MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello12 14695
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ello12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ello12
StepHypRef Expression
1 reex 10463 . . . 4 ℝ ∈ V
2 elpm2r 8265 . . . 4 (((ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
31, 1, 2mpanl12 698 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
4 ello1 14694 . . . 4 (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹𝑦) ≤ 𝑚))
54baib 536 . . 3 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹𝑦) ≤ 𝑚))
63, 5syl 17 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹𝑦) ≤ 𝑚))
7 elin 4085 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)))
8 fdm 6382 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
98ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → dom 𝐹 = 𝐴)
109eleq2d 2866 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ dom 𝐹𝑦𝐴))
1110anbi1d 629 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞))))
12 simpllr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
1312sselda 3884 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
14 simpllr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 elicopnf 12672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦)))
1713, 16mpbirand 703 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ 𝑥𝑦))
1817pm5.32da 579 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦𝐴𝑥𝑦)))
1911, 18bitrd 280 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦𝐴𝑥𝑦)))
207, 19syl5bb 284 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦𝐴𝑥𝑦)))
2120imbi1d 343 . . . . . 6 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚) ↔ ((𝑦𝐴𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚)))
22 impexp 451 . . . . . 6 (((𝑦𝐴𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚) ↔ (𝑦𝐴 → (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚)))
2321, 22syl6bb 288 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚) ↔ (𝑦𝐴 → (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚))))
2423ralbidv2 3160 . . . 4 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚)))
2524rexbidva 3256 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚)))
2625rexbidva 3256 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚)))
276, 26bitrd 280 1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑚)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079  wral 3103  wrex 3104  Vcvv 3432  cin 3853  wss 3854   class class class wbr 4956  dom cdm 5435  wf 6213  cfv 6217  (class class class)co 7007  pm cpm 8248  cr 10371  +∞cpnf 10507  cle 10511  [,)cico 12579  ≤𝑂(1)clo1 14666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-po 5354  df-so 5355  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-er 8130  df-pm 8250  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-ico 12583  df-lo1 14670
This theorem is referenced by:  ello12r  14696  lo1bdd  14699  ello1mpt  14700  lo1o1  14711  lo1res  14738  elbigolo1  44052
  Copyright terms: Public domain W3C validator