Theorem ello1d 15611

Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ello1mpt.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ello1mpt.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ello1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ello1d.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
ello1d.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ello1d	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ello1d

Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ello1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		ello1d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
3		ello1d.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝑀)
4	3	expr 462	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑀))
5	4	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑀))
6		breq1 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝐶 ≤ 𝑥))
7	6	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ (𝐶 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
8	7	ralbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
9		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝐵 ≤ 𝑚 ↔ 𝐵 ≤ 𝑀))
10	9	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝐶 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ (𝐶 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑀)))
11	10	ralbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑀)))
12	8, 11	rspc2ev 3589	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚))
13	1, 2, 5, 12	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚))
14		ello1mpt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
15		ello1mpt.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	14, 15	ello1mpt 15609	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
17	13, 16	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ℝcr 11124   ≤ cle 11269  ≤𝑂(1)clo1 15575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-pm 8830  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-ico 13405  df-lo1 15579

This theorem is used by:  elo1d  15624  o1lo12  15626  icco1  15628  lo1const  15709  dirith2  27765  pntrlog2bndlem4  27817  pntrlog2bndlem6  27820