Theorem lspsnel5 19767

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnel5.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel5.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnel5.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspsnel5.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsnel5	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Proof of Theorem lspsnel5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		lspsnel5.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspsnel5.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspsnel5.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lspsnel5.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspsnel5.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	lspsnel6 19766	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
8	1, 7	mpbirand 705	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  {csn 4567  ‘cfv 6355  Basecbs 16483  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LSpanclspn 19743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744

This theorem is referenced by:  lspsnel5a  19768  lspprid1  19769  lspsnss2  19777  lsmelpr  19863  lspsncmp  19888  lspsnne1  19889  lspsnne2  19890  lspsneq  19894  lspindpi  19904  islbs2  19926  lindsadd  34900  lindsenlbs  34902  lsatelbN  36157  lsmsat  36159  lsatfixedN  36160  l1cvpat  36205  dia2dimlem5  38219  dochsncom  38533  dihjat1lem  38579  dvh4dimlem  38594  lclkrlem2a  38658  lcfrlem6  38698  lcfrlem20  38713  lcfrlem26  38719  lcfrlem36  38729  mapdval2N  38781  mapdrvallem2  38796  mapdindp  38822  mapdh6aN  38886  lspindp5  38921  mapdh8ab  38928  mapdh8e  38935  hdmap1l6a  38960  hdmaprnlem3eN  39009  hdmapoc  39082