Theorem lspprvacl 19394

Description: The sum of two vectors belongs to their span. (Contributed by NM, 20-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprvacl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprvacl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lspprvacl.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprvacl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprvacl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprvacl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspprvacl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspprvacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprvacl.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspprvacl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2778	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4		lspprvacl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lspprvacl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		lspprvacl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7	2, 3, 4, 1, 5, 6	lspprcl 19373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	2, 4, 1, 5, 6	lspprid1 19392	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
9	2, 4, 1, 5, 6	lspprid2 19393	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
10		lspprvacl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
11	10, 3	lssvacl 19349	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
12	1, 7, 8, 9, 11	syl22anc 829	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {cpr 4400  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +_gcplusg 16338  LModclmod 19255  LSubSpclss 19324  LSpanclspn 19366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367

This theorem is referenced by:  mapdh6aN  37891  hdmap1l6a  37965  hdmap11lem1  37997