Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem4N 39479
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 19. (T* =) (Ft)* = Gs. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem1.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (𝜑𝑣𝑉)
hdmaprnlem1.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (𝜑𝑢𝑉)
hdmaprnlem1.un (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmaprnlem1.a = (+g𝐶)
hdmaprnlem1.t2 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem4N (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝐿‘{𝑠}))

Proof of Theorem hdmaprnlem4N
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
2 hdmaprnlem1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3 hdmaprnlem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 hdmaprnlem1.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 hdmaprnlem1.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 38736 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6 (𝜑𝑣𝑉)
8 hdmaprnlem1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
98, 1, 2lspsncl 19861 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
106, 7, 9syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
11 hdmaprnlem1.t2 . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
1211eldifad 3853 . . . . 5 (𝜑𝑡 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
131, 2, 6, 10, 12lspsnel5a 19880 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑡}) ⊆ (𝑁‘{𝑣}))
14 hdmaprnlem1.o . . . . 5 0 = (0g𝑈)
153, 4, 5dvhlvec 38735 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
168, 1lss1 19822 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LMod → 𝑉 ∈ (LSubSp‘𝑈))
176, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ (LSubSp‘𝑈))
181, 2, 6, 17, 7lspsnel5a 19880 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑉)
1918ssdifd 4029 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
2019, 11sseldd 3876 . . . . 5 (𝜑𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
218, 14, 2, 15, 20, 7lspsncmp 20000 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑡}) ⊆ (𝑁‘{𝑣}) ↔ (𝑁‘{𝑡}) = (𝑁‘{𝑣})))
2213, 21mpbid 235 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑡}) = (𝑁‘{𝑣}))
2322fveq2d 6672 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})))
24 hdmaprnlem1.e . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
2523, 24eqtrd 2773 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝐿‘{𝑠}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  cdif 3838  wss 3841  {csn 4513  cfv 6333  Basecbs 16579  +gcplusg 16661  0gc0g 16809  LModclmod 19746  LSubSpclss 19815  LSpanclspn 19855  HLchlt 36976  LHypclh 37610  DVecHcdvh 38704  LCDualclcd 39212  mapdcmpd 39250  HDMapchdma 39418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-riotaBAD 36579
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-tpos 7914  df-undef 7961  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-0g 16811  df-proset 17647  df-poset 17665  df-plt 17677  df-lub 17693  df-glb 17694  df-join 17695  df-meet 17696  df-p0 17758  df-p1 17759  df-lat 17765  df-clat 17827  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-dvr 19548  df-drng 19616  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-lsp 19856  df-lvec 19987  df-oposet 36802  df-ol 36804  df-oml 36805  df-covers 36892  df-ats 36893  df-atl 36924  df-cvlat 36948  df-hlat 36977  df-llines 37124  df-lplanes 37125  df-lvols 37126  df-lines 37127  df-psubsp 37129  df-pmap 37130  df-padd 37422  df-lhyp 37614  df-laut 37615  df-ldil 37730  df-ltrn 37731  df-trl 37785  df-tendo 38381  df-edring 38383  df-dvech 38705
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem8N  39482  hdmaprnlem9N  39483
  Copyright terms: Public domain W3C validator