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Theorem lmodfopne 20360
Description: The (functionalized) operations of a left module (over a nonzero ring) cannot be identical. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (Revised by AV, 2-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodfopne.t · = ( ·sf𝑊)
lmodfopne.a + = (+𝑓𝑊)
lmodfopne.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodfopne.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lmodfopne.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
lmodfopne.0 0 = (0g𝑆)
lmodfopne.1 1 = (1r𝑆)
Assertion
Ref Expression
lmodfopne ((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) → +· )

Proof of Theorem lmodfopne
StepHypRef Expression
1 lmodfopne.t . . . . . 6 · = ( ·sf𝑊)
2 lmodfopne.a . . . . . 6 + = (+𝑓𝑊)
3 lmodfopne.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lmodfopne.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5 lmodfopne.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
6 lmodfopne.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑆)
7 lmodfopne.1 . . . . . 6 1 = (1r𝑆)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lmodfopnelem2 20359 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0𝑉1𝑉))
9 simpl 483 . . . . . . . 8 (( 0𝑉1𝑉) → 0𝑉)
10 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (0g𝑊) = (0g𝑊)
113, 10lmod0vcl 20351 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
13 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (+g𝑊) = (+g𝑊)
143, 13, 2plusfval 18504 . . . . . . . . 9 (( 0𝑉 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 + (0g𝑊)) = ( 0 (+g𝑊)(0g𝑊)))
1514eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (( 0𝑉 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 (+g𝑊)(0g𝑊)) = ( 0 + (0g𝑊)))
169, 12, 15syl2anr 597 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 0 (+g𝑊)(0g𝑊)) = ( 0 + (0g𝑊)))
17 oveq 7363 . . . . . . . 8 ( + = · → ( 0 + (0g𝑊)) = ( 0 · (0g𝑊)))
1817ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 0 + (0g𝑊)) = ( 0 · (0g𝑊)))
1916, 18eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 0 (+g𝑊)(0g𝑊)) = ( 0 · (0g𝑊)))
20 lmodgrp 20329 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2120adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑊 ∈ Grp)
223, 13, 10grprid 18781 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 0𝑉) → ( 0 (+g𝑊)(0g𝑊)) = 0 )
2321, 9, 22syl2an 596 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 0 (+g𝑊)(0g𝑊)) = 0 )
244, 5, 6lmod0cl 20348 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 0𝐾)
2524, 11jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → ( 0𝐾 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉))
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0𝐾 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉))
2726adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 0𝐾 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉))
28 eqid 2736 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
293, 4, 5, 1, 28scafval 20341 . . . . . . . 8 (( 0𝐾 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 · (0g𝑊)) = ( 0 ( ·𝑠𝑊)(0g𝑊)))
3027, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 0 · (0g𝑊)) = ( 0 ( ·𝑠𝑊)(0g𝑊)))
3124ancli 549 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0𝐾))
3231adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0𝐾))
3332adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0𝐾))
344, 28, 5, 10lmodvs0 20356 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0𝐾) → ( 0 ( ·𝑠𝑊)(0g𝑊)) = (0g𝑊))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 0 ( ·𝑠𝑊)(0g𝑊)) = (0g𝑊))
36 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (( 0𝑉1𝑉) → 1𝑉)
373, 13, 10grprid 18781 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 1𝑉) → ( 1 (+g𝑊)(0g𝑊)) = 1 )
3821, 36, 37syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1 (+g𝑊)(0g𝑊)) = 1 )
394, 5, 7lmod1cl 20349 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 1𝐾)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 1𝐾)
413, 4, 5, 1, 28scafval 20341 . . . . . . . . . . 11 (( 1𝐾1𝑉) → ( 1 · 1 ) = ( 1 ( ·𝑠𝑊) 1 ))
4240, 36, 41syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 ( ·𝑠𝑊) 1 ))
433, 4, 28, 7lmodvs1 20350 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1𝑉) → ( 1 ( ·𝑠𝑊) 1 ) = 1 )
4443ad2ant2rl 747 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1 ( ·𝑠𝑊) 1 ) = 1 )
4542, 44eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1 · 1 ) = 1 )
46 oveq 7363 . . . . . . . . . . . 12 ( + = · → ( 1 + 1 ) = ( 1 · 1 ))
4746eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ( + = · → ( 1 · 1 ) = ( 1 + 1 ))
4847ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 + 1 ))
4936, 36jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (( 0𝑉1𝑉) → ( 1𝑉1𝑉))
5049adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1𝑉1𝑉))
513, 13, 2plusfval 18504 . . . . . . . . . . 11 (( 1𝑉1𝑉) → ( 1 + 1 ) = ( 1 (+g𝑊) 1 ))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1 + 1 ) = ( 1 (+g𝑊) 1 ))
5348, 52eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 (+g𝑊) 1 ))
5438, 45, 533eqtr2d 2782 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 1 (+g𝑊)(0g𝑊)) = ( 1 (+g𝑊) 1 ))
5521adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
5612adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
5736adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → 1𝑉)
583, 13grplcan 18809 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((0g𝑊) ∈ 𝑉1𝑉1𝑉)) → (( 1 (+g𝑊)(0g𝑊)) = ( 1 (+g𝑊) 1 ) ↔ (0g𝑊) = 1 ))
5955, 56, 57, 57, 58syl13anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → (( 1 (+g𝑊)(0g𝑊)) = ( 1 (+g𝑊) 1 ) ↔ (0g𝑊) = 1 ))
6054, 59mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → (0g𝑊) = 1 )
6130, 35, 603eqtrd 2780 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → ( 0 · (0g𝑊)) = 1 )
6219, 23, 613eqtr3rd 2785 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0𝑉1𝑉)) → 1 = 0 )
638, 62mpdan 685 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 1 = 0 )
6463ex 413 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ( + = ·1 = 0 ))
6564necon3d 2964 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ( 10+· ))
6665imp 407 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) → +· )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  +𝑓cplusf 18494  Grpcgrp 18748  1rcur 19913  LModclmod 20322   ·sf cscaf 20323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-plusf 18496  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-scaf 20325
This theorem is referenced by:  clmopfne  24459
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