Theorem hdmaprnlem4N 40712

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 19. (T* =) (Ft)* = Gs. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaprnlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmaprnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmaprnlem1.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
hdmaprnlem1.t2	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
hdmaprnlem4N	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝐿‘{𝑠}))

Proof of Theorem hdmaprnlem4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
2		hdmaprnlem1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3		hdmaprnlem1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		hdmaprnlem1.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmaprnlem1.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	3, 4, 5	dvhlmod 39969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		hdmaprnlem1.ve	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
8		hdmaprnlem1.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9	8, 1, 2	lspsncl 20580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
10	6, 7, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
11		hdmaprnlem1.t2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
12	11	eldifad 3959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
13	1, 2, 6, 10, 12	lspsnel5a 20599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑡}) ⊆ (𝑁‘{𝑣}))
14		hdmaprnlem1.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
15	3, 4, 5	dvhlvec 39968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
16	8, 1	lss1 20541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑉 ∈ (LSubSp‘𝑈))
17	6, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LSubSp‘𝑈))
18	1, 2, 6, 17, 7	lspsnel5a 20599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑉)
19	18	ssdifd 4139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
20	19, 11	sseldd 3982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	8, 14, 2, 15, 20, 7	lspsncmp 20721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑡}) ⊆ (𝑁‘{𝑣}) ↔ (𝑁‘{𝑡}) = (𝑁‘{𝑣})))
22	13, 21	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑡}) = (𝑁‘{𝑣}))
23	22	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})))
24		hdmaprnlem1.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
25	23, 24	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝐿‘{𝑠}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  {csn 4627  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  HLchlt 38208  LHypclh 38843  DVecHcdvh 39937  LCDualclcd 40445  mapdcmpd 40483  HDMapchdma 40651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37811

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tendo 39614  df-edring 39616  df-dvech 39938

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem8N  40715  hdmaprnlem9N  40716