MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnel6 20592
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnel5.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel5.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel5.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspsnel5.a (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
lspsnel6 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))

Proof of Theorem lspsnel6
StepHypRef Expression
1 lspsnel5.a . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
2 lspsnel5.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lspsnel5.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lssel 20535 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
51, 4sylan 581 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
6 lspsnel5.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
76adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
81adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈𝑆)
9 simpr 486 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
10 lspsnel5.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
113, 10lspsnss 20588 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
127, 8, 9, 11syl3anc 1372 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
135, 12jca 513 . 2 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
142, 10lspsnid 20591 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
156, 14sylan 581 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
16 ssel 3973 . . . 4 ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑋𝑈))
1715, 16syl5com 31 . . 3 ((𝜑𝑋𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈𝑋𝑈))
1817impr 456 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)) → 𝑋𝑈)
1913, 18impbida 800 1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3946  {csn 4626  cfv 6539  Basecbs 17139  LModclmod 20458  LSubSpclss 20529  LSpanclspn 20569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-0g 17382  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-grp 18817  df-lmod 20460  df-lss 20530  df-lsp 20570
This theorem is referenced by:  lspsnel5  20593  lsmelval2  20683  dihjat1lem  40236
  Copyright terms: Public domain W3C validator