MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello12 15447
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ello12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ello12
StepHypRef Expression
1 reex 11188 . . . 4 ℝ ∈ V
2 elpm2r 8827 . . . 4 (((ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
31, 1, 2mpanl12 701 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
4 ello1 15446 . . . 4 (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹𝑦) ≤ 𝑚))
54baib 537 . . 3 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹𝑦) ≤ 𝑚))
63, 5syl 17 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹𝑦) ≤ 𝑚))
7 elin 3962 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)))
8 fdm 6716 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
98ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → dom 𝐹 = 𝐴)
109eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ dom 𝐹𝑦𝐴))
1110anbi1d 631 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞))))
12 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
1312sselda 3980 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
14 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 elicopnf 13409 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦)))
1713, 16mpbirand 706 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ 𝑥𝑦))
1817pm5.32da 580 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦𝐴𝑥𝑦)))
1911, 18bitrd 279 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦𝐴𝑥𝑦)))
207, 19bitrid 283 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦𝐴𝑥𝑦)))
2120imbi1d 342 . . . . . 6 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚) ↔ ((𝑦𝐴𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚)))
22 impexp 452 . . . . . 6 (((𝑦𝐴𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚) ↔ (𝑦𝐴 → (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚)))
2321, 22bitrdi 287 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚) ↔ (𝑦𝐴 → (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚))))
2423ralbidv2 3174 . . . 4 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚)))
2524rexbidva 3177 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚)))
2625rexbidva 3177 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚)))
276, 26bitrd 279 1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  cin 3945  wss 3946   class class class wbr 5144  dom cdm 5672  wf 6531  cfv 6535  (class class class)co 7396  pm cpm 8809  cr 11096  +∞cpnf 11232  cle 11236  [,)cico 13313  ≤𝑂(1)clo1 15418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8691  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-ico 13317  df-lo1 15422
This theorem is referenced by:  ello12r  15448  lo1bdd  15451  ello1mpt  15452  lo1o1  15463  lo1res  15490  elbigolo1  47083
  Copyright terms: Public domain W3C validator