MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello12 15493
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ello12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐴   π‘š,𝐹,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem ello12
StepHypRef Expression
1 reex 11230 . . . 4 ℝ ∈ V
2 elpm2r 8864 . . . 4 (((ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
31, 1, 2mpanl12 701 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
4 ello1 15492 . . . 4 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
54baib 535 . . 3 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) β†’ (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
63, 5syl 17 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
7 elin 3963 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)))
8 fdm 6731 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
98ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
109eleq2d 2815 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
1110anbi1d 630 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞))))
12 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
1312sselda 3980 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
14 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
15 elicopnf 13455 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
1713, 16mpbirand 706 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞) ↔ π‘₯ ≀ 𝑦))
1817pm5.32da 578 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
1911, 18bitrd 279 . . . . . . . 8 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
207, 19bitrid 283 . . . . . . 7 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
2120imbi1d 341 . . . . . 6 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
22 impexp 450 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
2321, 22bitrdi 287 . . . . 5 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))))
2423ralbidv2 3170 . . . 4 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
2524rexbidva 3173 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š ↔ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
2625rexbidva 3173 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
276, 26bitrd 279 1 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3471   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5148  dom cdm 5678  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑pm cpm 8846  β„cr 11138  +∞cpnf 11276   ≀ cle 11280  [,)cico 13359  β‰€π‘‚(1)clo1 15464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-ico 13363  df-lo1 15468
This theorem is referenced by:  ello12r  15494  lo1bdd  15497  ello1mpt  15498  lo1o1  15509  lo1res  15536  elbigolo1  47630
  Copyright terms: Public domain W3C validator