Theorem lmodfopne 21168

Description: The (functionalized) operations of a left module (over a nonzero ring) cannot be identical. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (Revised by AV, 2-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodfopne.t	⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
lmodfopne.a	⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
lmodfopne.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodfopne.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lmodfopne.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lmodfopne.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lmodfopne.1	⊢ 1 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lmodfopne	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) → + ≠ · )

Proof of Theorem lmodfopne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodfopne.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
2		lmodfopne.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
3		lmodfopne.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lmodfopne.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodfopne.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
6		lmodfopne.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
7		lmodfopne.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lmodfopnelem2 21167	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))
9		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
10		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
11	3, 10	lmod0vcl 21159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
12	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
13		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
14	3, 13, 2	plusfval 18816	. . . . . . . . 9 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 + (0g‘𝑊)) = ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)))
15	14	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 0 + (0g‘𝑊)))
16	9, 12, 15	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 0 + (0g‘𝑊)))
17		oveq 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ( + = · → ( 0 + (0g‘𝑊)) = ( 0 · (0g‘𝑊)))
18	17	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 + (0g‘𝑊)) = ( 0 · (0g‘𝑊)))
19	16, 18	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 0 · (0g‘𝑊)))
20		lmodgrp 21135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
21	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑊 ∈ Grp)
22	3, 13, 10	grprid 19172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 0 )
23	21, 9, 22	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 0 )
24	4, 5, 6	lmod0cl 21156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)
25	24, 11	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 0 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉))
26	25	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉))
27	26	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉))
28		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29	3, 4, 5, 1, 28	scafval 21149	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 · (0g‘𝑊)) = ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)))
30	27, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 · (0g‘𝑊)) = ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)))
31	24	ancli 558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾))
32	31	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾))
33	32	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾))
34	4, 28, 5, 10	lmodvs0 21164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
35	33, 34	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
36		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → 1 ∈ 𝑉)
37	3, 13, 10	grprid 19172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 1 )
38	21, 36, 37	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 1 )
39	4, 5, 7	lmod1cl 21157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ 𝐾)
40	39	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 1 ∈ 𝐾)
41	3, 4, 5, 1, 28	scafval 21149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( 1 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 · 1 ) = ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ))
42	40, 36, 41	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ))
43	3, 4, 28, 7	lmodvs1 21158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ) = 1 )
44	43	ad2ant2rl 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ) = 1 )
45	42, 44	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = 1 )
46		oveq 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( + = · → ( 1 + 1 ) = ( 1 · 1 ))
47	46	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( + = · → ( 1 · 1 ) = ( 1 + 1 ))
48	47	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 + 1 ))
49	36, 36	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))
50	49	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))
51	3, 13, 2	plusfval 18816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 + 1 ) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 + 1 ) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
53	48, 52	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
54	38, 45, 53	3eqtr2d 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
55	21	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
56	12	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
57	36	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 1 ∈ 𝑉)
58	3, 13	grplcan 19204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((0g‘𝑊) ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ) ↔ (0g‘𝑊) = 1 ))
59	55, 56, 57, 57, 58	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ) ↔ (0g‘𝑊) = 1 ))
60	54, 59	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (0g‘𝑊) = 1 )
61	30, 35, 60	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 · (0g‘𝑊)) = 1 )
62	19, 23, 61	3eqtr3rd 2805	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 1 = 0 )
63	8, 62	mpdan 700	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 1 = 0 )
64	63	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 1 = 0 ))
65	64	necon3d 2977	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 1 ≠ 0 → + ≠ · ))
66	65	imp 412	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) → + ≠ · )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  Scalarcsca 17424   ·_𝑠 cvsca 17425  0_gc0g 17603  +_𝑓cplusf 18806  Grpcgrp 19137  1_rcur 20400  LModclmod 21128   ·_sf cscaf 21129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-plusf 18808  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-lmod 21130  df-scaf 21131

This theorem is used by:  clmopfne  25410