Theorem lmodfopnelem2 20919

Description: Lemma 2 for lmodfopne 20920. (Contributed by AV, 2-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodfopne.t	⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
lmodfopne.a	⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
lmodfopne.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodfopne.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lmodfopne.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lmodfopne.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lmodfopne.1	⊢ 1 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lmodfopnelem2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem lmodfopnelem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodfopne.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
2		lmodfopne.a	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
3		lmodfopne.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lmodfopne.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodfopne.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	lmodfopnelem1 20918	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑉 = 𝐾)
7	6	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 𝑉 = 𝐾))
8		lmodfopne.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
9	4, 5, 8	lmod0cl 20908	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)
10		lmodfopne.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
11	4, 5, 10	lmod1cl 20909	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ 𝐾)
12	9, 11	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 0 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ 𝐾))
13		eleq2 2833	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = 𝐾 → ( 0 ∈ 𝑉 ↔ 0 ∈ 𝐾))
14		eleq2 2833	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = 𝐾 → ( 1 ∈ 𝑉 ↔ 1 ∈ 𝐾))
15	13, 14	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑉 = 𝐾 → (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) ↔ ( 0 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ 𝐾)))
16	12, 15	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 = 𝐾 → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)))
17	7, 16	syld 47	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)))
18	17	imp 406	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314  0_gc0g 17499  +_𝑓cplusf 18675  1_rcur 20208  LModclmod 20880   ·_sf cscaf 20881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-plusf 18677  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20882  df-scaf 20883

This theorem is referenced by:  lmodfopne  20920