Theorem o1const 15657

Description: A constant function is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
o1const	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem o1const

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimconst 15581	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
2		rlimo1 15654	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182  ℂcc 11082  ℝcr 11083   ⇝_𝑟 crli 15522  𝑂(1)co1 15523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9386  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-rp 13004  df-ico 13365  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-rlim 15526  df-o1 15527

This theorem is referenced by:  fsumo1  15850  dchrmusum2  27565  dchrvmasumlem2  27569  dchrvmasumiflem2  27573  dchrisum0fno1  27582  rpvmasum2  27583  dchrisum0lem1  27587  dchrisum0lem2a  27588  dchrisum0lem2  27589  dchrmusumlem  27593  rplogsum  27598  dirith2  27599  mulogsumlem  27602  mulogsum  27603  mulog2sumlem2  27606  mulog2sumlem3  27607  vmalogdivsum2  27609  2vmadivsumlem  27611  selberglem1  27616  selberg3lem1  27628  selberg4lem1  27631  selberg4  27632  pntrmax  27635  pntrsumo1  27636  selberg3r  27640  selberg4r  27641  selberg34r  27642  pntrlog2bndlem2  27649  pntrlog2bndlem3  27650  pntrlog2bndlem4  27651