MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello12 15407
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ello12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐴   π‘š,𝐹,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem ello12
StepHypRef Expression
1 reex 11150 . . . 4 ℝ ∈ V
2 elpm2r 8789 . . . 4 (((ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
31, 1, 2mpanl12 701 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
4 ello1 15406 . . . 4 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
54baib 537 . . 3 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) β†’ (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
63, 5syl 17 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
7 elin 3930 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)))
8 fdm 6681 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
98ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
109eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
1110anbi1d 631 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞))))
12 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
1312sselda 3948 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
14 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
15 elicopnf 13371 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
1713, 16mpbirand 706 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞) ↔ π‘₯ ≀ 𝑦))
1817pm5.32da 580 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
1911, 18bitrd 279 . . . . . . . 8 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
207, 19bitrid 283 . . . . . . 7 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
2120imbi1d 342 . . . . . 6 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
22 impexp 452 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
2321, 22bitrdi 287 . . . . 5 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))))
2423ralbidv2 3167 . . . 4 ((((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
2524rexbidva 3170 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š ↔ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
2625rexbidva 3170 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
276, 26bitrd 279 1 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑pm cpm 8772  β„cr 11058  +∞cpnf 11194   ≀ cle 11198  [,)cico 13275  β‰€π‘‚(1)clo1 15378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-ico 13279  df-lo1 15382
This theorem is referenced by:  ello12r  15408  lo1bdd  15411  ello1mpt  15412  lo1o1  15423  lo1res  15450  elbigolo1  46733
  Copyright terms: Public domain W3C validator