MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ne0gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ne0gt0 10481
Description: A nonzero nonnegative number is positive. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
ne0gt0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem ne0gt0
StepHypRef Expression
1 0re 10378 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 lttri2 10459 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
31, 2mpan2 681 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
43adantr 474 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
5 lenlt 10455 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
61, 5mpan 680 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
76biimpa 470 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < 0)
8 biorf 923 . . 3 𝐴 < 0 → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
97, 8syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
104, 9bitr4d 274 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836  wcel 2106  wne 2968   class class class wbr 4886  cr 10271  0cc0 10272   < clt 10411  cle 10412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-addrcl 10333  ax-rnegex 10343  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417
This theorem is referenced by:  ne0gt0d  10513  hashneq0  13470  fvmptnn04ifb  21063  nmgt0  22842  mdegle0  24274  nvgt0  28101
  Copyright terms: Public domain W3C validator