Theorem lmodfopne 20995

Description: The (functionalized) operations of a left module (over a nonzero ring) cannot be identical. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (Revised by AV, 2-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodfopne.t	⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
lmodfopne.a	⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
lmodfopne.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodfopne.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lmodfopne.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lmodfopne.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lmodfopne.1	⊢ 1 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lmodfopne	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) → + ≠ · )

Proof of Theorem lmodfopne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodfopne.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
2		lmodfopne.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
3		lmodfopne.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lmodfopne.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodfopne.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
6		lmodfopne.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
7		lmodfopne.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lmodfopnelem2 20994	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))
9		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
10		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
11	3, 10	lmod0vcl 20986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
12	11	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
13		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
14	3, 13, 2	plusfval 18701	. . . . . . . . 9 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 + (0g‘𝑊)) = ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)))
15	14	eqcomd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 0 + (0g‘𝑊)))
16	9, 12, 15	syl2anr 608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 0 + (0g‘𝑊)))
17		oveq 7414	. . . . . . . 8 ⊢ ( + = · → ( 0 + (0g‘𝑊)) = ( 0 · (0g‘𝑊)))
18	17	ad2antlr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 + (0g‘𝑊)) = ( 0 · (0g‘𝑊)))
19	16, 18	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 0 · (0g‘𝑊)))
20		lmodgrp 20962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
21	20	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑊 ∈ Grp)
22	3, 13, 10	grprid 19031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 0 )
23	21, 9, 22	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 0 )
24	4, 5, 6	lmod0cl 20983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)
25	24, 11	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 0 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉))
26	25	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉))
27	26	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉))
28		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29	3, 4, 5, 1, 28	scafval 20976	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 · (0g‘𝑊)) = ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)))
30	27, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 · (0g‘𝑊)) = ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)))
31	24	ancli 557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾))
32	31	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾))
33	32	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾))
34	4, 28, 5, 10	lmodvs0 20991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
35	33, 34	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
36		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → 1 ∈ 𝑉)
37	3, 13, 10	grprid 19031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 1 )
38	21, 36, 37	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 1 )
39	4, 5, 7	lmod1cl 20984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ 𝐾)
40	39	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 1 ∈ 𝐾)
41	3, 4, 5, 1, 28	scafval 20976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( 1 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 · 1 ) = ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ))
42	40, 36, 41	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ))
43	3, 4, 28, 7	lmodvs1 20985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ) = 1 )
44	43	ad2ant2rl 761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ) = 1 )
45	42, 44	eqtrd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = 1 )
46		oveq 7414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( + = · → ( 1 + 1 ) = ( 1 · 1 ))
47	46	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( + = · → ( 1 · 1 ) = ( 1 + 1 ))
48	47	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 + 1 ))
49	36, 36	jca 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))
50	49	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))
51	3, 13, 2	plusfval 18701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 + 1 ) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 + 1 ) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
53	48, 52	eqtrd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
54	38, 45, 53	3eqtr2d 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
55	21	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
56	12	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
57	36	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 1 ∈ 𝑉)
58	3, 13	grplcan 19063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((0g‘𝑊) ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ) ↔ (0g‘𝑊) = 1 ))
59	55, 56, 57, 57, 58	syl13anc 1397	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ) ↔ (0g‘𝑊) = 1 ))
60	54, 59	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (0g‘𝑊) = 1 )
61	30, 35, 60	3eqtrd 2808	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 · (0g‘𝑊)) = 1 )
62	19, 23, 61	3eqtr3rd 2813	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 1 = 0 )
63	8, 62	mpdan 699	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 1 = 0 )
64	63	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 1 = 0 ))
65	64	necon3d 2985	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 1 ≠ 0 → + ≠ · ))
66	65	imp 411	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) → + ≠ · )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  0_gc0g 17488  +_𝑓cplusf 18691  Grpcgrp 18996  1_rcur 20259  LModclmod 20955   ·_sf cscaf 20956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-plusf 18693  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-lmod 20957  df-scaf 20958

This theorem is referenced by:  clmopfne  25220