Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochexmidlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochexmidlem8 37355
Description: Lemma for dochexmid 37356. The contradiction of dochexmidlem6 37353 and dochexmidlem7 37354 shows that there can be no atom 𝑝 that is not in 𝑋 + ( 𝑋), which is therefore the whole atom space. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochexmidlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochexmidlem1.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmidlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmidlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochexmidlem1.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochexmidlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dochexmidlem1.p = (LSSum‘𝑈)
dochexmidlem1.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochexmidlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochexmidlem1.x (𝜑𝑋𝑆)
dochexmidlem8.z 0 = (0g𝑈)
dochexmidlem8.xn (𝜑𝑋 ≠ { 0 })
dochexmidlem8.c (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dochexmidlem8 (𝜑 → (𝑋 ( 𝑋)) = 𝑉)

Proof of Theorem dochexmidlem8
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nonconne 2949 . 2 ¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)
2 dochexmidlem1.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 dochexmidlem1.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 dochexmidlem1.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
52, 3, 4dvhlmod 36998 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
6 dochexmidlem1.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑆)
7 dochexmidlem1.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 dochexmidlem1.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
97, 8lssss 19206 . . . . . . . 8 (𝑋𝑆𝑋𝑉)
106, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
11 dochexmidlem1.o . . . . . . . 8 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
122, 3, 7, 8, 11dochlss 37242 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) ∈ 𝑆)
134, 10, 12syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ( 𝑋) ∈ 𝑆)
14 dochexmidlem1.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝑈)
158, 14lsmcl 19355 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝑆) → (𝑋 ( 𝑋)) ∈ 𝑆)
165, 6, 13, 15syl3anc 1490 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ( 𝑋)) ∈ 𝑆)
177, 8lssss 19206 . . . . 5 ((𝑋 ( 𝑋)) ∈ 𝑆 → (𝑋 ( 𝑋)) ⊆ 𝑉)
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ( 𝑋)) ⊆ 𝑉)
19 dochexmidlem1.a . . . . . . 7 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
205adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑋 ( 𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ( 𝑋)) ≠ 𝑉)) → 𝑈 ∈ LMod)
2116adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑋 ( 𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ( 𝑋)) ≠ 𝑉)) → (𝑋 ( 𝑋)) ∈ 𝑆)
227, 8lss1 19208 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LMod → 𝑉𝑆)
235, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉𝑆)
2423adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑋 ( 𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ( 𝑋)) ≠ 𝑉)) → 𝑉𝑆)
25 df-pss 3748 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ( 𝑋)) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑋 ( 𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ( 𝑋)) ≠ 𝑉))
2625biimpri 219 . . . . . . . 8 (((𝑋 ( 𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ( 𝑋)) ≠ 𝑉) → (𝑋 ( 𝑋)) ⊊ 𝑉)
2726adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑋 ( 𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ( 𝑋)) ≠ 𝑉)) → (𝑋 ( 𝑋)) ⊊ 𝑉)
288, 19, 20, 21, 24, 27lpssat 34901 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑋 ( 𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ( 𝑋)) ≠ 𝑉)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ( 𝑋))))
2928ex 401 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 ( 𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ( 𝑋)) ≠ 𝑉) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ( 𝑋)))))
30 dochexmidlem1.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3143ad2ant1 1163 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ( 𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3263ad2ant1 1163 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ( 𝑋))) → 𝑋𝑆)
33 simp2 1167 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ( 𝑋))) → 𝑝𝐴)
34 dochexmidlem8.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑈)
35 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑋 𝑝) = (𝑋 𝑝)
36 dochexmidlem8.xn . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≠ { 0 })
37363ad2ant1 1163 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ( 𝑋))) → 𝑋 ≠ { 0 })
38 dochexmidlem8.c . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
39383ad2ant1 1163 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ( 𝑋))) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
40 simp3 1168 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ( 𝑋))) → ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ( 𝑋)))
412, 11, 3, 7, 8, 30, 14, 19, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 40dochexmidlem6 37353 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ( 𝑋))) → (𝑋 𝑝) = 𝑋)
422, 11, 3, 7, 8, 30, 14, 19, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 40dochexmidlem7 37354 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ( 𝑋))) → (𝑋 𝑝) ≠ 𝑋)
4341, 42pm2.21ddne 3021 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ( 𝑋))) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))
44433adant3l 1229 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ( 𝑋)))) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))
4544rexlimdv3a 3180 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑝𝐴 (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝑋 ( 𝑋))) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
4629, 45syld 47 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 ( 𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ( 𝑋)) ≠ 𝑉) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
4718, 46mpand 686 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 ( 𝑋)) ≠ 𝑉 → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
4847necon1bd 2955 . 2 (𝜑 → (¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋) → (𝑋 ( 𝑋)) = 𝑉))
491, 48mpi 20 1 (𝜑 → (𝑋 ( 𝑋)) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  wss 3732  wpss 3733  {csn 4334  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16132  0gc0g 16368  LSSumclsm 18315  LModclmod 19132  LSubSpclss 19201  LSpanclspn 19243  LSAtomsclsa 34862  HLchlt 35238  LHypclh 35872  DVecHcdvh 36966  ocHcoch 37235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-riotaBAD 34841
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-undef 7602  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-0g 16370  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-proset 17196  df-poset 17214  df-plt 17226  df-lub 17242  df-glb 17243  df-join 17244  df-meet 17245  df-p0 17307  df-p1 17308  df-lat 17314  df-clat 17376  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-subg 17857  df-cntz 18015  df-oppg 18041  df-lsm 18317  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-drng 19018  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-lvec 19375  df-lsatoms 34864  df-lcv 34907  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-covers 35154  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-llines 35386  df-lplanes 35387  df-lvols 35388  df-lines 35389  df-psubsp 35391  df-pmap 35392  df-padd 35684  df-lhyp 35876  df-laut 35877  df-ldil 35992  df-ltrn 35993  df-trl 36047  df-tgrp 36631  df-tendo 36643  df-edring 36645  df-dveca 36891  df-disoa 36917  df-dvech 36967  df-dib 37027  df-dic 37061  df-dih 37117  df-doch 37236  df-djh 37283
This theorem is referenced by:  dochexmid  37356
  Copyright terms: Public domain W3C validator