Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem4N 38981
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 19. (T* =) (Ft)* = Gs. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem1.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (𝜑𝑣𝑉)
hdmaprnlem1.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (𝜑𝑢𝑉)
hdmaprnlem1.un (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmaprnlem1.a = (+g𝐶)
hdmaprnlem1.t2 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem4N (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝐿‘{𝑠}))

Proof of Theorem hdmaprnlem4N
StepHypRef Expression
1 eqid 2819 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
2 hdmaprnlem1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3 hdmaprnlem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 hdmaprnlem1.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 hdmaprnlem1.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 38238 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6 (𝜑𝑣𝑉)
8 hdmaprnlem1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
98, 1, 2lspsncl 19741 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
106, 7, 9syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
11 hdmaprnlem1.t2 . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
1211eldifad 3946 . . . . 5 (𝜑𝑡 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
131, 2, 6, 10, 12lspsnel5a 19760 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑡}) ⊆ (𝑁‘{𝑣}))
14 hdmaprnlem1.o . . . . 5 0 = (0g𝑈)
153, 4, 5dvhlvec 38237 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
168, 1lss1 19702 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LMod → 𝑉 ∈ (LSubSp‘𝑈))
176, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ (LSubSp‘𝑈))
181, 2, 6, 17, 7lspsnel5a 19760 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑉)
1918ssdifd 4115 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
2019, 11sseldd 3966 . . . . 5 (𝜑𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
218, 14, 2, 15, 20, 7lspsncmp 19880 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑡}) ⊆ (𝑁‘{𝑣}) ↔ (𝑁‘{𝑡}) = (𝑁‘{𝑣})))
2213, 21mpbid 234 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑡}) = (𝑁‘{𝑣}))
2322fveq2d 6667 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})))
24 hdmaprnlem1.e . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
2523, 24eqtrd 2854 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝐿‘{𝑠}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  cdif 3931  wss 3934  {csn 4559  cfv 6348  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  LModclmod 19626  LSubSpclss 19695  LSpanclspn 19735  HLchlt 36478  LHypclh 37112  DVecHcdvh 38206  LCDualclcd 38714  mapdcmpd 38752  HDMapchdma 38920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36081
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-llines 36626  df-lplanes 36627  df-lvols 36628  df-lines 36629  df-psubsp 36631  df-pmap 36632  df-padd 36924  df-lhyp 37116  df-laut 37117  df-ldil 37232  df-ltrn 37233  df-trl 37287  df-tendo 37883  df-edring 37885  df-dvech 38207
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem8N  38984  hdmaprnlem9N  38985
  Copyright terms: Public domain W3C validator