Theorem lmhmkerlss 21235

Description: The kernel of a homomorphism is a submodule. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmkerlss.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
lmhmkerlss.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
lmhmkerlss.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lmhmkerlss	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lmhmkerlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmkerlss.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
2		lmhmlmod2 21216	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
3		lmhmkerlss.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
5	3, 4	lsssn0 21132	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑇))
6	2, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑇))
7		lmhmkerlss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
8	7, 4	lmhmpreima 21232	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ 𝑈)
9	6, 8	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ 𝑈)
10	1, 9	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0_gc0g 17524  LModclmod 21044  LSubSpclss 21115   LMHom clmhm 21203

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lmhm 21206

This theorem is used by:  frlmsslss  21987  lmhmqusker  33846  kerlmhm  34130  dimkerim  34137  lvecendof1f1o  34143  algextdeglem3  34229  kercvrlsm  43924  lmhmfgsplit  43927  lmhmlnmsplit  43928  pwssplit4  43930