Theorem lspf 20577

Description: The span operator on a left module maps subsets to subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspf	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 𝑉⟶𝑆)

Proof of Theorem lspf

Dummy variables 𝑠 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	lspfval 20576	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝}))
5		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
6		ssrab2 4076	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ⊆ 𝑆
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ⊆ 𝑆)
8	1, 2	lss1 20541	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
9		elpwi 4608	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 → 𝑠 ⊆ 𝑉)
10		sseq2 4007	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑉 → (𝑠 ⊆ 𝑝 ↔ 𝑠 ⊆ 𝑉))
11	10	rspcev 3612	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝑆 𝑠 ⊆ 𝑝)
12	8, 9, 11	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝑆 𝑠 ⊆ 𝑝)
13		rabn0 4384	. . . 4 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑆 𝑠 ⊆ 𝑝)
14	12, 13	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ≠ ∅)
15	2	lssintcl 20567	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ⊆ 𝑆 ∧ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ≠ ∅) → ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ∈ 𝑆)
16	5, 7, 14, 15	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ∈ 𝑆)
17	4, 16	fmpt3d 7112	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 𝑉⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  {crab 3432   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  𝒫 cpw 4601  ∩ cint 4949  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575

This theorem is referenced by:  lspcl  20579  islmodfg  41796