Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dp2ltc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dp2ltc 32556
Description: Comparing two decimal expansions (unequal higher places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp2lt.a 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b 𝐵 ∈ ℝ+
dp2ltc.c 𝐶 ∈ ℕ0
dp2ltc.d 𝐷 ∈ ℝ+
dp2ltc.s 𝐵 < 10
dp2ltc.l 𝐴 < 𝐶
Assertion
Ref Expression
dp2ltc 𝐴𝐵 < 𝐶𝐷

Proof of Theorem dp2ltc
StepHypRef Expression
1 dp2ltc.s . . . . . 6 𝐵 < 10
2 rpssre 12984 . . . . . . . 8 + ⊆ ℝ
3 dp2lt.b . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℝ+
42, 3sselii 3974 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
5 10re 12697 . . . . . . . 8 10 ∈ ℝ
6 10pos 12695 . . . . . . . 8 0 < 10
7 elrp 12979 . . . . . . . 8 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
85, 6, 7mpbir2an 708 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ+
9 divlt1lt 13046 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10))
104, 8, 9mp2an 689 . . . . . 6 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10)
111, 10mpbir 230 . . . . 5 (𝐵 / 10) < 1
125, 6gt0ne0ii 11751 . . . . . . 7 10 ≠ 0
134, 5, 12redivcli 11982 . . . . . 6 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
14 1re 11215 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
15 dp2lt.a . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
1615nn0rei 12484 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
17 ltadd2 11319 . . . . . 6 (((𝐵 / 10) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 / 10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1)))
1813, 14, 16, 17mp3an 1457 . . . . 5 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1))
1911, 18mpbi 229 . . . 4 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1)
20 dp2ltc.l . . . . 5 𝐴 < 𝐶
2115nn0zi 12588 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℤ
22 dp2ltc.c . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ0
2322nn0zi 12588 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℤ
24 zltp1le 12613 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
2521, 23, 24mp2an 689 . . . . 5 (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
2620, 25mpbi 229 . . . 4 (𝐴 + 1) ≤ 𝐶
2716, 13readdcli 11230 . . . . 5 (𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ
2816, 14readdcli 11230 . . . . 5 (𝐴 + 1) ∈ ℝ
2922nn0rei 12484 . . . . 5 𝐶 ∈ ℝ
3027, 28, 29ltletri 11343 . . . 4 (((𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < 𝐶)
3119, 26, 30mp2an 689 . . 3 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < 𝐶
32 dp2ltc.d . . . . . 6 𝐷 ∈ ℝ+
3332, 8pm3.2i 470 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+)
34 rpdivcl 13002 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+) → (𝐷 / 10) ∈ ℝ+)
3533, 34ax-mp 5 . . . 4 (𝐷 / 10) ∈ ℝ+
36 ltaddrp 13014 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 / 10) ∈ ℝ+) → 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / 10)))
3729, 35, 36mp2an 689 . . 3 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / 10))
382, 32sselii 3974 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℝ
3938, 5, 12redivcli 11982 . . . . 5 (𝐷 / 10) ∈ ℝ
4029, 39readdcli 11230 . . . 4 (𝐶 + (𝐷 / 10)) ∈ ℝ
4127, 29, 40lttri 11341 . . 3 (((𝐴 + (𝐵 / 10)) < 𝐶𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / 10))) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐶 + (𝐷 / 10)))
4231, 37, 41mp2an 689 . 2 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐶 + (𝐷 / 10))
43 df-dp2 32541 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
44 df-dp2 32541 . 2 𝐶𝐷 = (𝐶 + (𝐷 / 10))
4542, 43, 443brtr4i 5171 1 𝐴𝐵 < 𝐶𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11249  cle 11250   / cdiv 11872  0cn0 12473  cz 12559  cdc 12678  +crp 12977  cdp2 32540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-rp 12978  df-dp2 32541
This theorem is referenced by:  dpltc  32576
  Copyright terms: Public domain W3C validator