MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsmm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lindsmm 21694
Description: Linear independence of a set is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfmm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
lindfmm.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
lindsmm ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘†) ↔ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡)))
Proof of Theorem lindsmm
StepHypRef Expression
1 ibar 528 . . . 4 (𝐹 βŠ† 𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆)))
213ad2ant3 1134 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆)))
3 f1oi 6871 . . . . . 6 ( I β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹
4 f1of 6833 . . . . . 6 (( I β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹 β†’ ( I β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐹)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ( I β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐹
6 simp3 1137 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐹 βŠ† 𝐡)
7 fss 6734 . . . . 5 ((( I β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ ( I β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐡)
85, 6, 7sylancr 586 . . . 4 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ ( I β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐡)
9 lindfmm.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
10 lindfmm.c . . . . 5 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
119, 10lindfmm 21693 . . . 4 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ ( I β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐡) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I β†Ύ 𝐹)) LIndF 𝑇))
128, 11syld3an3 1408 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I β†Ύ 𝐹)) LIndF 𝑇))
132, 12bitr3d 281 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ ((𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆) ↔ (𝐺 ∘ ( I β†Ύ 𝐹)) LIndF 𝑇))
14 lmhmlmod1 20877 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
15143ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
169islinds 21675 . . 3 (𝑆 ∈ LMod β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘†) ↔ (𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆)))
1715, 16syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘†) ↔ (𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑆)))
18 lmhmlmod2 20876 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
19183ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
2019adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡)) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
21 simpr 484 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡))
22 f1ores 6847 . . . . . . . 8 ((𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’(𝐺 β€œ 𝐹))
23 f1of1 6832 . . . . . . . 8 ((𝐺 β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’(𝐺 β€œ 𝐹) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1β†’(𝐺 β€œ 𝐹))
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1β†’(𝐺 β€œ 𝐹))
25243adant1 1129 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1β†’(𝐺 β€œ 𝐹))
2625adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1β†’(𝐺 β€œ 𝐹))
27 f1linds 21691 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡) ∧ (𝐺 β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1β†’(𝐺 β€œ 𝐹)) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑇)
2820, 21, 26, 27syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑇)
29 df-ima 5689 . . . . 5 (𝐺 β€œ 𝐹) = ran (𝐺 β†Ύ 𝐹)
30 lindfrn 21687 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺 β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑇) β†’ ran (𝐺 β†Ύ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡))
3119, 30sylan 579 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐺 β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑇) β†’ ran (𝐺 β†Ύ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡))
3229, 31eqeltrid 2836 . . . 4 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐺 β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑇) β†’ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡))
3328, 32impbida 798 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ ((𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡) ↔ (𝐺 β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑇))
34 coires1 6263 . . . 4 (𝐺 ∘ ( I β†Ύ 𝐹)) = (𝐺 β†Ύ 𝐹)
3534breq1i 5155 . . 3 ((𝐺 ∘ ( I β†Ύ 𝐹)) LIndF 𝑇 ↔ (𝐺 β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑇)
3633, 35bitr4di 289 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ ((𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡) ↔ (𝐺 ∘ ( I β†Ύ 𝐹)) LIndF 𝑇))
3713, 17, 363bitr4d 311 1 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘†) ↔ (𝐺 β€œ 𝐹) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   I cid 5573  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  LModclmod 20702   LMHom clmhm 20863   LIndF clindf 21670  LIndSclinds 21671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lmhm 20866  df-lindf 21672  df-linds 21673
This theorem is referenced by:  lindsmm2  21695
  Copyright terms: Public domain W3C validator