MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel6 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspsnel6 20841
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsnel5.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspsnel5.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspsnel5.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lspsnel5.a (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lspsnel6 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)))
Proof of Theorem lspsnel6
StepHypRef Expression
1 lspsnel5.a . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
2 lspsnel5.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 lspsnel5.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
42, 3lssel 20784 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
51, 4sylan 579 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
6 lspsnel5.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
76adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
81adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
10 lspsnel5.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
113, 10lspsnss 20837 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
127, 8, 9, 11syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
135, 12jca 511 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ))
142, 10lspsnid 20840 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
156, 14sylan 579 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
16 ssel 3970 . . . 4 ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
1715, 16syl5com 31 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
1817impr 454 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
1913, 18impbida 798 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  {csn 4623  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819
This theorem is referenced by:  lspsnel5  20842  lsmelval2  20933  dihjat1lem  40812
  Copyright terms: Public domain W3C validator