Theorem lmodfopne 20890

Description: The (functionalized) operations of a left module (over a nonzero ring) cannot be identical. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (Revised by AV, 2-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodfopne.t	⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
lmodfopne.a	⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
lmodfopne.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodfopne.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lmodfopne.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lmodfopne.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lmodfopne.1	⊢ 1 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lmodfopne	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) → + ≠ · )

Proof of Theorem lmodfopne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodfopne.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
2		lmodfopne.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
3		lmodfopne.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lmodfopne.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodfopne.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
6		lmodfopne.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
7		lmodfopne.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lmodfopnelem2 20889	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))
9		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
10		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
11	3, 10	lmod0vcl 20881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
12	11	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
13		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
14	3, 13, 2	plusfval 18606	. . . . . . . . 9 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 + (0g‘𝑊)) = ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)))
15	14	eqcomd 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 0 + (0g‘𝑊)))
16	9, 12, 15	syl2anr 603	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 0 + (0g‘𝑊)))
17		oveq 7362	. . . . . . . 8 ⊢ ( + = · → ( 0 + (0g‘𝑊)) = ( 0 · (0g‘𝑊)))
18	17	ad2antlr 733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 + (0g‘𝑊)) = ( 0 · (0g‘𝑊)))
19	16, 18	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 0 · (0g‘𝑊)))
20		lmodgrp 20857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
21	20	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑊 ∈ Grp)
22	3, 13, 10	grprid 18935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 0 )
23	21, 9, 22	syl2an 602	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 0 )
24	4, 5, 6	lmod0cl 20878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)
25	24, 11	jca 516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 0 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉))
26	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉))
27	26	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉))
28		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29	3, 4, 5, 1, 28	scafval 20871	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 · (0g‘𝑊)) = ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 · (0g‘𝑊)) = ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)))
31	24	ancli 553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾))
32	31	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾))
33	32	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾))
34	4, 28, 5, 10	lmodvs0 20886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
36		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → 1 ∈ 𝑉)
37	3, 13, 10	grprid 18935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 1 )
38	21, 36, 37	syl2an 602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 1 )
39	4, 5, 7	lmod1cl 20879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ 𝐾)
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 1 ∈ 𝐾)
41	3, 4, 5, 1, 28	scafval 20871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( 1 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 · 1 ) = ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ))
42	40, 36, 41	syl2an 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ))
43	3, 4, 28, 7	lmodvs1 20880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ) = 1 )
44	43	ad2ant2rl 755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ) = 1 )
45	42, 44	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = 1 )
46		oveq 7362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( + = · → ( 1 + 1 ) = ( 1 · 1 ))
47	46	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( + = · → ( 1 · 1 ) = ( 1 + 1 ))
48	47	ad2antlr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 + 1 ))
49	36, 36	jca 516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))
51	3, 13, 2	plusfval 18606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 + 1 ) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 + 1 ) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
53	48, 52	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
54	38, 45, 53	3eqtr2d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
55	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
56	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
57	36	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 1 ∈ 𝑉)
58	3, 13	grplcan 18967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((0g‘𝑊) ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ) ↔ (0g‘𝑊) = 1 ))
59	55, 56, 57, 57, 58	syl13anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ) ↔ (0g‘𝑊) = 1 ))
60	54, 59	mpbid 233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (0g‘𝑊) = 1 )
61	30, 35, 60	3eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 · (0g‘𝑊)) = 1 )
62	19, 23, 61	3eqtr3rd 2783	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 1 = 0 )
63	8, 62	mpdan 693	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 1 = 0 )
64	63	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 1 = 0 ))
65	64	necon3d 2955	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 1 ≠ 0 → + ≠ · ))
66	65	imp 407	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) → + ≠ · )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  +_𝑓cplusf 18596  Grpcgrp 18900  1_rcur 20153  LModclmod 20850   ·_sf cscaf 20851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-plusf 18598  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20852  df-scaf 20853

This theorem is referenced by:  clmopfne  25081