Theorem ello12 15482

Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ello12	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ello12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11159	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
2		elpm2r 8818	. . . 4 ⊢ (((ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
3	1, 1, 2	mpanl12 702	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
4		ello1 15481	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))
5	4	baib 535	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))
7		elin 3930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)))
8		fdm 6697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
9	8	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → dom 𝐹 = 𝐴)
10	9	eleq2d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
11	10	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞))))
12		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	12	sselda 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
14		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		elicopnf 13406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
17	13, 16	mpbirand 707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
18	17	pm5.32da 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
19	11, 18	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
20	7, 19	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
21	20	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
22		impexp 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
23	21, 22	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))))
24	23	ralbidv2 3152	. . . 4 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
25	24	rexbidva 3155	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
26	25	rexbidva 3155	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
27	6, 26	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_pm cpm 8800  ℝcr 11067  +∞cpnf 11205   ≤ cle 11209  [,)cico 13308  ≤𝑂(1)clo1 15453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-ico 13312  df-lo1 15457

This theorem is referenced by:  ello12r  15483  lo1bdd  15486  ello1mpt  15487  lo1o1  15498  lo1res  15525  elbigolo1  48546