MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlsp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmhmlsp 20894
Description: Homomorphisms preserve spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmlsp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
lmhmlsp.k 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘†)
lmhmlsp.l 𝐿 = (LSpanβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
lmhmlsp ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) = (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
Proof of Theorem lmhmlsp
StepHypRef Expression
1 lmhmlsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
2 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
31, 2lmhmf 20879 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
43adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
54ffund 6714 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ Fun 𝐹)
6 lmhmlmod1 20878 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
76adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
8 lmhmlmod2 20877 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
10 imassrn 6063 . . . . . . 7 (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† ran 𝐹
114frnd 6718 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ ran 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
1210, 11sstrid 3988 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
13 eqid 2726 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘‡) = (LSubSpβ€˜π‘‡)
14 lmhmlsp.l . . . . . . 7 𝐿 = (LSpanβ€˜π‘‡)
152, 13, 14lspcl 20820 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡))
169, 12, 15syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡))
17 eqid 2726 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘†) = (LSubSpβ€˜π‘†)
1817, 13lmhmpreima 20893 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡)) β†’ (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
1916, 18syldan 590 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
20 incom 4196 . . . . . . 7 (dom 𝐹 ∩ π‘ˆ) = (π‘ˆ ∩ dom 𝐹)
21 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
224fdmd 6721 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ dom 𝐹 = 𝑉)
2321, 22sseqtrrd 4018 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† dom 𝐹)
24 df-ss 3960 . . . . . . . 8 (π‘ˆ βŠ† dom 𝐹 ↔ (π‘ˆ ∩ dom 𝐹) = π‘ˆ)
2523, 24sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∩ dom 𝐹) = π‘ˆ)
2620, 25eqtr2id 2779 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ = (dom 𝐹 ∩ π‘ˆ))
27 dminss 6145 . . . . . 6 (dom 𝐹 ∩ π‘ˆ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
2826, 27eqsstrdi 4031 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
292, 14lspssid 20829 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
309, 12, 29syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
31 imass2 6094 . . . . . 6 ((𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ π‘ˆ)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
3230, 31syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ π‘ˆ)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
3328, 32sstrd 3987 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
34 lmhmlsp.k . . . . 5 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘†)
3517, 34lspssp 20832 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†) ∧ π‘ˆ βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))) β†’ (πΎβ€˜π‘ˆ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
367, 19, 33, 35syl3anc 1368 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΎβ€˜π‘ˆ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
37 funimass2 6624 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ (πΎβ€˜π‘ˆ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
385, 36, 37syl2anc 583 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
391, 17, 34lspcl 20820 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΎβ€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
407, 21, 39syl2anc 583 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΎβ€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
4117, 13lmhmima 20892 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (πΎβ€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡))
4240, 41syldan 590 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡))
431, 34lspssid 20829 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (πΎβ€˜π‘ˆ))
447, 21, 43syl2anc 583 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (πΎβ€˜π‘ˆ))
45 imass2 6094 . . . 4 (π‘ˆ βŠ† (πΎβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)))
4644, 45syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)))
4713, 14lspssp 20832 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡) ∧ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ))) β†’ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)))
489, 42, 46, 47syl3anc 1368 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)))
4938, 48eqssd 3994 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) = (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670   β€œ cima 5672  Fun wfun 6530  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  LModclmod 20703  LSubSpclss 20775  LSpanclspn 20815   LMHom clmhm 20864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lmhm 20867
This theorem is referenced by:  frlmup3  21690  lindfmm  21717  lmimlbs  21726  lmhmfgima  42386  lmhmfgsplit  42388
  Copyright terms: Public domain W3C validator