Theorem lmhmrnlss 20929

Description: The range of a homomorphism is a submodule. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmrnlss	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ran 𝐹 ∈ (LSubSp‘𝑇))

Proof of Theorem lmhmrnlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3	1, 2	lmhmf 20913	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
4		ffn 6717	. . 3 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) → 𝐹 Fn (Base‘𝑆))
5		fnima 6680	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝑆) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = ran 𝐹)
6	3, 4, 5	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = ran 𝐹)
7		lmhmlmod1 20912	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
8		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
9	1, 8	lss1 20816	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ LMod → (Base‘𝑆) ∈ (LSubSp‘𝑆))
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Base‘𝑆) ∈ (LSubSp‘𝑆))
11		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
12	8, 11	lmhmima 20926	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (Base‘𝑆) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
13	10, 12	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
14	6, 13	eqeltrrd 2830	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ran 𝐹 ∈ (LSubSp‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ran crn 5674   “ cima 5676   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174  LModclmod 20737  LSubSpclss 20809   LMHom clmhm 20898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-subg 19072  df-ghm 19162  df-mgp 20069  df-ur 20116  df-ring 20169  df-lmod 20739  df-lss 20810  df-lmhm 20901

This theorem is referenced by:  imlmhm  33310  dimkerim  33316  lmhmfgsplit  42501  lmhmlnmsplit  42502