Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmhmlnmsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmlnmsplit 41443
Description: If the kernel and range of a homomorphism of left modules are Noetherian, then so is the domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmfgsplit.z 0 = (0g𝑇)
lmhmfgsplit.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
lmhmfgsplit.u 𝑈 = (𝑆s 𝐾)
lmhmfgsplit.v 𝑉 = (𝑇s ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmhmlnmsplit ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) → 𝑆 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lmhmlnmsplit
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmhmlmod1 20510 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
213ad2ant1 1134 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) → 𝑆 ∈ LMod)
3 eqid 2737 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
4 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑆s 𝑎) = (𝑆s 𝑎)
53, 4reslmhm 20529 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝐹𝑎) ∈ ((𝑆s 𝑎) LMHom 𝑇))
653ad2antl1 1186 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝐹𝑎) ∈ ((𝑆s 𝑎) LMHom 𝑇))
7 cnvresima 6187 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑎) “ { 0 }) = ((𝐹 “ { 0 }) ∩ 𝑎)
8 lmhmfgsplit.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
98eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ { 0 }) = 𝐾
109ineq1i 4173 . . . . . . . 8 ((𝐹 “ { 0 }) ∩ 𝑎) = (𝐾𝑎)
11 incom 4166 . . . . . . . 8 (𝐾𝑎) = (𝑎𝐾)
127, 10, 113eqtri 2769 . . . . . . 7 ((𝐹𝑎) “ { 0 }) = (𝑎𝐾)
1312oveq2i 7373 . . . . . 6 ((𝑆s 𝑎) ↾s ((𝐹𝑎) “ { 0 })) = ((𝑆s 𝑎) ↾s (𝑎𝐾))
14 vex 3452 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ V
15 inss1 4193 . . . . . . . 8 (𝑎𝐾) ⊆ 𝑎
16 ressabs 17137 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ V ∧ (𝑎𝐾) ⊆ 𝑎) → ((𝑆s 𝑎) ↾s (𝑎𝐾)) = (𝑆s (𝑎𝐾)))
1714, 15, 16mp2an 691 . . . . . . 7 ((𝑆s 𝑎) ↾s (𝑎𝐾)) = (𝑆s (𝑎𝐾))
18 lmhmfgsplit.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (𝑆s 𝐾)
1918oveq1i 7372 . . . . . . . 8 (𝑈s (𝑎𝐾)) = ((𝑆s 𝐾) ↾s (𝑎𝐾))
20 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
21 cnvexg 7866 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ V)
22 imaexg 7857 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ { 0 }) ∈ V)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝐹 “ { 0 }) ∈ V)
248, 23eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾 ∈ V)
2520, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → 𝐾 ∈ V)
26 inss2 4194 . . . . . . . . 9 (𝑎𝐾) ⊆ 𝐾
27 ressabs 17137 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ V ∧ (𝑎𝐾) ⊆ 𝐾) → ((𝑆s 𝐾) ↾s (𝑎𝐾)) = (𝑆s (𝑎𝐾)))
2825, 26, 27sylancl 587 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → ((𝑆s 𝐾) ↾s (𝑎𝐾)) = (𝑆s (𝑎𝐾)))
2919, 28eqtrid 2789 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑈s (𝑎𝐾)) = (𝑆s (𝑎𝐾)))
3017, 29eqtr4id 2796 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → ((𝑆s 𝑎) ↾s (𝑎𝐾)) = (𝑈s (𝑎𝐾)))
3113, 30eqtrid 2789 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → ((𝑆s 𝑎) ↾s ((𝐹𝑎) “ { 0 })) = (𝑈s (𝑎𝐾)))
32 simpl2 1193 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → 𝑈 ∈ LNoeM)
332adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → 𝑆 ∈ LMod)
34 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆))
35 lmhmfgsplit.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑇)
368, 35, 3lmhmkerlss 20528 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾 ∈ (LSubSp‘𝑆))
3720, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → 𝐾 ∈ (LSubSp‘𝑆))
383lssincl 20442 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆) ∧ 𝐾 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑎𝐾) ∈ (LSubSp‘𝑆))
3933, 34, 37, 38syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑎𝐾) ∈ (LSubSp‘𝑆))
4026a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑎𝐾) ⊆ 𝐾)
41 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
4218, 3, 41lsslss 20438 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → ((𝑎𝐾) ∈ (LSubSp‘𝑈) ↔ ((𝑎𝐾) ∈ (LSubSp‘𝑆) ∧ (𝑎𝐾) ⊆ 𝐾)))
4333, 37, 42syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → ((𝑎𝐾) ∈ (LSubSp‘𝑈) ↔ ((𝑎𝐾) ∈ (LSubSp‘𝑆) ∧ (𝑎𝐾) ⊆ 𝐾)))
4439, 40, 43mpbir2and 712 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑎𝐾) ∈ (LSubSp‘𝑈))
45 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑈s (𝑎𝐾)) = (𝑈s (𝑎𝐾))
4641, 45lnmlssfg 41436 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LNoeM ∧ (𝑎𝐾) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑈s (𝑎𝐾)) ∈ LFinGen)
4732, 44, 46syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑈s (𝑎𝐾)) ∈ LFinGen)
4831, 47eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → ((𝑆s 𝑎) ↾s ((𝐹𝑎) “ { 0 })) ∈ LFinGen)
49 incom 4166 . . . . . . . . 9 (ran 𝐹 ∩ ran (𝐹𝑎)) = (ran (𝐹𝑎) ∩ ran 𝐹)
50 resss 5967 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑎) ⊆ 𝐹
51 rnss 5899 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑎) ⊆ 𝐹 → ran (𝐹𝑎) ⊆ ran 𝐹)
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ran (𝐹𝑎) ⊆ ran 𝐹
53 df-ss 3932 . . . . . . . . . 10 (ran (𝐹𝑎) ⊆ ran 𝐹 ↔ (ran (𝐹𝑎) ∩ ran 𝐹) = ran (𝐹𝑎))
5452, 53mpbi 229 . . . . . . . . 9 (ran (𝐹𝑎) ∩ ran 𝐹) = ran (𝐹𝑎)
5549, 54eqtr2i 2766 . . . . . . . 8 ran (𝐹𝑎) = (ran 𝐹 ∩ ran (𝐹𝑎))
5655oveq2i 7373 . . . . . . 7 (𝑇s ran (𝐹𝑎)) = (𝑇s (ran 𝐹 ∩ ran (𝐹𝑎)))
57 lmhmfgsplit.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (𝑇s ran 𝐹)
5857oveq1i 7372 . . . . . . . 8 (𝑉s ran (𝐹𝑎)) = ((𝑇s ran 𝐹) ↾s ran (𝐹𝑎))
59 rnexg 7846 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ran 𝐹 ∈ V)
60 resexg 5988 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝐹𝑎) ∈ V)
61 rnexg 7846 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑎) ∈ V → ran (𝐹𝑎) ∈ V)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ran (𝐹𝑎) ∈ V)
63 ressress 17136 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐹 ∈ V ∧ ran (𝐹𝑎) ∈ V) → ((𝑇s ran 𝐹) ↾s ran (𝐹𝑎)) = (𝑇s (ran 𝐹 ∩ ran (𝐹𝑎))))
6459, 62, 63syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑇s ran 𝐹) ↾s ran (𝐹𝑎)) = (𝑇s (ran 𝐹 ∩ ran (𝐹𝑎))))
6558, 64eqtrid 2789 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝑉s ran (𝐹𝑎)) = (𝑇s (ran 𝐹 ∩ ran (𝐹𝑎))))
6656, 65eqtr4id 2796 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝑇s ran (𝐹𝑎)) = (𝑉s ran (𝐹𝑎)))
6720, 66syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑇s ran (𝐹𝑎)) = (𝑉s ran (𝐹𝑎)))
68 simpl3 1194 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → 𝑉 ∈ LNoeM)
69 lmhmrnlss 20527 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑎) ∈ ((𝑆s 𝑎) LMHom 𝑇) → ran (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑇))
706, 69syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → ran (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑇))
7152a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → ran (𝐹𝑎) ⊆ ran 𝐹)
72 lmhmlmod2 20509 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
7320, 72syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → 𝑇 ∈ LMod)
74 lmhmrnlss 20527 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ran 𝐹 ∈ (LSubSp‘𝑇))
7520, 74syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → ran 𝐹 ∈ (LSubSp‘𝑇))
76 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
77 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑉) = (LSubSp‘𝑉)
7857, 76, 77lsslss 20438 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ LMod ∧ ran 𝐹 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (ran (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑉) ↔ (ran (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑇) ∧ ran (𝐹𝑎) ⊆ ran 𝐹)))
7973, 75, 78syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (ran (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑉) ↔ (ran (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑇) ∧ ran (𝐹𝑎) ⊆ ran 𝐹)))
8070, 71, 79mpbir2and 712 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → ran (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑉))
81 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑉s ran (𝐹𝑎)) = (𝑉s ran (𝐹𝑎))
8277, 81lnmlssfg 41436 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LNoeM ∧ ran (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑉)) → (𝑉s ran (𝐹𝑎)) ∈ LFinGen)
8368, 80, 82syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑉s ran (𝐹𝑎)) ∈ LFinGen)
8467, 83eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑇s ran (𝐹𝑎)) ∈ LFinGen)
85 eqid 2737 . . . . 5 ((𝐹𝑎) “ { 0 }) = ((𝐹𝑎) “ { 0 })
86 eqid 2737 . . . . 5 ((𝑆s 𝑎) ↾s ((𝐹𝑎) “ { 0 })) = ((𝑆s 𝑎) ↾s ((𝐹𝑎) “ { 0 }))
87 eqid 2737 . . . . 5 (𝑇s ran (𝐹𝑎)) = (𝑇s ran (𝐹𝑎))
8835, 85, 86, 87lmhmfgsplit 41442 . . . 4 (((𝐹𝑎) ∈ ((𝑆s 𝑎) LMHom 𝑇) ∧ ((𝑆s 𝑎) ↾s ((𝐹𝑎) “ { 0 })) ∈ LFinGen ∧ (𝑇s ran (𝐹𝑎)) ∈ LFinGen) → (𝑆s 𝑎) ∈ LFinGen)
896, 48, 84, 88syl3anc 1372 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑆s 𝑎) ∈ LFinGen)
9089ralrimiva 3144 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)(𝑆s 𝑎) ∈ LFinGen)
913islnm 41433 . 2 (𝑆 ∈ LNoeM ↔ (𝑆 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑆)(𝑆s 𝑎) ∈ LFinGen))
922, 90, 91sylanbrc 584 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ LNoeM ∧ 𝑉 ∈ LNoeM) → 𝑆 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  Vcvv 3448  cin 3914  wss 3915  {csn 4591  ccnv 5637  ran crn 5639  cres 5640  cima 5641  cfv 6501  (class class class)co 7362  s cress 17119  0gc0g 17328  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408   LMHom clmhm 20496  LFinGenclfig 41423  LNoeMclnm 41431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lmhm 20499  df-lfig 41424  df-lnm 41432
This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  41449
  Copyright terms: Public domain W3C validator