Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem4N 40319
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 19. (T* =) (Ft)* = Gs. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmaprnlem1.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (πΏβ€˜{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑒 ∈ (π‘β€˜{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.t2 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }))
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem4N (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑑})) = (πΏβ€˜{𝑠}))

Proof of Theorem hdmaprnlem4N
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
2 hdmaprnlem1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
3 hdmaprnlem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 hdmaprnlem1.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 hdmaprnlem1.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 39576 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
7 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
8 hdmaprnlem1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
98, 1, 2lspsncl 20441 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑣}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
106, 7, 9syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑣}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
11 hdmaprnlem1.t2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }))
1211eldifad 3923 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ (π‘β€˜{𝑣}))
131, 2, 6, 10, 12lspsnel5a 20460 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑑}) βŠ† (π‘β€˜{𝑣}))
14 hdmaprnlem1.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
153, 4, 5dvhlvec 39575 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
168, 1lss1 20402 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑉 ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
176, 16syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
181, 2, 6, 17, 7lspsnel5a 20460 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑣}) βŠ† 𝑉)
1918ssdifd 4101 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }) βŠ† (𝑉 βˆ– { 0 }))
2019, 11sseldd 3946 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
218, 14, 2, 15, 20, 7lspsncmp 20580 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑑}) βŠ† (π‘β€˜{𝑣}) ↔ (π‘β€˜{𝑑}) = (π‘β€˜{𝑣})))
2213, 21mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑑}) = (π‘β€˜{𝑣}))
2322fveq2d 6847 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑑})) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})))
24 hdmaprnlem1.e . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (πΏβ€˜{𝑠}))
2523, 24eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑑})) = (πΏβ€˜{𝑠}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  {csn 4587  β€˜cfv 6497  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  0gc0g 17322  LModclmod 20325  LSubSpclss 20395  LSpanclspn 20435  HLchlt 37815  LHypclh 38450  DVecHcdvh 39544  LCDualclcd 40052  mapdcmpd 40090  HDMapchdma 40258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-undef 8205  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-0g 17324  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-drng 20188  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-lvec 20567  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-tendo 39221  df-edring 39223  df-dvech 39545
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem8N  40322  hdmaprnlem9N  40323
  Copyright terms: Public domain W3C validator