Theorem lmhmrnlss 20988

Description: The range of a homomorphism is a submodule. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmrnlss	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ran 𝐹 ∈ (LSubSp‘𝑇))

Proof of Theorem lmhmrnlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3	1, 2	lmhmf 20972	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
4		ffn 6658	. . 3 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) → 𝐹 Fn (Base‘𝑆))
5		fnima 6618	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝑆) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = ran 𝐹)
6	3, 4, 5	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = ran 𝐹)
7		lmhmlmod1 20971	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
8		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
9	1, 8	lss1 20875	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ LMod → (Base‘𝑆) ∈ (LSubSp‘𝑆))
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Base‘𝑆) ∈ (LSubSp‘𝑆))
11		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
12	8, 11	lmhmima 20985	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (Base‘𝑆) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
13	10, 12	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
14	6, 13	eqeltrrd 2834	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ran 𝐹 ∈ (LSubSp‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ran crn 5622   “ cima 5624   Fn wfn 6483  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Basecbs 17124  LModclmod 20797  LSubSpclss 20868   LMHom clmhm 20957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-map 8760  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-0g 17349  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-mgp 20063  df-ur 20104  df-ring 20157  df-lmod 20799  df-lss 20869  df-lmhm 20960

This theorem is referenced by:  imlmhm  33657  dimkerim  33663  lvecendof1f1o  33669  lmhmfgsplit  43206  lmhmlnmsplit  43207