Theorem lmhmlsp 21071

Description: Homomorphisms preserve spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmlsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
lmhmlsp.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑆)
lmhmlsp.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlsp	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) = (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))

Proof of Theorem lmhmlsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmlsp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
2		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3	1, 2	lmhmf 21056	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
5	4	ffund 6751	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → Fun 𝐹)
6		lmhmlmod1 21055	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ∈ LMod)
8		lmhmlmod2 21054	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ∈ LMod)
10		imassrn 6100	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ 𝑈) ⊆ ran 𝐹
11	4	frnd 6755	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑇))
12	10, 11	sstrid 4020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑇))
13		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
14		lmhmlsp.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝑇)
15	2, 13, 14	lspcl 20997	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
16	9, 12, 15	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
17		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
18	17, 13	lmhmpreima 21070	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆))
19	16, 18	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆))
20		incom 4230	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ dom 𝐹)
21		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
22	4	fdmd 6757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → dom 𝐹 = 𝑉)
23	21, 22	sseqtrrd 4050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ dom 𝐹)
24		dfss2 3994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ⊆ dom 𝐹 ↔ (𝑈 ∩ dom 𝐹) = 𝑈)
25	23, 24	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ dom 𝐹) = 𝑈)
26	20, 25	eqtr2id 2793	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 = (dom 𝐹 ∩ 𝑈))
27		dminss 6184	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝑈) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑈))
28	26, 27	eqsstrdi 4063	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑈)))
29	2, 14	lspssid 21006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))
30	9, 12, 29	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))
31		imass2 6132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑈)) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑈)) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
33	28, 32	sstrd 4019	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
34		lmhmlsp.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑆)
35	17, 34	lspssp 21009	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))) → (𝐾‘𝑈) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
36	7, 19, 33, 35	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐾‘𝑈) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
37		funimass2 6661	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝐾‘𝑈) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))
38	5, 36, 37	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))
39	1, 17, 34	lspcl 20997	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐾‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆))
40	7, 21, 39	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐾‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆))
41	17, 13	lmhmima 21069	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐾‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
42	40, 41	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
43	1, 34	lspssid 21006	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐾‘𝑈))
44	7, 21, 43	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐾‘𝑈))
45		imass2 6132	. . . 4 ⊢ (𝑈 ⊆ (𝐾‘𝑈) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)))
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)))
47	13, 14	lspssp 21009	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇) ∧ (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈))) → (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)))
48	9, 42, 46, 47	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)))
49	38, 48	eqssd 4026	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) = (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701   “ cima 5703  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LSpanclspn 20992   LMHom clmhm 21041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lmhm 21044

This theorem is referenced by:  frlmup3  21843  lindfmm  21870  lmimlbs  21879  lmhmfgima  43041  lmhmfgsplit  43043