MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlsp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmhmlsp 20659
Description: Homomorphisms preserve spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmlsp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
lmhmlsp.k 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘†)
lmhmlsp.l 𝐿 = (LSpanβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
lmhmlsp ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) = (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
Proof of Theorem lmhmlsp
StepHypRef Expression
1 lmhmlsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
2 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
31, 2lmhmf 20644 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
43adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
54ffund 6721 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ Fun 𝐹)
6 lmhmlmod1 20643 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
76adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
8 lmhmlmod2 20642 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
10 imassrn 6070 . . . . . . 7 (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† ran 𝐹
114frnd 6725 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ ran 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
1210, 11sstrid 3993 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
13 eqid 2732 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘‡) = (LSubSpβ€˜π‘‡)
14 lmhmlsp.l . . . . . . 7 𝐿 = (LSpanβ€˜π‘‡)
152, 13, 14lspcl 20586 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡))
169, 12, 15syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡))
17 eqid 2732 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘†) = (LSubSpβ€˜π‘†)
1817, 13lmhmpreima 20658 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡)) β†’ (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
1916, 18syldan 591 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
20 incom 4201 . . . . . . 7 (dom 𝐹 ∩ π‘ˆ) = (π‘ˆ ∩ dom 𝐹)
21 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
224fdmd 6728 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ dom 𝐹 = 𝑉)
2321, 22sseqtrrd 4023 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† dom 𝐹)
24 df-ss 3965 . . . . . . . 8 (π‘ˆ βŠ† dom 𝐹 ↔ (π‘ˆ ∩ dom 𝐹) = π‘ˆ)
2523, 24sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∩ dom 𝐹) = π‘ˆ)
2620, 25eqtr2id 2785 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ = (dom 𝐹 ∩ π‘ˆ))
27 dminss 6152 . . . . . 6 (dom 𝐹 ∩ π‘ˆ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
2826, 27eqsstrdi 4036 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
292, 14lspssid 20595 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
309, 12, 29syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
31 imass2 6101 . . . . . 6 ((𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ π‘ˆ)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
3230, 31syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ π‘ˆ)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
3328, 32sstrd 3992 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
34 lmhmlsp.k . . . . 5 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘†)
3517, 34lspssp 20598 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†) ∧ π‘ˆ βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))) β†’ (πΎβ€˜π‘ˆ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
367, 19, 33, 35syl3anc 1371 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΎβ€˜π‘ˆ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
37 funimass2 6631 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ (πΎβ€˜π‘ˆ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
385, 36, 37syl2anc 584 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
391, 17, 34lspcl 20586 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΎβ€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
407, 21, 39syl2anc 584 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΎβ€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
4117, 13lmhmima 20657 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (πΎβ€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡))
4240, 41syldan 591 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡))
431, 34lspssid 20595 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (πΎβ€˜π‘ˆ))
447, 21, 43syl2anc 584 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (πΎβ€˜π‘ˆ))
45 imass2 6101 . . . 4 (π‘ˆ βŠ† (πΎβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)))
4644, 45syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)))
4713, 14lspssp 20598 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡) ∧ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ))) β†’ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)))
489, 42, 46, 47syl3anc 1371 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)))
4938, 48eqssd 3999 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) = (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  LSpanclspn 20581   LMHom clmhm 20629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lmhm 20632
This theorem is referenced by:  frlmup3  21354  lindfmm  21381  lmimlbs  21390  lmhmfgima  41816  lmhmfgsplit  41818
  Copyright terms: Public domain W3C validator