Theorem lssats2 20942

Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssats2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssats2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lssats2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
2		lssats2.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
4		lssats2.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
5		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		lssats2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	5, 6	lssel 20879	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
8	4, 7	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9		lssats2.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 9	lspsnid 20935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
11	3, 8, 10	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
12		sneq 4587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
13	12	fveq2d 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{𝑦}))
14	13	eleq2d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦})))
15	14	rspcev 3573	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦})) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
16	1, 11, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
17	16	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥})))
18	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
19	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
20		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
21	6, 9, 18, 19, 20	ellspsn5 20938	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
22	21	sseld 3929	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝑈))
23	22	rexlimdva 3134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝑈))
24	17, 23	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥})))
25		eliun 4947	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
26	24, 25	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥})))
27	26	eqrdv 2731	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057  {csn 4577  ∪ ciun 4943  ‘cfv 6489  Basecbs 17127  LModclmod 20802  LSubSpclss 20873  LSpanclspn 20913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-0g 17352  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914

This theorem is referenced by: (None)