Theorem lmodfopnelem2 20735

Description: Lemma 2 for lmodfopne 20736. (Contributed by AV, 2-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodfopne.t	⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
lmodfopne.a	⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
lmodfopne.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodfopne.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lmodfopne.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lmodfopne.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lmodfopne.1	⊢ 1 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lmodfopnelem2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem lmodfopnelem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodfopne.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
2		lmodfopne.a	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
3		lmodfopne.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lmodfopne.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodfopne.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	lmodfopnelem1 20734	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑉 = 𝐾)
7	6	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 𝑉 = 𝐾))
8		lmodfopne.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
9	4, 5, 8	lmod0cl 20724	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)
10		lmodfopne.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
11	4, 5, 10	lmod1cl 20725	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ 𝐾)
12	9, 11	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 0 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ 𝐾))
13		eleq2 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = 𝐾 → ( 0 ∈ 𝑉 ↔ 0 ∈ 𝐾))
14		eleq2 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = 𝐾 → ( 1 ∈ 𝑉 ↔ 1 ∈ 𝐾))
15	13, 14	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑉 = 𝐾 → (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) ↔ ( 0 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ 𝐾)))
16	12, 15	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 = 𝐾 → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)))
17	7, 16	syld 47	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)))
18	17	imp 406	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199  0_gc0g 17384  +_𝑓cplusf 18560  1_rcur 20076  LModclmod 20696   ·_sf cscaf 20697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-plusf 18562  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-lmod 20698  df-scaf 20699

This theorem is referenced by:  lmodfopne  20736