Theorem dp2ltc 29976

Description: Comparing two decimal expansions (unequal higher places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2ltc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
dp2ltc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℝ+
dp2ltc.s	⊢ 𝐵 < ;10
dp2ltc.l	⊢ 𝐴 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dp2ltc	⊢ _𝐴𝐵 < _𝐶𝐷

Proof of Theorem dp2ltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp2ltc.s	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 < ;10
2		rpssre 12034	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
3		dp2lt.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
4	2, 3	sselii 3757	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5		10re 11758	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℝ
6		10pos 11756	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;10
7		elrp 12029	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 ∈ ℝ+ ↔ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10))
8	5, 6, 7	mpbir2an 702	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
9		divlt1lt 12096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10))
10	4, 8, 9	mp2an 683	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10)
11	1, 10	mpbir 222	. . . . 5 ⊢ (𝐵 / ;10) < 1
12	5, 6	gt0ne0ii 10817	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ≠ 0
13	4, 5, 12	redivcli 11045	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
14		1re 10292	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		dp2lt.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
16	15	nn0rei 11549	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
17		ltadd2 10394	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1)))
18	13, 14, 16, 17	mp3an 1585	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1))
19	11, 18	mpbi 221	. . . 4 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1)
20		dp2ltc.l	. . . . 5 ⊢ 𝐴 < 𝐶
21	15	nn0zi 11648	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
22		dp2ltc.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
23	22	nn0zi 11648	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
24		zltp1le 11673	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
25	21, 23, 24	mp2an 683	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
26	20, 25	mpbi 221	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶
27	16, 13	readdcli 10308	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ
28	16, 14	readdcli 10308	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℝ
29	22	nn0rei 11549	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
30	27, 28, 29	ltletri 10418	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < 𝐶)
31	19, 26, 30	mp2an 683	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < 𝐶
32		dp2ltc.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ+
33	32, 8	pm3.2i 462	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+)
34		rpdivcl 12053	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → (𝐷 / ;10) ∈ ℝ+)
35	33, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐷 / ;10) ∈ ℝ+
36		ltaddrp 12064	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 / ;10) ∈ ℝ+) → 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / ;10)))
37	29, 35, 36	mp2an 683	. . 3 ⊢ 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / ;10))
38	2, 32	sselii 3757	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
39	38, 5, 12	redivcli 11045	. . . . 5 ⊢ (𝐷 / ;10) ∈ ℝ
40	29, 39	readdcli 10308	. . . 4 ⊢ (𝐶 + (𝐷 / ;10)) ∈ ℝ
41	27, 29, 40	lttri 10416	. . 3 ⊢ (((𝐴 + (𝐵 / ;10)) < 𝐶 ∧ 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / ;10))) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐶 + (𝐷 / ;10)))
42	31, 37, 41	mp2an 683	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐶 + (𝐷 / ;10))
43		df-dp2 29961	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
44		df-dp2 29961	. 2 ⊢ _𝐶𝐷 = (𝐶 + (𝐷 / ;10))
45	42, 43, 44	3brtr4i 4838	1 ⊢ _𝐴𝐵 < _𝐶𝐷

Syntax hints:   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∈ wcel 2155   class class class wbr 4808  (class class class)co 6841  ℝcr 10187  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191   < clt 10327   ≤ cle 10328   / cdiv 10937  ℕ₀cn0 11537  ℤcz 11623  ;cdc 11739  ℝ⁺crp 12027  _cdp2 29960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-rp 12028  df-dp2 29961

This theorem is referenced by:  dpltc  29996