Theorem lspsnel5 19479

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnel5.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel5.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnel5.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspsnel5.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsnel5	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Proof of Theorem lspsnel5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		lspsnel5.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspsnel5.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspsnel5.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lspsnel5.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspsnel5.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	lspsnel6 19478	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
8	1, 7	mpbirand 694	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ⊆ wss 3825  {csn 4435  ‘cfv 6182  Basecbs 16329  LModclmod 19346  LSubSpclss 19415  LSpanclspn 19455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-0g 16561  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-grp 17884  df-lmod 19348  df-lss 19416  df-lsp 19456

This theorem is referenced by:  lspsnel5a  19480  lspprid1  19481  lspsnss2  19489  lsmelpr  19575  lspsncmp  19600  lspsnne1  19601  lspsnne2  19602  lspsneq  19606  lspindpi  19616  islbs2  19638  lindsadd  34274  lindsenlbs  34276  lsatelbN  35535  lsmsat  35537  lsatfixedN  35538  l1cvpat  35583  dia2dimlem5  37597  dochsncom  37911  dihjat1lem  37957  dvh4dimlem  37972  lclkrlem2a  38036  lcfrlem6  38076  lcfrlem20  38091  lcfrlem26  38097  lcfrlem36  38107  mapdval2N  38159  mapdrvallem2  38174  mapdindp  38200  mapdh6aN  38264  lspindp5  38299  mapdh8ab  38306  mapdh8e  38313  hdmap1l6a  38338  hdmaprnlem3eN  38387  hdmapoc  38460