MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssats2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssats2 20998
Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats2.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lssats2.u (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
lssats2 (𝜑𝑈 = 𝑥𝑈 (𝑁‘{𝑥}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑈) → 𝑦𝑈)
2 lssats2.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
32adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
4 lssats2.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑆)
5 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6 lssats2.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
75, 6lssel 20935 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑆𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
84, 7sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9 lssats2.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
105, 9lspsnid 20991 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
113, 8, 10syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
12 sneq 4636 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
1312fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{𝑦}))
1413eleq2d 2827 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦})))
1514rspcev 3622 . . . . . 6 ((𝑦𝑈𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦})) → ∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
161, 11, 15syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑈) → ∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
1716ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑈 → ∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥})))
182adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
194adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑈𝑆)
20 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
216, 9, 18, 19, 20ellspsn5 20994 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
2221sseld 3982 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) → 𝑦𝑈))
2322rexlimdva 3155 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) → 𝑦𝑈))
2417, 23impbid 212 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥})))
25 eliun 4995 . . 3 (𝑦 𝑥𝑈 (𝑁‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
2624, 25bitr4di 289 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑈𝑦 𝑥𝑈 (𝑁‘{𝑥})))
2726eqrdv 2735 1 (𝜑𝑈 = 𝑥𝑈 (𝑁‘{𝑥}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  {csn 4626   ciun 4991  cfv 6561  Basecbs 17247  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator