Theorem lspsnel5 19760

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnel5.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel5.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnel5.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspsnel5.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsnel5	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Proof of Theorem lspsnel5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		lspsnel5.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspsnel5.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspsnel5.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lspsnel5.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspsnel5.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	lspsnel6 19759	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
8	1, 7	mpbirand 706	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737

This theorem is referenced by:  lspsnel5a  19761  lspprid1  19762  lspsnss2  19770  lsmelpr  19856  lspsncmp  19881  lspsnne1  19882  lspsnne2  19883  lspsneq  19887  lspindpi  19897  islbs2  19919  lindsadd  35050  lindsenlbs  35052  lsatelbN  36302  lsmsat  36304  lsatfixedN  36305  l1cvpat  36350  dia2dimlem5  38364  dochsncom  38678  dihjat1lem  38724  dvh4dimlem  38739  lclkrlem2a  38803  lcfrlem6  38843  lcfrlem20  38858  lcfrlem26  38864  lcfrlem36  38874  mapdval2N  38926  mapdrvallem2  38941  mapdindp  38967  mapdh6aN  39031  lspindp5  39066  mapdh8ab  39073  mapdh8e  39080  hdmap1l6a  39105  hdmaprnlem3eN  39154  hdmapoc  39227