Theorem dp2ltc 32965

Description: Comparing two decimal expansions (unequal higher places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2ltc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
dp2ltc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℝ+
dp2ltc.s	⊢ 𝐵 < ;10
dp2ltc.l	⊢ 𝐴 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dp2ltc	⊢ _𝐴𝐵 < _𝐶𝐷

Proof of Theorem dp2ltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp2ltc.s	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 < ;10
2		rpssre 12941	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
3		dp2lt.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
4	2, 3	sselii 3912	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5		10re 12654	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℝ
6		10pos 12652	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;10
7		elrp 12935	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 ∈ ℝ+ ↔ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10))
8	5, 6, 7	mpbir2an 717	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
9		divlt1lt 13004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10))
10	4, 8, 9	mp2an 698	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10)
11	1, 10	mpbir 232	. . . . 5 ⊢ (𝐵 / ;10) < 1
12	5, 6	gt0ne0ii 11677	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ≠ 0
13	4, 5, 12	redivcli 11913	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
14		1re 11135	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		dp2lt.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
16	15	nn0rei 12439	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
17		ltadd2 11241	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1)))
18	13, 14, 16, 17	mp3an 1469	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1))
19	11, 18	mpbi 231	. . . 4 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1)
20		dp2ltc.l	. . . . 5 ⊢ 𝐴 < 𝐶
21	15	nn0zi 12543	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
22		dp2ltc.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
23	22	nn0zi 12543	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
24		zltp1le 12568	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
25	21, 23, 24	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
26	20, 25	mpbi 231	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶
27	16, 13	readdcli 11151	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ
28	16, 14	readdcli 11151	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℝ
29	22	nn0rei 12439	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
30	27, 28, 29	ltletri 11265	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < 𝐶)
31	19, 26, 30	mp2an 698	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < 𝐶
32		dp2ltc.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ+
33	32, 8	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+)
34		rpdivcl 12960	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → (𝐷 / ;10) ∈ ℝ+)
35	33, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐷 / ;10) ∈ ℝ+
36		ltaddrp 12972	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 / ;10) ∈ ℝ+) → 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / ;10)))
37	29, 35, 36	mp2an 698	. . 3 ⊢ 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / ;10))
38	2, 32	sselii 3912	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
39	38, 5, 12	redivcli 11913	. . . . 5 ⊢ (𝐷 / ;10) ∈ ℝ
40	29, 39	readdcli 11151	. . . 4 ⊢ (𝐶 + (𝐷 / ;10)) ∈ ℝ
41	27, 29, 40	lttri 11263	. . 3 ⊢ (((𝐴 + (𝐵 / ;10)) < 𝐶 ∧ 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / ;10))) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐶 + (𝐷 / ;10)))
42	31, 37, 41	mp2an 698	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐶 + (𝐷 / ;10))
43		df-dp2 32950	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
44		df-dp2 32950	. 2 ⊢ _𝐶𝐷 = (𝐶 + (𝐷 / ;10))
45	42, 43, 44	3brtr4i 5102	1 ⊢ _𝐴𝐵 < _𝐶𝐷

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ;cdc 12635  ℝ⁺crp 12933  _cdp2 32949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-rp 12934  df-dp2 32950

This theorem is referenced by:  dpltc  32985