MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello1d 15559
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ello1mpt.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ello1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ello1d.4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
ello1d.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵𝑀)
Assertion
Ref Expression
ello1d (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ello1d
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 ello1d.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3 ello1d.5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵𝑀)
43expr 456 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶𝑥𝐵𝑀))
54ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑀))
6 breq1 5146 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦𝑥𝐶𝑥))
76imbi1d 341 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ (𝐶𝑥𝐵𝑚)))
87ralbidv 3178 . . . 4 (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑚)))
9 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → (𝐵𝑚𝐵𝑀))
109imbi2d 340 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → ((𝐶𝑥𝐵𝑚) ↔ (𝐶𝑥𝐵𝑀)))
1110ralbidv 3178 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑀)))
128, 11rspc2ev 3635 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥𝐵𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚))
131, 2, 5, 12syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚))
14 ello1mpt.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
15 ello1mpt.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1614, 15ello1mpt 15557 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
1713, 16mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cr 11154  cle 11296  ≤𝑂(1)clo1 15523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ico 13393  df-lo1 15527
This theorem is referenced by:  elo1d  15572  o1lo12  15574  icco1  15576  lo1const  15657  dirith2  27572  pntrlog2bndlem4  27624  pntrlog2bndlem6  27627
  Copyright terms: Public domain W3C validator