MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello1d 15525
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ello1mpt.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ello1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ello1d.4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
ello1d.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵𝑀)
Assertion
Ref Expression
ello1d (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ello1d
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 ello1d.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3 ello1d.5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵𝑀)
43expr 455 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶𝑥𝐵𝑀))
54ralrimiva 3136 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑀))
6 breq1 5156 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦𝑥𝐶𝑥))
76imbi1d 340 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ (𝐶𝑥𝐵𝑚)))
87ralbidv 3168 . . . 4 (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑚)))
9 breq2 5157 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → (𝐵𝑚𝐵𝑀))
109imbi2d 339 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → ((𝐶𝑥𝐵𝑚) ↔ (𝐶𝑥𝐵𝑀)))
1110ralbidv 3168 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑀)))
128, 11rspc2ev 3621 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚))
131, 2, 5, 12syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚))
14 ello1mpt.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
15 ello1mpt.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1614, 15ello1mpt 15523 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
1713, 16mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060  wss 3947   class class class wbr 5153  cmpt 5236  cr 11157  cle 11299  ≤𝑂(1)clo1 15489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-ico 13384  df-lo1 15493
This theorem is referenced by:  elo1d  15538  o1lo12  15540  icco1  15542  lo1const  15623  dirith2  27557  pntrlog2bndlem4  27609  pntrlog2bndlem6  27612
  Copyright terms: Public domain W3C validator