Theorem lmhmkerlss 19557

Description: The kernel of a homomorphism is a submodule. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmkerlss.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
lmhmkerlss.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
lmhmkerlss.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lmhmkerlss	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lmhmkerlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmkerlss.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
2		lmhmlmod2 19538	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
3		lmhmkerlss.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
4		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
5	3, 4	lsssn0 19453	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑇))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑇))
7		lmhmkerlss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
8	7, 4	lmhmpreima 19554	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ 𝑈)
9	6, 8	mpdan 675	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ 𝑈)
10	1, 9	syl5eqel 2863	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  {csn 4435  ^◡ccnv 5402   “ cima 5406  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  0_gc0g 16567  LModclmod 19368  LSubSpclss 19437   LMHom clmhm 19525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-0g 16569  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-subg 18072  df-ghm 18139  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-lmhm 19528

This theorem is referenced by:  frlmsslss  20635  kerlmhm  30679  dimkerim  30684  kercvrlsm  39117  lmhmfgsplit  39120  lmhmlnmsplit  39121  pwssplit4  39123