Theorem lspsnel5a 19317

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5a.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel5a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel5a.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnel5a.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspsnel5a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lspsnel5a	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspsnel5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5a.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
2		eqid 2799	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		lspsnel5a.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspsnel5a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lspsnel5a.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspsnel5a.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3	lssel 19256	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
8	6, 1, 7	syl2anc 580	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
9	2, 3, 4, 5, 6, 8	lspsnel5 19316	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
10	1, 9	mpbid 224	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ⊆ wss 3769  {csn 4368  ‘cfv 6101  Basecbs 16184  LModclmod 19181  LSubSpclss 19250  LSpanclspn 19292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293

This theorem is referenced by:  lssats2  19321  lspsn  19323  lspsnvsi  19325  lsmelval2  19406  lspprabs  19416  lspvadd  19417  lspabs3  19442  lsmcv  19463  lspsnat  19467  lsppratlem6  19475  issubassa2  19668  lshpnel  35004  lsatel  35026  lsmsat  35029  lssatomic  35032  lssats  35033  lsat0cv  35054  dia2dimlem10  37094  dochsatshpb  37473  lclkrlem2f  37533  lcfrlem25  37588  lcfrlem35  37598  mapdval2N  37651  mapdrvallem2  37666  mapdpglem8  37700  mapdpglem13  37705  mapdindp0  37740  mapdh6aN  37756  mapdh8e  37805  mapdh9a  37810  hdmap1l6a  37830  hdmapval0  37854  hdmapval3lemN  37858  hdmap10lem  37860  hdmap11lem1  37862  hdmap11lem2  37863  hdmaprnlem4N  37874  hdmaprnlem3eN  37879