MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello1d 15555
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ello1mpt.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ello1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ello1d.4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
ello1d.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵𝑀)
Assertion
Ref Expression
ello1d (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ello1d
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 ello1d.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3 ello1d.5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵𝑀)
43expr 456 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶𝑥𝐵𝑀))
54ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑀))
6 breq1 5150 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦𝑥𝐶𝑥))
76imbi1d 341 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ (𝐶𝑥𝐵𝑚)))
87ralbidv 3175 . . . 4 (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑚)))
9 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → (𝐵𝑚𝐵𝑀))
109imbi2d 340 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → ((𝐶𝑥𝐵𝑚) ↔ (𝐶𝑥𝐵𝑀)))
1110ralbidv 3175 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑀)))
128, 11rspc2ev 3634 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚))
131, 2, 5, 12syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚))
14 ello1mpt.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
15 ello1mpt.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1614, 15ello1mpt 15553 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
1713, 16mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cr 11151  cle 11293  ≤𝑂(1)clo1 15519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-ico 13389  df-lo1 15523
This theorem is referenced by:  elo1d  15568  o1lo12  15570  icco1  15572  lo1const  15653  dirith2  27586  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem6  27641
  Copyright terms: Public domain W3C validator