Theorem dp2ltc 33446

Description: Comparing two decimal expansions (unequal higher places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2ltc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
dp2ltc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℝ+
dp2ltc.s	⊢ 𝐵 < ;10
dp2ltc.l	⊢ 𝐴 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dp2ltc	⊢ _𝐴𝐵 < _𝐶𝐷

Proof of Theorem dp2ltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp2ltc.s	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 < ;10
2		rpssre 13121	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
3		dp2lt.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
4	2, 3	sselii 3928	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5		10re 12830	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℝ
6		10pos 12828	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;10
7		elrp 13115	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 ∈ ℝ+ ↔ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10))
8	5, 6, 7	mpbir2an 724	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
9		divlt1lt 13184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10))
10	4, 8, 9	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10)
11	1, 10	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ (𝐵 / ;10) < 1
12	5, 6	gt0ne0ii 11845	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ≠ 0
13	4, 5, 12	redivcli 12077	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
14		1re 11301	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		dp2lt.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
16	15	nn0rei 12610	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
17		ltadd2 11407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1)))
18	13, 14, 16, 17	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1))
19	11, 18	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1)
20		dp2ltc.l	. . . . 5 ⊢ 𝐴 < 𝐶
21	15	nn0zi 12714	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
22		dp2ltc.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
23	22	nn0zi 12714	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
24		zltp1le 12739	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
25	21, 23, 24	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
26	20, 25	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶
27	16, 13	readdcli 11317	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ
28	16, 14	readdcli 11317	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℝ
29	22	nn0rei 12610	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
30	27, 28, 29	ltletri 11431	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < 𝐶)
31	19, 26, 30	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < 𝐶
32		dp2ltc.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ+
33	32, 8	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+)
34		rpdivcl 13140	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → (𝐷 / ;10) ∈ ℝ+)
35	33, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐷 / ;10) ∈ ℝ+
36		ltaddrp 13152	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 / ;10) ∈ ℝ+) → 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / ;10)))
37	29, 35, 36	mp2an 705	. . 3 ⊢ 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / ;10))
38	2, 32	sselii 3928	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
39	38, 5, 12	redivcli 12077	. . . . 5 ⊢ (𝐷 / ;10) ∈ ℝ
40	29, 39	readdcli 11317	. . . 4 ⊢ (𝐶 + (𝐷 / ;10)) ∈ ℝ
41	27, 29, 40	lttri 11429	. . 3 ⊢ (((𝐴 + (𝐵 / ;10)) < 𝐶 ∧ 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / ;10))) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐶 + (𝐷 / ;10)))
42	31, 37, 41	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐶 + (𝐷 / ;10))
43		df-dp2 33431	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
44		df-dp2 33431	. 2 ⊢ _𝐶𝐷 = (𝐶 + (𝐷 / ;10))
45	42, 43, 44	3brtr4i 5135	1 ⊢ _𝐴𝐵 < _𝐶𝐷

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   < clt 11336   ≤ cle 11337   / cdiv 11966  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ;cdc 12807  ℝ⁺crp 13113  _cdp2 33430

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-rp 13114  df-dp2 33431

This theorem is used by:  dpltc  33466