Theorem dp2ltc 31063

Description: Comparing two decimal expansions (unequal higher places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2ltc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
dp2ltc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℝ+
dp2ltc.s	⊢ 𝐵 < ;10
dp2ltc.l	⊢ 𝐴 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dp2ltc	⊢ _𝐴𝐵 < _𝐶𝐷

Proof of Theorem dp2ltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp2ltc.s	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 < ;10
2		rpssre 12666	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
3		dp2lt.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
4	2, 3	sselii 3914	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5		10re 12385	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℝ
6		10pos 12383	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;10
7		elrp 12661	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 ∈ ℝ+ ↔ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10))
8	5, 6, 7	mpbir2an 707	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
9		divlt1lt 12728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10))
10	4, 8, 9	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10)
11	1, 10	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (𝐵 / ;10) < 1
12	5, 6	gt0ne0ii 11441	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ≠ 0
13	4, 5, 12	redivcli 11672	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
14		1re 10906	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		dp2lt.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
16	15	nn0rei 12174	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
17		ltadd2 11009	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1)))
18	13, 14, 16, 17	mp3an 1459	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1))
19	11, 18	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1)
20		dp2ltc.l	. . . . 5 ⊢ 𝐴 < 𝐶
21	15	nn0zi 12275	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
22		dp2ltc.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
23	22	nn0zi 12275	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
24		zltp1le 12300	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
25	21, 23, 24	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
26	20, 25	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶
27	16, 13	readdcli 10921	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ
28	16, 14	readdcli 10921	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℝ
29	22	nn0rei 12174	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
30	27, 28, 29	ltletri 11033	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < 𝐶)
31	19, 26, 30	mp2an 688	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < 𝐶
32		dp2ltc.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ+
33	32, 8	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+)
34		rpdivcl 12684	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → (𝐷 / ;10) ∈ ℝ+)
35	33, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐷 / ;10) ∈ ℝ+
36		ltaddrp 12696	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 / ;10) ∈ ℝ+) → 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / ;10)))
37	29, 35, 36	mp2an 688	. . 3 ⊢ 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / ;10))
38	2, 32	sselii 3914	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
39	38, 5, 12	redivcli 11672	. . . . 5 ⊢ (𝐷 / ;10) ∈ ℝ
40	29, 39	readdcli 10921	. . . 4 ⊢ (𝐶 + (𝐷 / ;10)) ∈ ℝ
41	27, 29, 40	lttri 11031	. . 3 ⊢ (((𝐴 + (𝐵 / ;10)) < 𝐶 ∧ 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / ;10))) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐶 + (𝐷 / ;10)))
42	31, 37, 41	mp2an 688	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐶 + (𝐷 / ;10))
43		df-dp2 31048	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
44		df-dp2 31048	. 2 ⊢ _𝐶𝐷 = (𝐶 + (𝐷 / ;10))
45	42, 43, 44	3brtr4i 5100	1 ⊢ _𝐴𝐵 < _𝐶𝐷

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ;cdc 12366  ℝ⁺crp 12659  _cdp2 31047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-rp 12660  df-dp2 31048

This theorem is referenced by:  dpltc  31083