Theorem lmhmlsp 21048

Description: Homomorphisms preserve spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmlsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
lmhmlsp.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑆)
lmhmlsp.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlsp	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) = (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))

Proof of Theorem lmhmlsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmlsp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3	1, 2	lmhmf 21033	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
5	4	ffund 6740	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → Fun 𝐹)
6		lmhmlmod1 21032	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ∈ LMod)
8		lmhmlmod2 21031	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ∈ LMod)
10		imassrn 6089	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ 𝑈) ⊆ ran 𝐹
11	4	frnd 6744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑇))
12	10, 11	sstrid 3995	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑇))
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
14		lmhmlsp.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝑇)
15	2, 13, 14	lspcl 20974	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
16	9, 12, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
17		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
18	17, 13	lmhmpreima 21047	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆))
19	16, 18	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆))
20		incom 4209	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ dom 𝐹)
21		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
22	4	fdmd 6746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → dom 𝐹 = 𝑉)
23	21, 22	sseqtrrd 4021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ dom 𝐹)
24		dfss2 3969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ⊆ dom 𝐹 ↔ (𝑈 ∩ dom 𝐹) = 𝑈)
25	23, 24	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ dom 𝐹) = 𝑈)
26	20, 25	eqtr2id 2790	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 = (dom 𝐹 ∩ 𝑈))
27		dminss 6173	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝑈) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑈))
28	26, 27	eqsstrdi 4028	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑈)))
29	2, 14	lspssid 20983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))
30	9, 12, 29	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))
31		imass2 6120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑈)) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑈)) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
33	28, 32	sstrd 3994	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
34		lmhmlsp.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑆)
35	17, 34	lspssp 20986	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))) → (𝐾‘𝑈) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
36	7, 19, 33, 35	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐾‘𝑈) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
37		funimass2 6649	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝐾‘𝑈) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))
38	5, 36, 37	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))
39	1, 17, 34	lspcl 20974	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐾‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆))
40	7, 21, 39	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐾‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆))
41	17, 13	lmhmima 21046	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐾‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
42	40, 41	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
43	1, 34	lspssid 20983	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐾‘𝑈))
44	7, 21, 43	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐾‘𝑈))
45		imass2 6120	. . . 4 ⊢ (𝑈 ⊆ (𝐾‘𝑈) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)))
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)))
47	13, 14	lspssp 20986	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇) ∧ (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈))) → (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)))
48	9, 42, 46, 47	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)))
49	38, 48	eqssd 4001	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) = (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686   “ cima 5688  Fun wfun 6555  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969   LMHom clmhm 21018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lmhm 21021

This theorem is referenced by:  frlmup3  21820  lindfmm  21847  lmimlbs  21856  lmhmfgima  43096  lmhmfgsplit  43098