MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlsp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmhmlsp 20941
Description: Homomorphisms preserve spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmlsp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
lmhmlsp.k 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘†)
lmhmlsp.l 𝐿 = (LSpanβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
lmhmlsp ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) = (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
Proof of Theorem lmhmlsp
StepHypRef Expression
1 lmhmlsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
2 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
31, 2lmhmf 20926 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
43adantr 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
54ffund 6731 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ Fun 𝐹)
6 lmhmlmod1 20925 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
76adantr 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
8 lmhmlmod2 20924 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
98adantr 479 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
10 imassrn 6079 . . . . . . 7 (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† ran 𝐹
114frnd 6735 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ ran 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
1210, 11sstrid 3993 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
13 eqid 2728 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘‡) = (LSubSpβ€˜π‘‡)
14 lmhmlsp.l . . . . . . 7 𝐿 = (LSpanβ€˜π‘‡)
152, 13, 14lspcl 20867 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡))
169, 12, 15syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡))
17 eqid 2728 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘†) = (LSubSpβ€˜π‘†)
1817, 13lmhmpreima 20940 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡)) β†’ (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
1916, 18syldan 589 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
20 incom 4203 . . . . . . 7 (dom 𝐹 ∩ π‘ˆ) = (π‘ˆ ∩ dom 𝐹)
21 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
224fdmd 6738 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ dom 𝐹 = 𝑉)
2321, 22sseqtrrd 4023 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† dom 𝐹)
24 df-ss 3966 . . . . . . . 8 (π‘ˆ βŠ† dom 𝐹 ↔ (π‘ˆ ∩ dom 𝐹) = π‘ˆ)
2523, 24sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∩ dom 𝐹) = π‘ˆ)
2620, 25eqtr2id 2781 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ = (dom 𝐹 ∩ π‘ˆ))
27 dminss 6162 . . . . . 6 (dom 𝐹 ∩ π‘ˆ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
2826, 27eqsstrdi 4036 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
292, 14lspssid 20876 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
309, 12, 29syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
31 imass2 6111 . . . . . 6 ((𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ π‘ˆ)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
3230, 31syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ π‘ˆ)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
3328, 32sstrd 3992 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
34 lmhmlsp.k . . . . 5 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘†)
3517, 34lspssp 20879 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†) ∧ π‘ˆ βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))) β†’ (πΎβ€˜π‘ˆ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
367, 19, 33, 35syl3anc 1368 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΎβ€˜π‘ˆ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ))))
37 funimass2 6641 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ (πΎβ€˜π‘ˆ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
385, 36, 37syl2anc 582 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) βŠ† (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
391, 17, 34lspcl 20867 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΎβ€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
407, 21, 39syl2anc 582 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΎβ€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
4117, 13lmhmima 20939 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (πΎβ€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡))
4240, 41syldan 589 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡))
431, 34lspssid 20876 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (πΎβ€˜π‘ˆ))
447, 21, 43syl2anc 582 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (πΎβ€˜π‘ˆ))
45 imass2 6111 . . . 4 (π‘ˆ βŠ† (πΎβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)))
4644, 45syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)))
4713, 14lspssp 20879 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‡) ∧ (𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ))) β†’ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)))
489, 42, 46, 47syl3anc 1368 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)) βŠ† (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)))
4938, 48eqssd 3999 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ (πΎβ€˜π‘ˆ)) = (πΏβ€˜(𝐹 β€œ π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  β—‘ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683   β€œ cima 5685  Fun wfun 6547  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LSpanclspn 20862   LMHom clmhm 20911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lmhm 20914
This theorem is referenced by:  frlmup3  21741  lindfmm  21768  lmimlbs  21777  lmhmfgima  42539  lmhmfgsplit  42541
  Copyright terms: Public domain W3C validator