MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel5a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnel5a 20473
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5a.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspsnel5a.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspsnel5a.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lspsnel5a.a (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspsnel5a.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lspsnel5a (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)

Proof of Theorem lspsnel5a
StepHypRef Expression
1 lspsnel5a.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2 eqid 2737 . . 3 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
3 lspsnel5a.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
4 lspsnel5a.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 lspsnel5a.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 lspsnel5a.a . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
72, 3lssel 20414 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
86, 1, 7syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
92, 3, 4, 5, 6, 8lspsnel5 20472 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ))
101, 9mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3915  {csn 4591  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LSpanclspn 20448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449
This theorem is referenced by:  lssats2  20477  lspsn  20479  lspsnvsi  20481  lsmelval2  20562  lspprabs  20572  lspvadd  20573  lspabs3  20598  lsmcv  20618  lspsnat  20622  lsppratlem6  20629  issubassa2  21311  lshpnel  37474  lsatel  37496  lsmsat  37499  lssatomic  37502  lssats  37503  lsat0cv  37524  dia2dimlem10  39565  dochsatshpb  39944  lclkrlem2f  40004  lcfrlem25  40059  lcfrlem35  40069  mapdval2N  40122  mapdrvallem2  40137  mapdpglem8  40171  mapdpglem13  40176  mapdindp0  40211  mapdh6aN  40227  mapdh8e  40276  mapdh9a  40281  hdmap1l6a  40301  hdmapval0  40325  hdmapval3lemN  40329  hdmap10lem  40331  hdmap11lem1  40333  hdmap11lem2  40334  hdmaprnlem4N  40345  hdmaprnlem3eN  40350
  Copyright terms: Public domain W3C validator