Theorem lidl1 20062

Description: Every ring contains a unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidl0.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidl1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidl1	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lidl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 20046	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		lidl1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rlmbas 20036	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
4	2, 3	eqtri 2782	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
5		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
6	4, 5	lss1 19779	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → 𝐵 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
8		lidl0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
9		lidlval 20033	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
10	8, 9	eqtri 2782	. 2 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
11	7, 10	eleqtrrdi 2864	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6336  Basecbs 16542  Ringcrg 19366  LModclmod 19703  LSubSpclss 19772  ringLModcrglmod 20010  LIdealclidl 20011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-4 11740  df-5 11741  df-6 11742  df-7 11743  df-8 11744  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-ress 16550  df-plusg 16637  df-mulr 16638  df-sca 16640  df-vsca 16641  df-ip 16642  df-0g 16774  df-mgm 17919  df-sgrp 17968  df-mnd 17979  df-grp 18173  df-subg 18344  df-mgp 19309  df-ur 19321  df-ring 19368  df-subrg 19602  df-lmod 19705  df-lss 19773  df-sra 20013  df-rgmod 20014  df-lidl 20015

This theorem is referenced by:  drngnidl  20071  zarcls1  31341  zartopn  31347  zarcmplem  31353