Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspf 19739
 Description: The span operator on a left module maps subsets to subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspf (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 𝑉𝑆)

Proof of Theorem lspf
Dummy variables 𝑠 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspval.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspval.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lspval.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
41, 2, 3lspfval 19738 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑝𝑆𝑠𝑝}))
5 simpl 486 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
6 ssrab2 4007 . . . 4 {𝑝𝑆𝑠𝑝} ⊆ 𝑆
76a1i 11 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → {𝑝𝑆𝑠𝑝} ⊆ 𝑆)
81, 2lss1 19703 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑆)
9 elpwi 4506 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉𝑠𝑉)
10 sseq2 3941 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑉 → (𝑠𝑝𝑠𝑉))
1110rspcev 3571 . . . . 5 ((𝑉𝑆𝑠𝑉) → ∃𝑝𝑆 𝑠𝑝)
128, 9, 11syl2an 598 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → ∃𝑝𝑆 𝑠𝑝)
13 rabn0 4293 . . . 4 ({𝑝𝑆𝑠𝑝} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝𝑆 𝑠𝑝)
1412, 13sylibr 237 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → {𝑝𝑆𝑠𝑝} ≠ ∅)
152lssintcl 19729 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑝𝑆𝑠𝑝} ⊆ 𝑆 ∧ {𝑝𝑆𝑠𝑝} ≠ ∅) → {𝑝𝑆𝑠𝑝} ∈ 𝑆)
165, 7, 14, 15syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → {𝑝𝑆𝑠𝑝} ∈ 𝑆)
174, 16fmpt3d 6857 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 𝑉𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  {crab 3110   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497  ∩ cint 4838  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737 This theorem is referenced by:  lspcl  19741  islmodfg  40011
 Copyright terms: Public domain W3C validator