Theorem lmhmrnlss 21318

Description: The range of a homomorphism is a submodule. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmrnlss	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ran 𝐹 ∈ (LSubSp‘𝑇))

Proof of Theorem lmhmrnlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3	1, 2	lmhmf 21302	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
4		ffn 6707	. . 3 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) → 𝐹 Fn (Base‘𝑆))
5		fnima 6667	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝑆) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = ran 𝐹)
6	3, 4, 5	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = ran 𝐹)
7		lmhmlmod1 21301	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
9	1, 8	lss1 21206	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ LMod → (Base‘𝑆) ∈ (LSubSp‘𝑆))
10	7, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Base‘𝑆) ∈ (LSubSp‘𝑆))
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
12	8, 11	lmhmima 21315	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (Base‘𝑆) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
13	10, 12	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
14	6, 13	eqeltrrd 2862	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ran 𝐹 ∈ (LSubSp‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ran crn 5652   “ cima 5654   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  LModclmod 21128  LSubSpclss 21199   LMHom clmhm 21287

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-subg 19326  df-ghm 19421  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-ring 20454  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lmhm 21290

This theorem is used by:  imlmhm  34246  dimkerim  34252  lvecendof1f1o  34258  lmhmfgsplit  44072  lmhmlnmsplit  44073