Theorem lmhmlsp 20226

Description: Homomorphisms preserve spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmlsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
lmhmlsp.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑆)
lmhmlsp.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlsp	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) = (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))

Proof of Theorem lmhmlsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmlsp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
2		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3	1, 2	lmhmf 20211	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
5	4	ffund 6588	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → Fun 𝐹)
6		lmhmlmod1 20210	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ∈ LMod)
8		lmhmlmod2 20209	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ∈ LMod)
10		imassrn 5969	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ 𝑈) ⊆ ran 𝐹
11	4	frnd 6592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑇))
12	10, 11	sstrid 3928	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑇))
13		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
14		lmhmlsp.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝑇)
15	2, 13, 14	lspcl 20153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
16	9, 12, 15	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
17		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
18	17, 13	lmhmpreima 20225	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆))
19	16, 18	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆))
20		incom 4131	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ dom 𝐹)
21		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
22	4	fdmd 6595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → dom 𝐹 = 𝑉)
23	21, 22	sseqtrrd 3958	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ dom 𝐹)
24		df-ss 3900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ⊆ dom 𝐹 ↔ (𝑈 ∩ dom 𝐹) = 𝑈)
25	23, 24	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ dom 𝐹) = 𝑈)
26	20, 25	eqtr2id 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 = (dom 𝐹 ∩ 𝑈))
27		dminss 6045	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝑈) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑈))
28	26, 27	eqsstrdi 3971	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑈)))
29	2, 14	lspssid 20162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))
30	9, 12, 29	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))
31		imass2 5999	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑈)) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑈)) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
33	28, 32	sstrd 3927	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
34		lmhmlsp.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑆)
35	17, 34	lspssp 20165	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))) → (𝐾‘𝑈) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
36	7, 19, 33, 35	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐾‘𝑈) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈))))
37		funimass2 6501	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝐾‘𝑈) ⊆ (◡𝐹 “ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))
38	5, 36, 37	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ⊆ (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))
39	1, 17, 34	lspcl 20153	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐾‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆))
40	7, 21, 39	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐾‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆))
41	17, 13	lmhmima 20224	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐾‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
42	40, 41	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
43	1, 34	lspssid 20162	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐾‘𝑈))
44	7, 21, 43	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐾‘𝑈))
45		imass2 5999	. . . 4 ⊢ (𝑈 ⊆ (𝐾‘𝑈) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)))
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)))
47	13, 14	lspssp 20165	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇) ∧ (𝐹 “ 𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈))) → (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)))
48	9, 42, 46, 47	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)))
49	38, 48	eqssd 3934	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ (𝐾‘𝑈)) = (𝐿‘(𝐹 “ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580  ran crn 5581   “ cima 5583  Fun wfun 6412  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148   LMHom clmhm 20196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lmhm 20199

This theorem is referenced by:  frlmup3  20917  lindfmm  20944  lmimlbs  20953  lmhmfgima  40825  lmhmfgsplit  40827