Theorem dochexmidlem8 40877

Description: Lemma for dochexmid 40878. The contradiction of dochexmidlem6 40875 and dochexmidlem7 40876 shows that there can be no atom 𝑝 that is not in 𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋), which is therefore the whole atom space. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochexmidlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochexmidlem1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmidlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmidlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochexmidlem1.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochexmidlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dochexmidlem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dochexmidlem1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochexmidlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochexmidlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dochexmidlem8.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochexmidlem8.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ { 0 })
dochexmidlem8.c	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dochexmidlem8	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)

Proof of Theorem dochexmidlem8

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nonconne 2947	. 2 ⊢ ¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)
2		dochexmidlem1.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dochexmidlem1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochexmidlem1.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5	2, 3, 4	dvhlmod 40520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
6		dochexmidlem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
7		dochexmidlem1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		dochexmidlem1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
9	7, 8	lssss 20809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
10	6, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
11		dochexmidlem1.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
12	2, 3, 7, 8, 11	dochlss 40764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)
13	4, 10, 12	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)
14		dochexmidlem1.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
15	8, 14	lsmcl 20957	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ∈ 𝑆)
16	5, 6, 13, 15	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ∈ 𝑆)
17	7, 8	lssss 20809	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ∈ 𝑆 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
19		dochexmidlem1.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
20	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉)) → 𝑈 ∈ LMod)
21	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉)) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ∈ 𝑆)
22	7, 8	lss1 20811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
23	5, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑆)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝑆)
25		df-pss 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉))
26	25	biimpri 227	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊊ 𝑉)
27	26	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉)) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊊ 𝑉)
28	8, 19, 20, 21, 24, 27	lpssat 38422	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))))
29	28	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)))))
30		dochexmidlem1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
31	4	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
32	6	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝑆)
33		simp2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
34		dochexmidlem8.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
35		eqid 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ⊕ 𝑝) = (𝑋 ⊕ 𝑝)
36		dochexmidlem8.xn	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ { 0 })
37	36	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑋 ≠ { 0 })
38		dochexmidlem8.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
39	38	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
40		simp3 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)))
41	2, 11, 3, 7, 8, 30, 14, 19, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 40	dochexmidlem6 40875	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑋 ⊕ 𝑝) = 𝑋)
42	2, 11, 3, 7, 8, 30, 14, 19, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 40	dochexmidlem7 40876	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑋 ⊕ 𝑝) ≠ 𝑋)
43	41, 42	pm2.21ddne 3021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))
44	43	3adant3l 1178	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)))) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))
45	44	rexlimdv3a 3154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
46	29, 45	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
47	18, 46	mpand 694	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉 → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
48	47	necon1bd 2953	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))
49	1, 48	mpi 20	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3944   ⊊ wpss 3945  {csn 4624  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  0_gc0g 17412  LSSumclsm 19580  LModclmod 20732  LSubSpclss 20804  LSpanclspn 20844  LSAtomsclsa 38383  HLchlt 38759  LHypclh 39394  DVecHcdvh 40488  ocHcoch 40757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-riotaBAD 38362

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-0g 17414  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-p0 18408  df-p1 18409  df-lat 18415  df-clat 18482  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-cntz 19259  df-oppg 19288  df-lsm 19582  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-lvec 20977  df-lsatoms 38385  df-lcv 38428  df-oposet 38585  df-ol 38587  df-oml 38588  df-covers 38675  df-ats 38676  df-atl 38707  df-cvlat 38731  df-hlat 38760  df-llines 38908  df-lplanes 38909  df-lvols 38910  df-lines 38911  df-psubsp 38913  df-pmap 38914  df-padd 39206  df-lhyp 39398  df-laut 39399  df-ldil 39514  df-ltrn 39515  df-trl 39569  df-tgrp 40153  df-tendo 40165  df-edring 40167  df-dveca 40413  df-disoa 40439  df-dvech 40489  df-dib 40549  df-dic 40583  df-dih 40639  df-doch 40758  df-djh 40805

This theorem is referenced by:  dochexmid  40878