Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dp2ltc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dp2ltc 29976
Description: Comparing two decimal expansions (unequal higher places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp2lt.a 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b 𝐵 ∈ ℝ+
dp2ltc.c 𝐶 ∈ ℕ0
dp2ltc.d 𝐷 ∈ ℝ+
dp2ltc.s 𝐵 < 10
dp2ltc.l 𝐴 < 𝐶
Assertion
Ref Expression
dp2ltc 𝐴𝐵 < 𝐶𝐷

Proof of Theorem dp2ltc
StepHypRef Expression
1 dp2ltc.s . . . . . 6 𝐵 < 10
2 rpssre 12034 . . . . . . . 8 + ⊆ ℝ
3 dp2lt.b . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℝ+
42, 3sselii 3757 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
5 10re 11758 . . . . . . . 8 10 ∈ ℝ
6 10pos 11756 . . . . . . . 8 0 < 10
7 elrp 12029 . . . . . . . 8 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
85, 6, 7mpbir2an 702 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ+
9 divlt1lt 12096 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10))
104, 8, 9mp2an 683 . . . . . 6 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10)
111, 10mpbir 222 . . . . 5 (𝐵 / 10) < 1
125, 6gt0ne0ii 10817 . . . . . . 7 10 ≠ 0
134, 5, 12redivcli 11045 . . . . . 6 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
14 1re 10292 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
15 dp2lt.a . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
1615nn0rei 11549 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
17 ltadd2 10394 . . . . . 6 (((𝐵 / 10) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 / 10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1)))
1813, 14, 16, 17mp3an 1585 . . . . 5 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1))
1911, 18mpbi 221 . . . 4 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1)
20 dp2ltc.l . . . . 5 𝐴 < 𝐶
2115nn0zi 11648 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℤ
22 dp2ltc.c . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ0
2322nn0zi 11648 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℤ
24 zltp1le 11673 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
2521, 23, 24mp2an 683 . . . . 5 (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
2620, 25mpbi 221 . . . 4 (𝐴 + 1) ≤ 𝐶
2716, 13readdcli 10308 . . . . 5 (𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ
2816, 14readdcli 10308 . . . . 5 (𝐴 + 1) ∈ ℝ
2922nn0rei 11549 . . . . 5 𝐶 ∈ ℝ
3027, 28, 29ltletri 10418 . . . 4 (((𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < 𝐶)
3119, 26, 30mp2an 683 . . 3 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < 𝐶
32 dp2ltc.d . . . . . 6 𝐷 ∈ ℝ+
3332, 8pm3.2i 462 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+)
34 rpdivcl 12053 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+) → (𝐷 / 10) ∈ ℝ+)
3533, 34ax-mp 5 . . . 4 (𝐷 / 10) ∈ ℝ+
36 ltaddrp 12064 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 / 10) ∈ ℝ+) → 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / 10)))
3729, 35, 36mp2an 683 . . 3 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / 10))
382, 32sselii 3757 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℝ
3938, 5, 12redivcli 11045 . . . . 5 (𝐷 / 10) ∈ ℝ
4029, 39readdcli 10308 . . . 4 (𝐶 + (𝐷 / 10)) ∈ ℝ
4127, 29, 40lttri 10416 . . 3 (((𝐴 + (𝐵 / 10)) < 𝐶𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / 10))) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐶 + (𝐷 / 10)))
4231, 37, 41mp2an 683 . 2 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐶 + (𝐷 / 10))
43 df-dp2 29961 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
44 df-dp2 29961 . 2 𝐶𝐷 = (𝐶 + (𝐷 / 10))
4542, 43, 443brtr4i 4838 1 𝐴𝐵 < 𝐶𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384  wcel 2155   class class class wbr 4808  (class class class)co 6841  cr 10187  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191   < clt 10327  cle 10328   / cdiv 10937  0cn0 11537  cz 11623  cdc 11739  +crp 12027  cdp2 29960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-rp 12028  df-dp2 29961
This theorem is referenced by:  dpltc  29996
  Copyright terms: Public domain W3C validator