MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello1mpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello1mpt 15491
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ello1mpt.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ello1mpt (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝜑,𝑚,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ello1mpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1mpt.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
21fmpttd 7119 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
3 ello1mpt.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4 ello12 15486 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚)))
52, 3, 4syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚)))
6 nfv 1910 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝑧
7 nffvmpt1 6902 . . . . . . 7 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
8 nfcv 2898 . . . . . . 7 𝑥
9 nfcv 2898 . . . . . . 7 𝑥𝑚
107, 8, 9nfbr 5189 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚
116, 10nfim 1892 . . . . 5 𝑥(𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚)
12 nfv 1910 . . . . 5 𝑧(𝑦𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑚)
13 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑧𝑦𝑥))
14 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
1514breq1d 5152 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚 ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑚))
1613, 15imbi12d 344 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚) ↔ (𝑦𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑚)))
1711, 12, 16cbvralw 3298 . . . 4 (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑚))
18 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
19 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
2019fvmpt2 7010 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
2118, 1, 20syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
2221breq1d 5152 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑚𝐵𝑚))
2322imbi2d 340 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑦𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑚) ↔ (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
2423ralbidva 3170 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
2517, 24bitrid 283 . . 3 (𝜑 → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
26252rexbidv 3214 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
275, 26bitrd 279 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  wrex 3065  wss 3944   class class class wbr 5142  cmpt 5225  wf 6538  cfv 6542  cr 11131  cle 11273  ≤𝑂(1)clo1 15457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-ico 13356  df-lo1 15461
This theorem is referenced by:  ello1mpt2  15492  ello1d  15493  elo1mpt  15504  o1lo1  15507  lo1resb  15534  lo1add  15597  lo1mul  15598  lo1le  15624
  Copyright terms: Public domain W3C validator