MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmlsp 20525
Description: Homomorphisms preserve spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmlsp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
lmhmlsp.k 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘†)
lmhmlsp.l 𝐿 = (LSpanβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
lmhmlsp ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) = (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))

Proof of Theorem lmhmlsp
StepHypRef Expression
1 lmhmlsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
2 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
31, 2lmhmf 20510 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
43adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
54ffund 6673 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ Fun 𝐹)
6 lmhmlmod1 20509 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
76adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
8 lmhmlmod2 20508 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
98adantr 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
10 imassrn 6025 . . . . . . 7 (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† ran 𝐹
114frnd 6677 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ ran 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
1210, 11sstrid 3956 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
13 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘‡) = (LSubSpβ€˜π‘‡)
14 lmhmlsp.l . . . . . . 7 𝐿 = (LSpanβ€˜π‘‡)
152, 13, 14lspcl 20452 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡))
169, 12, 15syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡))
17 eqid 2733 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘†) = (LSubSpβ€˜π‘†)
1817, 13lmhmpreima 20524 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡)) β†’ (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
1916, 18syldan 592 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
20 incom 4162 . . . . . . 7 (dom 𝐹 ∩ π‘ˆ) = (π‘ˆ ∩ dom 𝐹)
21 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
224fdmd 6680 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ dom 𝐹 = 𝑉)
2321, 22sseqtrrd 3986 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† dom 𝐹)
24 df-ss 3928 . . . . . . . 8 (π‘ˆ βŠ† dom 𝐹 ↔ (π‘ˆ ∩ dom 𝐹) = π‘ˆ)
2523, 24sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∩ dom 𝐹) = π‘ˆ)
2620, 25eqtr2id 2786 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ = (dom 𝐹 ∩ π‘ˆ))
27 dminss 6106 . . . . . 6 (dom 𝐹 ∩ π‘ˆ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
2826, 27eqsstrdi 3999 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
292, 14lspssid 20461 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
309, 12, 29syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
31 imass2 6055 . . . . . 6 ((𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ π‘ˆ)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
3230, 31syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ π‘ˆ)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
3328, 32sstrd 3955 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
34 lmhmlsp.k . . . . 5 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘†)
3517, 34lspssp 20464 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†) ∧ π‘ˆ βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))) β†’ (πΎβ€˜π‘ˆ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
367, 19, 33, 35syl3anc 1372 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΎβ€˜π‘ˆ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
37 funimass2 6585 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ (πΎβ€˜π‘ˆ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
385, 36, 37syl2anc 585 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
391, 17, 34lspcl 20452 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΎβ€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
407, 21, 39syl2anc 585 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΎβ€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
4117, 13lmhmima 20523 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (πΎβ€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡))
4240, 41syldan 592 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡))
431, 34lspssid 20461 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (πΎβ€˜π‘ˆ))
447, 21, 43syl2anc 585 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (πΎβ€˜π‘ˆ))
45 imass2 6055 . . . 4 (π‘ˆ βŠ† (πΎβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)))
4644, 45syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)))
4713, 14lspssp 20464 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡) ∧ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ))) β†’ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)))
489, 42, 46, 47syl3anc 1372 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)))
4938, 48eqssd 3962 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) = (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  LSpanclspn 20447   LMHom clmhm 20495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lmhm 20498
This theorem is referenced by:  frlmup3  21222  lindfmm  21249  lmimlbs  21258  lmhmfgima  41454  lmhmfgsplit  41456
  Copyright terms: Public domain W3C validator