Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dp2ltc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dp2ltc 32628
Description: Comparing two decimal expansions (unequal higher places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp2lt.a 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b 𝐵 ∈ ℝ+
dp2ltc.c 𝐶 ∈ ℕ0
dp2ltc.d 𝐷 ∈ ℝ+
dp2ltc.s 𝐵 < 10
dp2ltc.l 𝐴 < 𝐶
Assertion
Ref Expression
dp2ltc 𝐴𝐵 < 𝐶𝐷

Proof of Theorem dp2ltc
StepHypRef Expression
1 dp2ltc.s . . . . . 6 𝐵 < 10
2 rpssre 13019 . . . . . . . 8 + ⊆ ℝ
3 dp2lt.b . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℝ+
42, 3sselii 3977 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
5 10re 12732 . . . . . . . 8 10 ∈ ℝ
6 10pos 12730 . . . . . . . 8 0 < 10
7 elrp 13014 . . . . . . . 8 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
85, 6, 7mpbir2an 709 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ+
9 divlt1lt 13081 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10))
104, 8, 9mp2an 690 . . . . . 6 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10)
111, 10mpbir 230 . . . . 5 (𝐵 / 10) < 1
125, 6gt0ne0ii 11786 . . . . . . 7 10 ≠ 0
134, 5, 12redivcli 12017 . . . . . 6 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
14 1re 11250 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
15 dp2lt.a . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
1615nn0rei 12519 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
17 ltadd2 11354 . . . . . 6 (((𝐵 / 10) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 / 10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1)))
1813, 14, 16, 17mp3an 1457 . . . . 5 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1))
1911, 18mpbi 229 . . . 4 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1)
20 dp2ltc.l . . . . 5 𝐴 < 𝐶
2115nn0zi 12623 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℤ
22 dp2ltc.c . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ0
2322nn0zi 12623 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℤ
24 zltp1le 12648 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
2521, 23, 24mp2an 690 . . . . 5 (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
2620, 25mpbi 229 . . . 4 (𝐴 + 1) ≤ 𝐶
2716, 13readdcli 11265 . . . . 5 (𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ
2816, 14readdcli 11265 . . . . 5 (𝐴 + 1) ∈ ℝ
2922nn0rei 12519 . . . . 5 𝐶 ∈ ℝ
3027, 28, 29ltletri 11378 . . . 4 (((𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < 𝐶)
3119, 26, 30mp2an 690 . . 3 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < 𝐶
32 dp2ltc.d . . . . . 6 𝐷 ∈ ℝ+
3332, 8pm3.2i 469 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+)
34 rpdivcl 13037 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+) → (𝐷 / 10) ∈ ℝ+)
3533, 34ax-mp 5 . . . 4 (𝐷 / 10) ∈ ℝ+
36 ltaddrp 13049 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 / 10) ∈ ℝ+) → 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / 10)))
3729, 35, 36mp2an 690 . . 3 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / 10))
382, 32sselii 3977 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℝ
3938, 5, 12redivcli 12017 . . . . 5 (𝐷 / 10) ∈ ℝ
4029, 39readdcli 11265 . . . 4 (𝐶 + (𝐷 / 10)) ∈ ℝ
4127, 29, 40lttri 11376 . . 3 (((𝐴 + (𝐵 / 10)) < 𝐶𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / 10))) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐶 + (𝐷 / 10)))
4231, 37, 41mp2an 690 . 2 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐶 + (𝐷 / 10))
43 df-dp2 32613 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
44 df-dp2 32613 . 2 𝐶𝐷 = (𝐶 + (𝐷 / 10))
4542, 43, 443brtr4i 5180 1 𝐴𝐵 < 𝐶𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394  wcel 2098   class class class wbr 5150  (class class class)co 7424  cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   < clt 11284  cle 11285   / cdiv 11907  0cn0 12508  cz 12594  cdc 12713  +crp 13012  cdp2 32612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-rp 13013  df-dp2 32613
This theorem is referenced by:  dpltc  32648
  Copyright terms: Public domain W3C validator