MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspf 20851
Description: The span function on a left module maps subsets to subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspval.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspval.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspf (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑁:𝒫 π‘‰βŸΆπ‘†)

Proof of Theorem lspf
Dummy variables 𝑠 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspval.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspval.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 lspval.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
41, 2, 3lspfval 20850 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑁 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝}))
5 simpl 482 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 ssrab2 4073 . . . 4 {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝} βŠ† 𝑆
76a1i 11 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) β†’ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝} βŠ† 𝑆)
81, 2lss1 20815 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑉 ∈ 𝑆)
9 elpwi 4605 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 β†’ 𝑠 βŠ† 𝑉)
10 sseq2 4004 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑉 β†’ (𝑠 βŠ† 𝑝 ↔ 𝑠 βŠ† 𝑉))
1110rspcev 3608 . . . . 5 ((𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑉) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑆 𝑠 βŠ† 𝑝)
128, 9, 11syl2an 595 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑆 𝑠 βŠ† 𝑝)
13 rabn0 4381 . . . 4 ({𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑆 𝑠 βŠ† 𝑝)
1412, 13sylibr 233 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) β†’ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝} β‰  βˆ…)
152lssintcl 20841 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝} βŠ† 𝑆 ∧ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝} β‰  βˆ…) β†’ ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝} ∈ 𝑆)
165, 7, 14, 15syl3anc 1369 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) β†’ ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝} ∈ 𝑆)
174, 16fmpt3d 7120 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑁:𝒫 π‘‰βŸΆπ‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2936  βˆƒwrex 3066  {crab 3428   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4318  π’« cpw 4598  βˆ© cint 4944  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  Basecbs 17173  LModclmod 20736  LSubSpclss 20808  LSpanclspn 20848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-mgp 20068  df-ur 20115  df-ring 20168  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849
This theorem is referenced by:  lspcl  20853  islmodfg  42487
  Copyright terms: Public domain W3C validator