Theorem lspsnel5a 19768

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5a.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel5a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel5a.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnel5a.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspsnel5a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lspsnel5a	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspsnel5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5a.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
2		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		lspsnel5a.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspsnel5a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lspsnel5a.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspsnel5a.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3	lssel 19709	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
8	6, 1, 7	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
9	2, 3, 4, 5, 6, 8	lspsnel5 19767	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
10	1, 9	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  {csn 4567  ‘cfv 6355  Basecbs 16483  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LSpanclspn 19743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744

This theorem is referenced by:  lssats2  19772  lspsn  19774  lspsnvsi  19776  lsmelval2  19857  lspprabs  19867  lspvadd  19868  lspabs3  19893  lsmcv  19913  lspsnat  19917  lsppratlem6  19924  issubassa2  20121  lshpnel  36134  lsatel  36156  lsmsat  36159  lssatomic  36162  lssats  36163  lsat0cv  36184  dia2dimlem10  38224  dochsatshpb  38603  lclkrlem2f  38663  lcfrlem25  38718  lcfrlem35  38728  mapdval2N  38781  mapdrvallem2  38796  mapdpglem8  38830  mapdpglem13  38835  mapdindp0  38870  mapdh6aN  38886  mapdh8e  38935  mapdh9a  38940  hdmap1l6a  38960  hdmapval0  38984  hdmapval3lemN  38988  hdmap10lem  38990  hdmap11lem1  38992  hdmap11lem2  38993  hdmaprnlem4N  39004  hdmaprnlem3eN  39009