MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnel5 20379
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsnel5.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspsnel5.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspsnel5.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lspsnel5.a (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspsnel5.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspsnel5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ))

Proof of Theorem lspsnel5
StepHypRef Expression
1 lspsnel5.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2 lspsnel5.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 lspsnel5.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
4 lspsnel5.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 lspsnel5.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 lspsnel5.a . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
72, 3, 4, 5, 6lspsnel6 20378 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)))
81, 7mpbirand 706 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3909  {csn 4585  β€˜cfv 6492  Basecbs 17018  LModclmod 20245  LSubSpclss 20315  LSpanclspn 20355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-0g 17258  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-grp 18686  df-lmod 20247  df-lss 20316  df-lsp 20356
This theorem is referenced by:  lspsnel5a  20380  lspprid1  20381  lspsnss2  20389  lsmelpr  20475  lspsncmp  20500  lspsnne1  20501  lspsnne2  20502  lspsneq  20506  lspindpi  20516  islbs2  20538  lindsadd  35957  lindsenlbs  35959  lsatelbN  37354  lsmsat  37356  lsatfixedN  37357  l1cvpat  37402  dia2dimlem5  39417  dochsncom  39731  dihjat1lem  39777  dvh4dimlem  39792  lclkrlem2a  39856  lcfrlem6  39896  lcfrlem20  39911  lcfrlem26  39917  lcfrlem36  39927  mapdval2N  39979  mapdrvallem2  39994  mapdindp  40020  mapdh6aN  40084  lspindp5  40119  mapdh8ab  40126  mapdh8e  40133  hdmap1l6a  40158  hdmaprnlem3eN  40207  hdmapoc  40280
  Copyright terms: Public domain W3C validator