MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello1mpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello1mpt 15507
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
ello1mpt.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ello1mpt (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ π‘š)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐴   𝐡,π‘š,𝑦   πœ‘,π‘š,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem ello1mpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1mpt.2 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
21fmpttd 7130 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
3 ello1mpt.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
4 ello12 15502 . . 3 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š)))
52, 3, 4syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š)))
6 nfv 1909 . . . . . 6 β„²π‘₯ 𝑦 ≀ 𝑧
7 nffvmpt1 6913 . . . . . . 7 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§)
8 nfcv 2899 . . . . . . 7 β„²π‘₯ ≀
9 nfcv 2899 . . . . . . 7 β„²π‘₯π‘š
107, 8, 9nfbr 5199 . . . . . 6 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š
116, 10nfim 1891 . . . . 5 β„²π‘₯(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š)
12 nfv 1909 . . . . 5 Ⅎ𝑧(𝑦 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ π‘š)
13 breq2 5156 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ 𝑦 ≀ π‘₯))
14 fveq2 6902 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
1514breq1d 5162 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ π‘š))
1613, 15imbi12d 343 . . . . 5 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((𝑦 ≀ 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š) ↔ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ π‘š)))
1711, 12, 16cbvralw 3301 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ π‘š))
18 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
19 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
2019fvmpt2 7021 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
2118, 1, 20syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
2221breq1d 5162 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ π‘š ↔ 𝐡 ≀ π‘š))
2322imbi2d 339 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ π‘š) ↔ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ π‘š)))
2423ralbidva 3173 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ π‘š) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ π‘š)))
2517, 24bitrid 282 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ π‘š)))
26252rexbidv 3217 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ π‘š)))
275, 26bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ π‘š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  β„cr 11147   ≀ cle 11289  β‰€π‘‚(1)clo1 15473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-ico 13372  df-lo1 15477
This theorem is referenced by:  ello1mpt2  15508  ello1d  15509  elo1mpt  15520  o1lo1  15523  lo1resb  15550  lo1add  15613  lo1mul  15614  lo1le  15640
  Copyright terms: Public domain W3C validator