Theorem lmhmlsp 20988

Description: Homomorphisms preserve spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmlsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
lmhmlsp.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑆)
lmhmlsp.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlsp	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) = (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))

Proof of Theorem lmhmlsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmlsp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
2		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3	1, 2	lmhmf 20973	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
5	4	ffund 6674	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → Fun 𝐹)
6		lmhmlmod1 20972	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ∈ LMod)
8		lmhmlmod2 20971	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ∈ LMod)
10		imassrn 6031	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ 𝑈) ⊆ ran 𝐹
11	4	frnd 6678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑇))
12	10, 11	sstrid 3955	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑇))
13		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
14		lmhmlsp.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝑇)
15	2, 13, 14	lspcl 20914	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
16	9, 12, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
17		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
18	17, 13	lmhmpreima 20987	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆))
19	16, 18	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆))
20		incom 4168	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ dom 𝐹)
21		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
22	4	fdmd 6680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → dom 𝐹 = 𝑉)
23	21, 22	sseqtrrd 3981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ dom 𝐹)
24		dfss2 3929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ⊆ dom 𝐹 ↔ (𝑈 ∩ dom 𝐹) = 𝑈)
25	23, 24	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ dom 𝐹) = 𝑈)
26	20, 25	eqtr2id 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 = (dom 𝐹 ∩ 𝑈))
27		dminss 6114	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝑈) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑈))
28	26, 27	eqsstrdi 3988	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑈)))
29	2, 14	lspssid 20923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))
30	9, 12, 29	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))
31		imass2 6062	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑈)) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑈)) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
33	28, 32	sstrd 3954	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
34		lmhmlsp.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑆)
35	17, 34	lspssp 20926	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))) → (𝐾‘𝑈) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
36	7, 19, 33, 35	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐾‘𝑈) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
37		funimass2 6583	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝐾‘𝑈) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))
38	5, 36, 37	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))
39	1, 17, 34	lspcl 20914	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐾‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆))
40	7, 21, 39	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐾‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆))
41	17, 13	lmhmima 20986	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐾‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
42	40, 41	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
43	1, 34	lspssid 20923	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐾‘𝑈))
44	7, 21, 43	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐾‘𝑈))
45		imass2 6062	. . . 4 ⊢ (𝑈 ⊆ (𝐾‘𝑈) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)))
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)))
47	13, 14	lspssp 20926	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇) ∧ (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈))) → (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)))
48	9, 42, 46, 47	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)))
49	38, 48	eqssd 3961	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) = (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634  Fun wfun 6493  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  LModclmod 20798  LSubSpclss 20869  LSpanclspn 20909   LMHom clmhm 20958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-mgp 20061  df-ur 20102  df-ring 20155  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-lmhm 20961

This theorem is referenced by:  frlmup3  21742  lindfmm  21769  lmimlbs  21778  lmhmfgima  43066  lmhmfgsplit  43068