MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssats2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssats2 21015
Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats2.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lssats2.u (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
lssats2 (𝜑𝑈 = 𝑥𝑈 (𝑁‘{𝑥}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑈) → 𝑦𝑈)
2 lssats2.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
32adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
4 lssats2.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑆)
5 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6 lssats2.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
75, 6lssel 20952 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑆𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
84, 7sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9 lssats2.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
105, 9lspsnid 21008 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
113, 8, 10syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
12 sneq 4640 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
1312fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{𝑦}))
1413eleq2d 2824 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦})))
1514rspcev 3621 . . . . . 6 ((𝑦𝑈𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦})) → ∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
161, 11, 15syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑈) → ∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
1716ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑈 → ∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥})))
182adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
194adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑈𝑆)
20 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
216, 9, 18, 19, 20ellspsn5 21011 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
2221sseld 3993 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) → 𝑦𝑈))
2322rexlimdva 3152 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) → 𝑦𝑈))
2417, 23impbid 212 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥})))
25 eliun 4999 . . 3 (𝑦 𝑥𝑈 (𝑁‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
2624, 25bitr4di 289 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑈𝑦 𝑥𝑈 (𝑁‘{𝑥})))
2726eqrdv 2732 1 (𝜑𝑈 = 𝑥𝑈 (𝑁‘{𝑥}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  {csn 4630   ciun 4995  cfv 6562  Basecbs 17244  LModclmod 20874  LSubSpclss 20946  LSpanclspn 20986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator