MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello1mpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello1mpt 15553
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ello1mpt.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ello1mpt (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝜑,𝑚,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ello1mpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1mpt.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
21fmpttd 7134 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
3 ello1mpt.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4 ello12 15548 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚)))
52, 3, 4syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚)))
6 nfv 1911 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝑧
7 nffvmpt1 6917 . . . . . . 7 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
8 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥
9 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥𝑚
107, 8, 9nfbr 5194 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚
116, 10nfim 1893 . . . . 5 𝑥(𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚)
12 nfv 1911 . . . . 5 𝑧(𝑦𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑚)
13 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑧𝑦𝑥))
14 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
1514breq1d 5157 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚 ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑚))
1613, 15imbi12d 344 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚) ↔ (𝑦𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑚)))
1711, 12, 16cbvralw 3303 . . . 4 (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑚))
18 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
19 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
2019fvmpt2 7026 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
2118, 1, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
2221breq1d 5157 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑚𝐵𝑚))
2322imbi2d 340 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑦𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑚) ↔ (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
2423ralbidva 3173 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
2517, 24bitrid 283 . . 3 (𝜑 → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
26252rexbidv 3219 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
275, 26bitrd 279 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  wf 6558  cfv 6562  cr 11151  cle 11293  ≤𝑂(1)clo1 15519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-ico 13389  df-lo1 15523
This theorem is referenced by:  ello1mpt2  15554  ello1d  15555  elo1mpt  15566  o1lo1  15569  lo1resb  15596  lo1add  15659  lo1mul  15660  lo1le  15684
  Copyright terms: Public domain W3C validator