Theorem lspsnel5 20172

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnel5.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel5.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnel5.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspsnel5.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsnel5	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Proof of Theorem lspsnel5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		lspsnel5.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspsnel5.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspsnel5.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lspsnel5.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspsnel5.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	lspsnel6 20171	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
8	1, 7	mpbirand 703	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149

This theorem is referenced by:  lspsnel5a  20173  lspprid1  20174  lspsnss2  20182  lsmelpr  20268  lspsncmp  20293  lspsnne1  20294  lspsnne2  20295  lspsneq  20299  lspindpi  20309  islbs2  20331  lindsadd  35697  lindsenlbs  35699  lsatelbN  36947  lsmsat  36949  lsatfixedN  36950  l1cvpat  36995  dia2dimlem5  39009  dochsncom  39323  dihjat1lem  39369  dvh4dimlem  39384  lclkrlem2a  39448  lcfrlem6  39488  lcfrlem20  39503  lcfrlem26  39509  lcfrlem36  39519  mapdval2N  39571  mapdrvallem2  39586  mapdindp  39612  mapdh6aN  39676  lspindp5  39711  mapdh8ab  39718  mapdh8e  39725  hdmap1l6a  39750  hdmaprnlem3eN  39799  hdmapoc  39872