Theorem lssats2 20990

Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssats2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssats2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lssats2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
2		lssats2.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
4		lssats2.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
5		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		lssats2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	5, 6	lssel 20927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
8	4, 7	sylan 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9		lssats2.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 9	lspsnid 20983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
11	3, 8, 10	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
12		sneq 4565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
13	12	fveq2d 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{𝑦}))
14	13	eleq2d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦})))
15	14	rspcev 3560	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦})) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
16	1, 11, 15	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
17	16	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥})))
18	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
19	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
20		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
21	6, 9, 18, 19, 20	ellspsn5 20986	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
22	21	sseld 3914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝑈))
23	22	rexlimdva 3140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝑈))
24	17, 23	impbid 213	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥})))
25		eliun 4925	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
26	24, 25	bitr4di 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥})))
27	26	eqrdv 2737	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  {csn 4555  ∪ ciun 4921  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  LModclmod 20850  LSubSpclss 20921  LSpanclspn 20961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962

This theorem is referenced by: (None)