MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnel5 20379
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsnel5.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspsnel5.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspsnel5.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lspsnel5.a (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspsnel5.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspsnel5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ))

Proof of Theorem lspsnel5
StepHypRef Expression
1 lspsnel5.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2 lspsnel5.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 lspsnel5.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
4 lspsnel5.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 lspsnel5.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 lspsnel5.a . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
72, 3, 4, 5, 6lspsnel6 20378 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)))
81, 7mpbirand 705 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3908  {csn 4584  β€˜cfv 6491  Basecbs 17017  LModclmod 20245  LSubSpclss 20315  LSpanclspn 20355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-0g 17257  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-grp 18685  df-lmod 20247  df-lss 20316  df-lsp 20356
This theorem is referenced by:  lspsnel5a  20380  lspprid1  20381  lspsnss2  20389  lsmelpr  20475  lspsncmp  20500  lspsnne1  20501  lspsnne2  20502  lspsneq  20506  lspindpi  20516  islbs2  20538  lindsadd  35966  lindsenlbs  35968  lsatelbN  37363  lsmsat  37365  lsatfixedN  37366  l1cvpat  37411  dia2dimlem5  39426  dochsncom  39740  dihjat1lem  39786  dvh4dimlem  39801  lclkrlem2a  39865  lcfrlem6  39905  lcfrlem20  39920  lcfrlem26  39926  lcfrlem36  39936  mapdval2N  39988  mapdrvallem2  40003  mapdindp  40029  mapdh6aN  40093  lspindp5  40128  mapdh8ab  40135  mapdh8e  40142  hdmap1l6a  40167  hdmaprnlem3eN  40216  hdmapoc  40289
  Copyright terms: Public domain W3C validator