df-lindf 21212  df-linds 21213

This theorem is referenced by:  lindsmm2  21235