MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspf 20577
Description: The span operator on a left module maps subsets to subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspval.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspval.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspf (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑁:𝒫 π‘‰βŸΆπ‘†)

Proof of Theorem lspf
Dummy variables 𝑠 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspval.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspval.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 lspval.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
41, 2, 3lspfval 20576 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑁 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝}))
5 simpl 483 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 ssrab2 4076 . . . 4 {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝} βŠ† 𝑆
76a1i 11 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) β†’ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝} βŠ† 𝑆)
81, 2lss1 20541 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑉 ∈ 𝑆)
9 elpwi 4608 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 β†’ 𝑠 βŠ† 𝑉)
10 sseq2 4007 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑉 β†’ (𝑠 βŠ† 𝑝 ↔ 𝑠 βŠ† 𝑉))
1110rspcev 3612 . . . . 5 ((𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑉) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑆 𝑠 βŠ† 𝑝)
128, 9, 11syl2an 596 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑆 𝑠 βŠ† 𝑝)
13 rabn0 4384 . . . 4 ({𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑆 𝑠 βŠ† 𝑝)
1412, 13sylibr 233 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) β†’ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝} β‰  βˆ…)
152lssintcl 20567 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝} βŠ† 𝑆 ∧ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝} β‰  βˆ…) β†’ ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝} ∈ 𝑆)
165, 7, 14, 15syl3anc 1371 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) β†’ ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑝} ∈ 𝑆)
174, 16fmpt3d 7112 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑁:𝒫 π‘‰βŸΆπ‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆ© cint 4949  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575
This theorem is referenced by:  lspcl  20579  islmodfg  41796
  Copyright terms: Public domain W3C validator