MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmkerlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmkerlss 19557
Description: The kernel of a homomorphism is a submodule. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmkerlss.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
lmhmkerlss.z 0 = (0g𝑇)
lmhmkerlss.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
lmhmkerlss (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾𝑈)

Proof of Theorem lmhmkerlss
StepHypRef Expression
1 lmhmkerlss.k . 2 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
2 lmhmlmod2 19538 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
3 lmhmkerlss.z . . . . 5 0 = (0g𝑇)
4 eqid 2771 . . . . 5 (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
53, 4lsssn0 19453 . . . 4 (𝑇 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑇))
62, 5syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑇))
7 lmhmkerlss.u . . . 4 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
87, 4lmhmpreima 19554 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹 “ { 0 }) ∈ 𝑈)
96, 8mpdan 675 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝐹 “ { 0 }) ∈ 𝑈)
101, 9syl5eqel 2863 1 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1508  wcel 2051  {csn 4435  ccnv 5402  cima 5406  cfv 6185  (class class class)co 6974  0gc0g 16567  LModclmod 19368  LSubSpclss 19437   LMHom clmhm 19525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-0g 16569  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-subg 18072  df-ghm 18139  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-lmhm 19528
This theorem is referenced by:  frlmsslss  20635  kerlmhm  30679  dimkerim  30684  kercvrlsm  39117  lmhmfgsplit  39120  lmhmlnmsplit  39121  pwssplit4  39123
  Copyright terms: Public domain W3C validator