Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnel5 19767
 Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnel5.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel5.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel5.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspsnel5.a (𝜑𝑈𝑆)
lspsnel5.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspsnel5 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Proof of Theorem lspsnel5
StepHypRef Expression
1 lspsnel5.x . 2 (𝜑𝑋𝑉)
2 lspsnel5.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lspsnel5.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4 lspsnel5.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 lspsnel5.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lspsnel5.a . . 3 (𝜑𝑈𝑆)
72, 3, 4, 5, 6lspsnel6 19766 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
81, 7mpbirand 706 1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3919  {csn 4550  ‘cfv 6343  Basecbs 16483  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LSpanclspn 19743 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744 This theorem is referenced by:  lspsnel5a  19768  lspprid1  19769  lspsnss2  19777  lsmelpr  19863  lspsncmp  19888  lspsnne1  19889  lspsnne2  19890  lspsneq  19894  lspindpi  19904  islbs2  19926  lindsadd  34998  lindsenlbs  35000  lsatelbN  36250  lsmsat  36252  lsatfixedN  36253  l1cvpat  36298  dia2dimlem5  38312  dochsncom  38626  dihjat1lem  38672  dvh4dimlem  38687  lclkrlem2a  38751  lcfrlem6  38791  lcfrlem20  38806  lcfrlem26  38812  lcfrlem36  38822  mapdval2N  38874  mapdrvallem2  38889  mapdindp  38915  mapdh6aN  38979  lspindp5  39014  mapdh8ab  39021  mapdh8e  39028  hdmap1l6a  39053  hdmaprnlem3eN  39102  hdmapoc  39175
 Copyright terms: Public domain W3C validator