MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel6 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspsnel6 20892
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsnel5.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspsnel5.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspsnel5.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lspsnel5.a (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lspsnel6 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)))
Proof of Theorem lspsnel6
StepHypRef Expression
1 lspsnel5.a . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
2 lspsnel5.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 lspsnel5.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
42, 3lssel 20835 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
51, 4sylan 578 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
6 lspsnel5.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
76adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
81adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
10 lspsnel5.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
113, 10lspsnss 20888 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
127, 8, 9, 11syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
135, 12jca 510 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ))
142, 10lspsnid 20891 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
156, 14sylan 578 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
16 ssel 3975 . . . 4 ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
1715, 16syl5com 31 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
1817impr 453 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
1913, 18impbida 799 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  {csn 4632  β€˜cfv 6553  Basecbs 17189  LModclmod 20757  LSubSpclss 20829  LSpanclspn 20869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870
This theorem is referenced by:  lspsnel5  20893  lsmelval2  20984  dihjat1lem  40941
  Copyright terms: Public domain W3C validator