Theorem lmhmrnlss 21152

Description: The range of a homomorphism is a submodule. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmrnlss	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ran 𝐹 ∈ (LSubSp‘𝑇))

Proof of Theorem lmhmrnlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3	1, 2	lmhmf 21136	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
4		ffn 6707	. . 3 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) → 𝐹 Fn (Base‘𝑆))
5		fnima 6667	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝑆) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = ran 𝐹)
6	3, 4, 5	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = ran 𝐹)
7		lmhmlmod1 21135	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
9	1, 8	lss1 21040	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ LMod → (Base‘𝑆) ∈ (LSubSp‘𝑆))
10	7, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Base‘𝑆) ∈ (LSubSp‘𝑆))
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
12	8, 11	lmhmima 21149	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (Base‘𝑆) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
13	10, 12	mpdan 699	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
14	6, 13	eqeltrrd 2864	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ran 𝐹 ∈ (LSubSp‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ran crn 5664   “ cima 5666   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  LModclmod 20962  LSubSpclss 21033   LMHom clmhm 21121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-mgp 20218  df-ur 20265  df-ring 20318  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lmhm 21124

This theorem is referenced by:  imlmhm  33992  dimkerim  33998  lvecendof1f1o  34004  lmhmfgsplit  43796  lmhmlnmsplit  43797