MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello1mpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello1mpt 15471
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
ello1mpt.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ello1mpt (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ π‘š)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐴   𝐡,π‘š,𝑦   πœ‘,π‘š,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem ello1mpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1mpt.2 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
21fmpttd 7110 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
3 ello1mpt.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
4 ello12 15466 . . 3 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š)))
52, 3, 4syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š)))
6 nfv 1909 . . . . . 6 β„²π‘₯ 𝑦 ≀ 𝑧
7 nffvmpt1 6896 . . . . . . 7 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§)
8 nfcv 2897 . . . . . . 7 β„²π‘₯ ≀
9 nfcv 2897 . . . . . . 7 β„²π‘₯π‘š
107, 8, 9nfbr 5188 . . . . . 6 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š
116, 10nfim 1891 . . . . 5 β„²π‘₯(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š)
12 nfv 1909 . . . . 5 Ⅎ𝑧(𝑦 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ π‘š)
13 breq2 5145 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ 𝑦 ≀ π‘₯))
14 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
1514breq1d 5151 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ π‘š))
1613, 15imbi12d 344 . . . . 5 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((𝑦 ≀ 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š) ↔ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ π‘š)))
1711, 12, 16cbvralw 3297 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ π‘š))
18 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
19 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
2019fvmpt2 7003 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
2118, 1, 20syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
2221breq1d 5151 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ π‘š ↔ 𝐡 ≀ π‘š))
2322imbi2d 340 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ π‘š) ↔ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ π‘š)))
2423ralbidva 3169 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ≀ π‘š) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ π‘š)))
2517, 24bitrid 283 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ π‘š)))
26252rexbidv 3213 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ≀ π‘š) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ π‘š)))
275, 26bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ≀ π‘š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  β„cr 11111   ≀ cle 11253  β‰€π‘‚(1)clo1 15437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ico 13336  df-lo1 15441
This theorem is referenced by:  ello1mpt2  15472  ello1d  15473  elo1mpt  15484  o1lo1  15487  lo1resb  15514  lo1add  15577  lo1mul  15578  lo1le  15604
  Copyright terms: Public domain W3C validator