Theorem ello12 15458

Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ello12	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ello12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11135	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
2		elpm2r 8795	. . . 4 ⊢ (((ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
3	1, 1, 2	mpanl12 702	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
4		ello1 15457	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))
5	4	baib 535	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))
7		elin 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)))
8		fdm 6679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
9	8	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → dom 𝐹 = 𝐴)
10	9	eleq2d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
11	10	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞))))
12		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	12	sselda 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
14		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		elicopnf 13382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
17	13, 16	mpbirand 707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
18	17	pm5.32da 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
19	11, 18	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
20	7, 19	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
21	20	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
22		impexp 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
23	21, 22	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))))
24	23	ralbidv2 3152	. . . 4 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
25	24	rexbidva 3155	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
26	25	rexbidva 3155	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
27	6, 26	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_pm cpm 8777  ℝcr 11043  +∞cpnf 11181   ≤ cle 11185  [,)cico 13284  ≤𝑂(1)clo1 15429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-ico 13288  df-lo1 15433

This theorem is referenced by:  ello12r  15459  lo1bdd  15462  ello1mpt  15463  lo1o1  15474  lo1res  15501  elbigolo1  48519