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Theorem lmodfopne 19125
Description: The (functionalized) operations of a left module (over a nonzero ring) cannot be identical. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (Revised by AV, 2-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodfopne.t · = ( ·sf𝑊)
lmodfopne.a + = (+𝑓𝑊)
lmodfopne.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodfopne.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lmodfopne.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
lmodfopne.0 0 = (0g𝑆)
lmodfopne.1 1 = (1r𝑆)
Assertion
Ref Expression
lmodfopne ((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) → +· )

Proof of Theorem lmodfopne
StepHypRef Expression
1 lmodfopne.t . . . . . 6 · = ( ·sf𝑊)
2 lmodfopne.a . . . . . 6 + = (+𝑓𝑊)
3 lmodfopne.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lmodfopne.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5 lmodfopne.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
6 lmodfopne.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑆)
7 lmodfopne.1 . . . . . 6 1 = (1r𝑆)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lmodfopnelem2 19124 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0𝑉1𝑉))
9 simpl 470 . . . . . . . 8 (( 0𝑉1𝑉) → 0𝑉)
10 eqid 2817 . . . . . . . . . 10 (0g𝑊) = (0g𝑊)
113, 10lmod0vcl 19116 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
1211adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
13 eqid 2817 . . . . . . . . . 10 (+g𝑊) = (+g𝑊)
143, 13, 2plusfval 17473 . . . . . . . . 9 (( 0𝑉 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 + (0g𝑊)) = ( 0 (+g𝑊)(0g𝑊)))
1514eqcomd 2823 . . . . . . . 8 (( 0𝑉 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 (+g𝑊)(0g𝑊)) = ( 0 + (0g𝑊)))
169, 12, 15syl2anr 586 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 0 (+g𝑊)(0g𝑊)) = ( 0 + (0g𝑊)))
17 oveq 6890 . . . . . . . 8 ( + = · → ( 0 + (0g𝑊)) = ( 0 · (0g𝑊)))
1817ad2antlr 709 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 0 + (0g𝑊)) = ( 0 · (0g𝑊)))
1916, 18eqtrd 2851 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 0 (+g𝑊)(0g𝑊)) = ( 0 · (0g𝑊)))
20 lmodgrp 19094 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2120adantr 468 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑊 ∈ Grp)
223, 13, 10grprid 17678 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 0𝑉) → ( 0 (+g𝑊)(0g𝑊)) = 0 )
2321, 9, 22syl2an 585 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 0 (+g𝑊)(0g𝑊)) = 0 )
244, 5, 6lmod0cl 19113 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 0𝐾)
2524, 11jca 503 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → ( 0𝐾 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉))
2625adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0𝐾 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉))
2726adantr 468 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 0𝐾 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉))
28 eqid 2817 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
293, 4, 5, 1, 28scafval 19106 . . . . . . . 8 (( 0𝐾 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 · (0g𝑊)) = ( 0 ( ·𝑠𝑊)(0g𝑊)))
3027, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 0 · (0g𝑊)) = ( 0 ( ·𝑠𝑊)(0g𝑊)))
3124ancli 540 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0𝐾))
3231adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0𝐾))
3332adantr 468 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0𝐾))
344, 28, 5, 10lmodvs0 19121 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0𝐾) → ( 0 ( ·𝑠𝑊)(0g𝑊)) = (0g𝑊))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 0 ( ·𝑠𝑊)(0g𝑊)) = (0g𝑊))
36 simpr 473 . . . . . . . . . 10 (( 0𝑉1𝑉) → 1𝑉)
373, 13, 10grprid 17678 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 1𝑉) → ( 1 (+g𝑊)(0g𝑊)) = 1 )
3821, 36, 37syl2an 585 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1 (+g𝑊)(0g𝑊)) = 1 )
394, 5, 7lmod1cl 19114 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 1𝐾)
4039adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 1𝐾)
413, 4, 5, 1, 28scafval 19106 . . . . . . . . . . 11 (( 1𝐾1𝑉) → ( 1 · 1 ) = ( 1 ( ·𝑠𝑊) 1 ))
4240, 36, 41syl2an 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 ( ·𝑠𝑊) 1 ))
433, 4, 28, 7lmodvs1 19115 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1𝑉) → ( 1 ( ·𝑠𝑊) 1 ) = 1 )
4443ad2ant2rl 746 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1 ( ·𝑠𝑊) 1 ) = 1 )
4542, 44eqtrd 2851 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1 · 1 ) = 1 )
46 oveq 6890 . . . . . . . . . . . 12 ( + = · → ( 1 + 1 ) = ( 1 · 1 ))
4746eqcomd 2823 . . . . . . . . . . 11 ( + = · → ( 1 · 1 ) = ( 1 + 1 ))
4847ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 + 1 ))
4936, 36jca 503 . . . . . . . . . . . 12 (( 0𝑉1𝑉) → ( 1𝑉1𝑉))
5049adantl 469 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1𝑉1𝑉))
513, 13, 2plusfval 17473 . . . . . . . . . . 11 (( 1𝑉1𝑉) → ( 1 + 1 ) = ( 1 (+g𝑊) 1 ))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1 + 1 ) = ( 1 (+g𝑊) 1 ))
5348, 52eqtrd 2851 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 (+g𝑊) 1 ))
5438, 45, 533eqtr2d 2857 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1 (+g𝑊)(0g𝑊)) = ( 1 (+g𝑊) 1 ))
5521adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
5612adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
5736adantl 469 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → 1𝑉)
583, 13grplcan 17702 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((0g𝑊) ∈ 𝑉1𝑉1𝑉)) → (( 1 (+g𝑊)(0g𝑊)) = ( 1 (+g𝑊) 1 ) ↔ (0g𝑊) = 1 ))
5955, 56, 57, 57, 58syl13anc 1484 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → (( 1 (+g𝑊)(0g𝑊)) = ( 1 (+g𝑊) 1 ) ↔ (0g𝑊) = 1 ))
6054, 59mpbid 223 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → (0g𝑊) = 1 )
6130, 35, 603eqtrd 2855 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 0 · (0g𝑊)) = 1 )
6219, 23, 613eqtr3rd 2860 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → 1 = 0 )
638, 62mpdan 670 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 1 = 0 )
6463ex 399 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ( + = ·1 = 0 ))
6564necon3d 3010 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ( 10+· ))
6665imp 395 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) → +· )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  cfv 6111  (class class class)co 6884  Basecbs 16088  +gcplusg 16173  Scalarcsca 16176   ·𝑠 cvsca 16177  0gc0g 16325  +𝑓cplusf 17464  Grpcgrp 17647  1rcur 18723  LModclmod 19087   ·sf cscaf 19088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-nn 11316  df-2 11376  df-ndx 16091  df-slot 16092  df-base 16094  df-sets 16095  df-plusg 16186  df-0g 16327  df-plusf 17466  df-mgm 17467  df-sgrp 17509  df-mnd 17520  df-grp 17650  df-minusg 17651  df-mgp 18712  df-ur 18724  df-ring 18771  df-lmod 19089  df-scaf 19090
This theorem is referenced by:  clmopfne  23129
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