Theorem lspf 19369

Description: The span operator on a left module maps subsets to subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspf	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 𝑉⟶𝑆)

Proof of Theorem lspf

Dummy variables 𝑠 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 476	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		ssrab2 3908	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ⊆ 𝑆
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ⊆ 𝑆)
4		lspval.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lspval.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6	4, 5	lss1 19331	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
7		elpwi 4389	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 → 𝑠 ⊆ 𝑉)
8		sseq2 3846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑉 → (𝑠 ⊆ 𝑝 ↔ 𝑠 ⊆ 𝑉))
9	8	rspcev 3511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝑆 𝑠 ⊆ 𝑝)
10	6, 7, 9	syl2an 589	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝑆 𝑠 ⊆ 𝑝)
11		rabn0 4188	. . . . 5 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑆 𝑠 ⊆ 𝑝)
12	10, 11	sylibr 226	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ≠ ∅)
13	5	lssintcl 19359	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ⊆ 𝑆 ∧ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ≠ ∅) → ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ∈ 𝑆)
14	1, 3, 12, 13	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ∈ 𝑆)
15	14	fmpttd 6649	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝}):𝒫 𝑉⟶𝑆)
16		lspval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17	4, 5, 16	lspfval 19368	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝}))
18	17	feq1d 6276	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁:𝒫 𝑉⟶𝑆 ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝}):𝒫 𝑉⟶𝑆))
19	15, 18	mpbird 249	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 𝑉⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∃wrex 3091  {crab 3094   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  𝒫 cpw 4379  ∩ cint 4710   ↦ cmpt 4965  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  Basecbs 16255  LModclmod 19255  LSubSpclss 19324  LSpanclspn 19366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367

This theorem is referenced by:  lspcl  19371  islmodfg  38598