MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello12 15462
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ello12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐴   π‘š,𝐹,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem ello12
StepHypRef Expression
1 reex 11198 . . . 4 ℝ ∈ V
2 elpm2r 8836 . . . 4 (((ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
31, 1, 2mpanl12 699 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
4 ello1 15461 . . . 4 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
54baib 535 . . 3 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) β†’ (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
63, 5syl 17 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
7 elin 3957 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)))
8 fdm 6717 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
98ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
109eleq2d 2811 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
1110anbi1d 629 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞))))
12 simpllr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
1312sselda 3975 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
14 simpllr 773 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
15 elicopnf 13423 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
1713, 16mpbirand 704 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞) ↔ π‘₯ ≀ 𝑦))
1817pm5.32da 578 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
1911, 18bitrd 279 . . . . . . . 8 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
207, 19bitrid 283 . . . . . . 7 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
2120imbi1d 341 . . . . . 6 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
22 impexp 450 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
2321, 22bitrdi 287 . . . . 5 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))))
2423ralbidv2 3165 . . . 4 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
2524rexbidva 3168 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š ↔ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
2625rexbidva 3168 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
276, 26bitrd 279 1 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  Vcvv 3466   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5139  dom cdm 5667  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑pm cpm 8818  β„cr 11106  +∞cpnf 11244   ≀ cle 11248  [,)cico 13327  β‰€π‘‚(1)clo1 15433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-ico 13331  df-lo1 15437
This theorem is referenced by:  ello12r  15463  lo1bdd  15466  ello1mpt  15467  lo1o1  15478  lo1res  15505  elbigolo1  47492
  Copyright terms: Public domain W3C validator