Theorem lmodfopne 20857

Description: The (functionalized) operations of a left module (over a nonzero ring) cannot be identical. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (Revised by AV, 2-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodfopne.t	⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
lmodfopne.a	⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
lmodfopne.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodfopne.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lmodfopne.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lmodfopne.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lmodfopne.1	⊢ 1 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lmodfopne	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) → + ≠ · )

Proof of Theorem lmodfopne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodfopne.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
2		lmodfopne.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
3		lmodfopne.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lmodfopne.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodfopne.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
6		lmodfopne.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
7		lmodfopne.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lmodfopnelem2 20856	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))
9		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
10		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
11	3, 10	lmod0vcl 20848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
13		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
14	3, 13, 2	plusfval 18625	. . . . . . . . 9 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 + (0g‘𝑊)) = ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)))
15	14	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 0 + (0g‘𝑊)))
16	9, 12, 15	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 0 + (0g‘𝑊)))
17		oveq 7411	. . . . . . . 8 ⊢ ( + = · → ( 0 + (0g‘𝑊)) = ( 0 · (0g‘𝑊)))
18	17	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 + (0g‘𝑊)) = ( 0 · (0g‘𝑊)))
19	16, 18	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 0 · (0g‘𝑊)))
20		lmodgrp 20824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑊 ∈ Grp)
22	3, 13, 10	grprid 18951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 0 )
23	21, 9, 22	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 0 )
24	4, 5, 6	lmod0cl 20845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)
25	24, 11	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 0 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉))
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉))
28		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29	3, 4, 5, 1, 28	scafval 20838	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 · (0g‘𝑊)) = ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 · (0g‘𝑊)) = ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)))
31	24	ancli 548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾))
33	32	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾))
34	4, 28, 5, 10	lmodvs0 20853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
36		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → 1 ∈ 𝑉)
37	3, 13, 10	grprid 18951	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 1 )
38	21, 36, 37	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 1 )
39	4, 5, 7	lmod1cl 20846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ 𝐾)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 1 ∈ 𝐾)
41	3, 4, 5, 1, 28	scafval 20838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( 1 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 · 1 ) = ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ))
42	40, 36, 41	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ))
43	3, 4, 28, 7	lmodvs1 20847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ) = 1 )
44	43	ad2ant2rl 749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ) = 1 )
45	42, 44	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = 1 )
46		oveq 7411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( + = · → ( 1 + 1 ) = ( 1 · 1 ))
47	46	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( + = · → ( 1 · 1 ) = ( 1 + 1 ))
48	47	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 + 1 ))
49	36, 36	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))
51	3, 13, 2	plusfval 18625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 + 1 ) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 + 1 ) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
53	48, 52	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
54	38, 45, 53	3eqtr2d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
55	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
56	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
57	36	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 1 ∈ 𝑉)
58	3, 13	grplcan 18983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((0g‘𝑊) ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ) ↔ (0g‘𝑊) = 1 ))
59	55, 56, 57, 57, 58	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ) ↔ (0g‘𝑊) = 1 ))
60	54, 59	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (0g‘𝑊) = 1 )
61	30, 35, 60	3eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 · (0g‘𝑊)) = 1 )
62	19, 23, 61	3eqtr3rd 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 1 = 0 )
63	8, 62	mpdan 687	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 1 = 0 )
64	63	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 1 = 0 ))
65	64	necon3d 2953	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 1 ≠ 0 → + ≠ · ))
66	65	imp 406	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) → + ≠ · )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  0_gc0g 17453  +_𝑓cplusf 18615  Grpcgrp 18916  1_rcur 20141  LModclmod 20817   ·_sf cscaf 20818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-plusf 18617  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-lmod 20819  df-scaf 20820

This theorem is referenced by:  clmopfne  25047