MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello1d 14739
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ello1mpt.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ello1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ello1d.4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
ello1d.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵𝑀)
Assertion
Ref Expression
ello1d (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ello1d
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 ello1d.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3 ello1d.5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵𝑀)
43expr 449 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶𝑥𝐵𝑀))
54ralrimiva 3126 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑀))
6 breq1 4928 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦𝑥𝐶𝑥))
76imbi1d 334 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ (𝐶𝑥𝐵𝑚)))
87ralbidv 3141 . . . 4 (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑚)))
9 breq2 4929 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → (𝐵𝑚𝐵𝑀))
109imbi2d 333 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → ((𝐶𝑥𝐵𝑚) ↔ (𝐶𝑥𝐵𝑀)))
1110ralbidv 3141 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑀)))
128, 11rspc2ev 3544 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚))
131, 2, 5, 12syl3anc 1351 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚))
14 ello1mpt.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
15 ello1mpt.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1614, 15ello1mpt 14737 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
1713, 16mpbird 249 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3082  wrex 3083  wss 3823   class class class wbr 4925  cmpt 5004  cr 10332  cle 10473  ≤𝑂(1)clo1 14703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-pm 8207  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-ico 12558  df-lo1 14707
This theorem is referenced by:  elo1d  14752  o1lo12  14754  icco1  14756  lo1const  14836  dirith2  25818  pntrlog2bndlem4  25870  pntrlog2bndlem6  25873
  Copyright terms: Public domain W3C validator