MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmlsp 20974
Description: Homomorphisms preserve spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmlsp.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
lmhmlsp.k 𝐾 = (LSpan‘𝑆)
lmhmlsp.l 𝐿 = (LSpan‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
lmhmlsp ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) = (𝐿‘(𝐹𝑈)))

Proof of Theorem lmhmlsp
StepHypRef Expression
1 lmhmlsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑆)
2 eqid 2725 . . . . . 6 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
31, 2lmhmf 20959 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
43adantr 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
54ffund 6731 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → Fun 𝐹)
6 lmhmlmod1 20958 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
76adantr 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑆 ∈ LMod)
8 lmhmlmod2 20957 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
98adantr 479 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑇 ∈ LMod)
10 imassrn 6079 . . . . . . 7 (𝐹𝑈) ⊆ ran 𝐹
114frnd 6735 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑇))
1210, 11sstrid 3990 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹𝑈) ⊆ (Base‘𝑇))
13 eqid 2725 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
14 lmhmlsp.l . . . . . . 7 𝐿 = (LSpan‘𝑇)
152, 13, 14lspcl 20900 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → (𝐿‘(𝐹𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
169, 12, 15syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐿‘(𝐹𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
17 eqid 2725 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
1817, 13lmhmpreima 20973 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐿‘(𝐹𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆))
1916, 18syldan 589 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆))
20 incom 4201 . . . . . . 7 (dom 𝐹𝑈) = (𝑈 ∩ dom 𝐹)
21 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈𝑉)
224fdmd 6737 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → dom 𝐹 = 𝑉)
2321, 22sseqtrrd 4020 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ dom 𝐹)
24 dfss2 3964 . . . . . . . 8 (𝑈 ⊆ dom 𝐹 ↔ (𝑈 ∩ dom 𝐹) = 𝑈)
2523, 24sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝑈 ∩ dom 𝐹) = 𝑈)
2620, 25eqtr2id 2778 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 = (dom 𝐹𝑈))
27 dminss 6163 . . . . . 6 (dom 𝐹𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐹𝑈))
2826, 27eqsstrdi 4033 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐹 “ (𝐹𝑈)))
292, 14lspssid 20909 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → (𝐹𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹𝑈)))
309, 12, 29syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹𝑈)))
31 imass2 6111 . . . . . 6 ((𝐹𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹𝑈)) → (𝐹 “ (𝐹𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))))
3230, 31syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐹𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))))
3328, 32sstrd 3989 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))))
34 lmhmlsp.k . . . . 5 𝐾 = (LSpan‘𝑆)
3517, 34lspssp 20912 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈)))) → (𝐾𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))))
367, 19, 33, 35syl3anc 1368 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐾𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))))
37 funimass2 6641 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐾𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈)))) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) ⊆ (𝐿‘(𝐹𝑈)))
385, 36, 37syl2anc 582 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) ⊆ (𝐿‘(𝐹𝑈)))
391, 17, 34lspcl 20900 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝐾𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆))
407, 21, 39syl2anc 582 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐾𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆))
4117, 13lmhmima 20972 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐾𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
4240, 41syldan 589 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
431, 34lspssid 20909 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐾𝑈))
447, 21, 43syl2anc 582 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐾𝑈))
45 imass2 6111 . . . 4 (𝑈 ⊆ (𝐾𝑈) → (𝐹𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾𝑈)))
4644, 45syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾𝑈)))
4713, 14lspssp 20912 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (𝐾𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇) ∧ (𝐹𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾𝑈))) → (𝐿‘(𝐹𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐾𝑈)))
489, 42, 46, 47syl3anc 1368 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐿‘(𝐹𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐾𝑈)))
4938, 48eqssd 3996 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) = (𝐿‘(𝐹𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3945  wss 3946  ccnv 5680  dom cdm 5681  ran crn 5682  cima 5684  Fun wfun 6547  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7423  Basecbs 17208  LModclmod 20783  LSubSpclss 20855  LSpanclspn 20895   LMHom clmhm 20944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8856  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-subg 19112  df-ghm 19202  df-mgp 20113  df-ur 20160  df-ring 20213  df-lmod 20785  df-lss 20856  df-lsp 20896  df-lmhm 20947
This theorem is referenced by:  frlmup3  21790  lindfmm  21817  lmimlbs  21826  lmhmfgima  42682  lmhmfgsplit  42684
  Copyright terms: Public domain W3C validator