Theorem lspsnel5a 19761

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5a.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel5a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel5a.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnel5a.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspsnel5a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lspsnel5a	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspsnel5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5a.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
2		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		lspsnel5a.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspsnel5a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lspsnel5a.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspsnel5a.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3	lssel 19702	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
8	6, 1, 7	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
9	2, 3, 4, 5, 6, 8	lspsnel5 19760	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
10	1, 9	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737

This theorem is referenced by:  lssats2  19765  lspsn  19767  lspsnvsi  19769  lsmelval2  19850  lspprabs  19860  lspvadd  19861  lspabs3  19886  lsmcv  19906  lspsnat  19910  lsppratlem6  19917  issubassa2  20578  lshpnel  36279  lsatel  36301  lsmsat  36304  lssatomic  36307  lssats  36308  lsat0cv  36329  dia2dimlem10  38369  dochsatshpb  38748  lclkrlem2f  38808  lcfrlem25  38863  lcfrlem35  38873  mapdval2N  38926  mapdrvallem2  38941  mapdpglem8  38975  mapdpglem13  38980  mapdindp0  39015  mapdh6aN  39031  mapdh8e  39080  mapdh9a  39085  hdmap1l6a  39105  hdmapval0  39129  hdmapval3lemN  39133  hdmap10lem  39135  hdmap11lem1  39137  hdmap11lem2  39138  hdmaprnlem4N  39149  hdmaprnlem3eN  39154