Theorem dp2ltc 32978

Description: Comparing two decimal expansions (unequal higher places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2ltc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
dp2ltc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℝ+
dp2ltc.s	⊢ 𝐵 < ;10
dp2ltc.l	⊢ 𝐴 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dp2ltc	⊢ _𝐴𝐵 < _𝐶𝐷

Proof of Theorem dp2ltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp2ltc.s	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 < ;10
2		rpssre 12925	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
3		dp2lt.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
4	2, 3	sselii 3932	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5		10re 12638	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℝ
6		10pos 12636	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;10
7		elrp 12919	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 ∈ ℝ+ ↔ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10))
8	5, 6, 7	mpbir2an 712	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
9		divlt1lt 12988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10))
10	4, 8, 9	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10)
11	1, 10	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (𝐵 / ;10) < 1
12	5, 6	gt0ne0ii 11685	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ≠ 0
13	4, 5, 12	redivcli 11920	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
14		1re 11144	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		dp2lt.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
16	15	nn0rei 12424	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
17		ltadd2 11249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1)))
18	13, 14, 16, 17	mp3an 1464	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1))
19	11, 18	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1)
20		dp2ltc.l	. . . . 5 ⊢ 𝐴 < 𝐶
21	15	nn0zi 12528	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
22		dp2ltc.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
23	22	nn0zi 12528	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
24		zltp1le 12553	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
25	21, 23, 24	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
26	20, 25	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶
27	16, 13	readdcli 11159	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ
28	16, 14	readdcli 11159	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℝ
29	22	nn0rei 12424	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
30	27, 28, 29	ltletri 11273	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < 𝐶)
31	19, 26, 30	mp2an 693	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < 𝐶
32		dp2ltc.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ+
33	32, 8	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+)
34		rpdivcl 12944	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → (𝐷 / ;10) ∈ ℝ+)
35	33, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐷 / ;10) ∈ ℝ+
36		ltaddrp 12956	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 / ;10) ∈ ℝ+) → 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / ;10)))
37	29, 35, 36	mp2an 693	. . 3 ⊢ 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / ;10))
38	2, 32	sselii 3932	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
39	38, 5, 12	redivcli 11920	. . . . 5 ⊢ (𝐷 / ;10) ∈ ℝ
40	29, 39	readdcli 11159	. . . 4 ⊢ (𝐶 + (𝐷 / ;10)) ∈ ℝ
41	27, 29, 40	lttri 11271	. . 3 ⊢ (((𝐴 + (𝐵 / ;10)) < 𝐶 ∧ 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / ;10))) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐶 + (𝐷 / ;10)))
42	31, 37, 41	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐶 + (𝐷 / ;10))
43		df-dp2 32963	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
44		df-dp2 32963	. 2 ⊢ _𝐶𝐷 = (𝐶 + (𝐷 / ;10))
45	42, 43, 44	3brtr4i 5130	1 ⊢ _𝐴𝐵 < _𝐶𝐷

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179   / cdiv 11806  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ;cdc 12619  ℝ⁺crp 12917  _cdp2 32962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-rp 12918  df-dp2 32963

This theorem is referenced by:  dpltc  32998