Theorem dochexmidlem8 40326

Description: Lemma for dochexmid 40327. The contradiction of dochexmidlem6 40324 and dochexmidlem7 40325 shows that there can be no atom 𝑝 that is not in 𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋), which is therefore the whole atom space. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochexmidlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochexmidlem1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmidlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmidlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochexmidlem1.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochexmidlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dochexmidlem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dochexmidlem1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochexmidlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochexmidlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dochexmidlem8.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochexmidlem8.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ { 0 })
dochexmidlem8.c	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dochexmidlem8	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)

Proof of Theorem dochexmidlem8

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nonconne 2952	. 2 ⊢ ¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)
2		dochexmidlem1.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dochexmidlem1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochexmidlem1.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5	2, 3, 4	dvhlmod 39969	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
6		dochexmidlem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
7		dochexmidlem1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		dochexmidlem1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
9	7, 8	lssss 20539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
10	6, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
11		dochexmidlem1.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
12	2, 3, 7, 8, 11	dochlss 40213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)
13	4, 10, 12	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)
14		dochexmidlem1.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
15	8, 14	lsmcl 20686	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ∈ 𝑆)
16	5, 6, 13, 15	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ∈ 𝑆)
17	7, 8	lssss 20539	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ∈ 𝑆 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
19		dochexmidlem1.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
20	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉)) → 𝑈 ∈ LMod)
21	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉)) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ∈ 𝑆)
22	7, 8	lss1 20541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
23	5, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑆)
24	23	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝑆)
25		df-pss 3966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉))
26	25	biimpri 227	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊊ 𝑉)
27	26	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉)) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊊ 𝑉)
28	8, 19, 20, 21, 24, 27	lpssat 37871	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))))
29	28	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)))))
30		dochexmidlem1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
31	4	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
32	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝑆)
33		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
34		dochexmidlem8.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
35		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ⊕ 𝑝) = (𝑋 ⊕ 𝑝)
36		dochexmidlem8.xn	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ { 0 })
37	36	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑋 ≠ { 0 })
38		dochexmidlem8.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
39	38	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
40		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)))
41	2, 11, 3, 7, 8, 30, 14, 19, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 40	dochexmidlem6 40324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑋 ⊕ 𝑝) = 𝑋)
42	2, 11, 3, 7, 8, 30, 14, 19, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 40	dochexmidlem7 40325	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑋 ⊕ 𝑝) ≠ 𝑋)
43	41, 42	pm2.21ddne 3026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))
44	43	3adant3l 1180	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)))) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))
45	44	rexlimdv3a 3159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
46	29, 45	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
47	18, 46	mpand 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉 → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
48	47	necon1bd 2958	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))
49	1, 48	mpi 20	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3947   ⊊ wpss 3948  {csn 4627  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  LSSumclsm 19496  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  LSAtomsclsa 37832  HLchlt 38208  LHypclh 38843  DVecHcdvh 39937  ocHcoch 40206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37811

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lsatoms 37834  df-lcv 37877  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tgrp 39602  df-tendo 39614  df-edring 39616  df-dveca 39862  df-disoa 39888  df-dvech 39938  df-dib 39998  df-dic 40032  df-dih 40088  df-doch 40207  df-djh 40254

This theorem is referenced by:  dochexmid  40327